Gleichung einer Geraden zweiter Ordnung. Allgemeine Gleichung von Kurven zweiter Ordnung

Wie oben gezeigt, können Gleichungen derselben Linie in mindestens drei Formen geschrieben werden: allgemeine Gleichungen der Linie, parametrische Gleichungen der Linie und kanonische Gleichungen der Linie. Betrachten wir die Frage des Übergangs von Geradengleichungen einer Art zu Geradengleichungen einer anderen Form.

Zunächst stellen wir fest, dass, wenn die Gleichungen einer Geraden in parametrischer Form angegeben werden, der Punkt, durch den die Gerade verläuft, und der Richtungsvektor der Geraden dadurch gegeben sind. Daher ist es nicht schwierig, die Gleichungen einer Geraden in kanonischer Form aufzuschreiben.

Beispiel.

Die Gleichungen der Geraden werden in parametrischer Form angegeben

Lösung.

Eine Gerade geht durch einen Punkt
und hat einen Richtungsvektor
. Folglich haben die kanonischen Gleichungen der Geraden die Form

Das Problem des Übergangs von den kanonischen Gleichungen der Geraden zu den parametrischen Gleichungen der Geraden wird auf ähnliche Weise gelöst.

Der Übergang von den kanonischen Gleichungen der Geraden zu den allgemeinen Gleichungen der Geraden wird im Folgenden anhand eines Beispiels erläutert.

Beispiel.

Die kanonischen Gleichungen der Geraden sind angegeben

Schreiben Sie die allgemeinen Gleichungen einer Geraden auf.

Lösung.

Schreiben wir die kanonischen Gleichungen der Geraden in Form eines Systems aus zwei Gleichungen

Wenn wir die Nenner entfernen, indem wir beide Seiten der ersten Gleichung mit 6 und der zweiten Gleichung mit 4 multiplizieren, erhalten wir das System

Das resultierende Gleichungssystem sind die allgemeinen Gleichungen der Geraden.

Betrachten wir den Übergang von allgemeinen Geradengleichungen zu parametrischen und kanonischen Geradengleichungen. Um kanonische oder parametrische Gleichungen einer Linie zu schreiben, müssen Sie den Punkt kennen, durch den die Linie verläuft, und den Richtungsvektor der Linie. Wenn wir die Koordinaten zweier Punkte bestimmen
Und
, auf einer Geraden liegend, dann kann der Vektor m als Richtungsvektor angenommen werden
. Die Koordinaten zweier Punkte, die auf einer Linie liegen, können als Lösungen eines Gleichungssystems erhalten werden, das die allgemeinen Gleichungen der Linie bestimmt. Sie können jeden beliebigen Punkt als den Punkt annehmen, durch den die Gerade verläuft
Und
. Lassen Sie uns das oben Gesagte anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Beispiel.

Die allgemeinen Gleichungen der Geraden sind angegeben

Lösung.

Finden wir die Koordinaten zweier Punkte, die auf einer Geraden liegen, als Lösungen für dieses Gleichungssystem. Glauben
, erhalten wir ein Gleichungssystem

Wir finden die Lösung dieses Systems
. Daher der Punkt
liegt auf einer Geraden. Glauben
, erhalten wir ein Gleichungssystem

lösen, was wir finden
. Daher verläuft die Gerade durch den Punkt
. Dann können wir den Vektor als Richtungsvektor nehmen

Die Gerade geht also durch den Punkt
und hat einen Richtungsvektor
. Folglich haben die parametrischen Gleichungen der Linie die Form

Dann werden die kanonischen Gleichungen der Geraden in das Formular geschrieben

Eine andere Möglichkeit, den Richtungsvektor einer Geraden mithilfe der allgemeinen Geradengleichungen zu ermitteln, basiert auf der Tatsache, dass in diesem Fall die Gleichungen der Ebenen und damit die Normalen zu diesen Ebenen gegeben sind.

Lassen Sie die allgemeinen Gleichungen der Geraden die Form haben

Und - Normalen zur ersten bzw. zweiten Ebene. Dann der Vektor
kann als Richtungsvektor angesehen werden. Tatsächlich steht die Gerade als Schnittlinie dieser Ebenen gleichzeitig senkrecht auf den Vektoren Und . Daher ist es kollinear zum Vektor
und das bedeutet, dass dieser Vektor als Richtungsvektor der Geraden angenommen werden kann. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel.

Die allgemeinen Gleichungen der Geraden sind angegeben

Schreiben Sie die parametrischen und kanonischen Gleichungen der Geraden auf.

Lösung.

Die Gerade ist die Schnittlinie von Ebenen mit Normalen
Und
. Als Richtungsvektor nehmen wir den Direktvektor

Suchen wir einen Punkt, der auf einer Linie liegt. Suchen wir einen Punkt, der auf einer Linie liegt. Lassen
. Dann bekommen wir das System

Das System lösen, finden wir
.Daher Punkt
liegt auf einer Geraden. Dann können die parametrischen Gleichungen der Geraden in das Formular geschrieben werden

Die kanonischen Gleichungen der Geraden haben die Form

Schließlich kann man zu kanonischen Gleichungen übergehen, indem man eine der Variablen in einer der Gleichungen und dann eine andere Variable eliminiert. Schauen wir uns diese Methode anhand eines Beispiels an.

Beispiel.

Die allgemeinen Gleichungen der Geraden sind angegeben

Schreiben Sie die kanonischen Gleichungen der Geraden auf.

Lösung.

Schließen wir die Variable y aus der zweiten Gleichung aus, indem wir die erste hinzuaddieren, multipliziert mit vier. Wir bekommen

Lassen Sie uns nun die Variable aus der zweiten Gleichung ausschließen , indem man die erste Gleichung hinzufügt, multipliziert mit zwei. Wir bekommen

Von hier aus erhalten wir die kanonische Gleichung der Geraden

Lassen Sie uns ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf der Ebene aufstellen und die allgemeine Gleichung zweiten Grades betrachten

indem
.

Die Menge aller Punkte der Ebene, deren Koordinaten Gleichung (8.4.1) erfüllen, heißt krumm (Linie) zweite Bestellung.

Für jede Kurve zweiter Ordnung gibt es ein rechtwinkliges Koordinatensystem, das sogenannte kanonische, in dem die Gleichung dieser Kurve eine der folgenden Formen hat:

1)
(Ellipse);

2)
(imaginäre Ellipse);

3)
(ein Paar imaginärer Schnittlinien);

4)
(Hyperbel);

5)
(ein Paar sich schneidender Linien);

6)
(Parabel);

7)
(ein Paar paralleler Linien);

8)
(ein Paar imaginärer paralleler Linien);

9)
(ein Paar zusammenfallender Linien).

Die Gleichungen 1)–9) werden aufgerufen kanonische Gleichungen von Kurven zweiter Ordnung.

Um das Problem der Reduzierung der Gleichung einer Kurve zweiter Ordnung auf die kanonische Form zu lösen, müssen die kanonische Gleichung der Kurve und das kanonische Koordinatensystem gefunden werden. Durch die Reduktion auf die kanonische Form können die Parameter der Kurve berechnet und ihre Position relativ zum ursprünglichen Koordinatensystem bestimmt werden. Übergang vom ursprünglichen rechteckigen Koordinatensystem
zu kanonisch
erfolgt durch Drehen der Achsen des ursprünglichen Koordinatensystems um den Punkt UM auf einen bestimmten Winkel  und anschließende Parallelverschiebung des Koordinatensystems.

Kurveninvarianten zweiter Ordnung(8.4.1) sind solche Funktionen der Koeffizienten seiner Gleichung, deren Werte sich beim Übergang von einem rechtwinkligen Koordinatensystem zu einem anderen desselben Systems nicht ändern.

Für eine Kurve zweiter Ordnung (8.4.1) die Summe der Koeffizienten für die quadrierten Koordinaten

Determinante bestehend aus Koeffizienten führender Terme

und Determinante dritter Ordnung

sind Invarianten.

Der Wert der Invarianten s, ,  kann verwendet werden, um den Typ zu bestimmen und die kanonische Gleichung der Kurve zweiter Ordnung zusammenzustellen (Tabelle 8.1).

Tabelle 8.1

Klassifizierung von Kurven zweiter Ordnung basierend auf Invarianten

Schauen wir uns Ellipse, Hyperbel und Parabel genauer an.

Ellipse(Abb. 8.1) ist der geometrische Ort von Punkten in der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten gilt
dieses Flugzeug, genannt Ellipsenschwerpunkte ist ein konstanter Wert (größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten). In diesem Fall ist das Zusammentreffen der Brennpunkte der Ellipse nicht ausgeschlossen. Wenn die Brennpunkte zusammenfallen, ist die Ellipse ein Kreis.

Die Halbsumme der Abstände von einem Punkt einer Ellipse zu ihren Brennpunkten wird mit bezeichnet A, die Hälfte der Abstände zwischen den Brennpunkten – Mit. Wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf einer Ebene gewählt, so liegen die Brennpunkte der Ellipse auf der Achse UMX symmetrisch zum Ursprung, dann ist in diesem Koordinatensystem die Ellipse durch die Gleichung gegeben

, (8.4.2)

angerufen kanonische Ellipsengleichung, Wo
.

Reis. 8.1

Bei der angegebenen Wahl eines rechtwinkligen Koordinatensystems ist die Ellipse symmetrisch bezüglich der Koordinatenachsen und des Ursprungs. Die Symmetrieachsen einer Ellipse heißen Achsen, und das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Ellipse. Gleichzeitig werden die Achsen der Ellipse oft als Zahlen 2 bezeichnet A und 2 B, und die Zahlen A Und B – groß Und Nebenachse jeweils.

Die Schnittpunkte einer Ellipse mit ihren Achsen werden aufgerufen Eckpunkte der Ellipse. Die Eckpunkte der Ellipse haben Koordinaten ( A, 0), (–A, 0), (0, B), (0, –B).

Exzentrizität der Ellipse angerufene Nummer

. (8.4.3)

Seit 0  C < A, Ellipsenexzentrizität 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

Dies zeigt, dass Exzentrizität die Form einer Ellipse charakterisiert: Je näher  an Null liegt, desto mehr ähnelt die Ellipse einem Kreis; Mit zunehmendem  wird die Ellipse länger.

Lassen
– beliebiger Punkt der Ellipse,
Und
– Abstand vom Punkt M vor Tricks F 1 und F 2 bzw. Zahlen R 1 und R 2 heißen Brennradien eines Punktes M Ellipse und werden anhand der Formeln berechnet

Schulleiterinnen anders als ein Kreis Ellipse mit der kanonischen Gleichung (8.4.2) werden zwei Geraden aufgerufen

Die Leitlinien der Ellipse liegen außerhalb der Ellipse (Abb. 8.1).

Verhältnis des Brennradius PunkteMEllipse zu Abstand  dieser Ellipse (Brennpunkt und Leitlinie gelten als korrespondierend, wenn sie sich auf derselben Seite des Mittelpunkts der Ellipse befinden).

Hyperbel(Abb. 8.2) ist der geometrische Ort von Punkten in der Ebene, für den der Modul der Abstandsdifferenz zu zwei festen Punkten bestimmt wird Und dieses Flugzeug, genannt Übertreibungstricks, ist ein konstanter Wert (ungleich Null und kleiner als der Abstand zwischen den Brennpunkten).

Der Abstand zwischen den Brennpunkten sei 2 Mit und der angegebene Modul der Distanzdifferenz ist gleich 2 A. Wählen wir ein rechteckiges Koordinatensystem auf die gleiche Weise wie für die Ellipse. In diesem Koordinatensystem ist die Hyperbel durch die Gleichung gegeben

, (8.4.4)

angerufen kanonische Hyperbelgleichung, Wo
.

Reis. 8.2

Bei dieser Wahl eines rechtwinkligen Koordinatensystems sind die Koordinatenachsen die Symmetrieachsen der Hyperbel und der Ursprung ihr Symmetriezentrum. Die Symmetrieachsen einer Hyperbel heißen Achsen, und das Symmetriezentrum ist Zentrum der Hyperbel. Rechteck mit Seiten 2 A und 2 B, wie in Abb. gezeigt angeordnet. 8.2, genannt Grundrechteck der Hyperbel. Zahlen 2 A und 2 B sind die Achsen der Hyperbel und die Zahlen A Und B- ihr Achswellen. Es bilden sich die Geraden, die Fortsetzungen der Diagonalen des Hauptrechtecks sind Asymptoten einer Hyperbel

Schnittpunkte der Hyperbel mit der Achse Ochse werden genannt Eckpunkte einer Hyperbel. Die Eckpunkte der Hyperbel haben Koordinaten ( A, 0), (–A, 0).

Exzentrizität der Hyperbel angerufene Nummer

. (8.4.5)

Weil das Mit > A, Exzentrizität der Hyperbel  > 1. Schreiben wir Gleichheit (8.4.5) in die Form um

Dies zeigt, dass die Exzentrizität die Form des Hauptrechtecks und damit die Form der Hyperbel selbst charakterisiert: Je kleiner , desto mehr erstreckt sich das Hauptrechteck und danach die Hyperbel selbst entlang der Achse Ochse.

Lassen
– beliebiger Punkt der Hyperbel,
Und
– Abstand vom Punkt M vor Tricks F 1 und F 2 bzw. Zahlen R 1 und R 2 heißen Brennradien eines Punktes M Übertreibungen und werden anhand der Formeln berechnet

Schulleiterinnen Übertreibungen mit der kanonischen Gleichung (8.4.4) werden zwei Geraden aufgerufen

Die Geraden der Hyperbel schneiden das Hauptrechteck und verlaufen zwischen dem Mittelpunkt und dem entsprechenden Scheitelpunkt der Hyperbel (Abb. 8.2).

UM Brennradiusverhältnis PunkteM Hyperbeln zur Distanz von diesem Punkt zu dem Punkt, der dem Fokus entspricht Leitlinie entspricht Exzentrizität dieser Hyperbel (Brennpunkt und Leitlinie gelten als korrespondierend, wenn sie sich auf derselben Seite des Mittelpunkts der Hyperbel befinden).

Parabel(Abb. 8.3) ist der geometrische Ort von Punkten in der Ebene, für den der Abstand zu einem festen Punkt bestimmt wird F (Brennpunkt einer Parabel) dieser Ebene ist gleich dem Abstand zu einer festen Geraden ( Leitlinien einer Parabel), befindet sich ebenfalls im betrachteten Flugzeug.

Wählen wir den Anfang UM rechtwinkliges Koordinatensystem in der Mitte des Segments [ FD], was eine unscharfe Senkrechte ist F auf der Leitlinie (es wird angenommen, dass der Fokus nicht zur Leitlinie gehört) und den Achsen Ochse Und Oy Richten wir es wie in Abb. 8.3. Sei die Länge des Segments [ FD] ist gleich P. Dann im gewählten Koordinatensystem
Und kanonische Parabelgleichung sieht aus wie

. (8.4.6)

Größe P angerufen Parabelparameter.

Eine Parabel hat eine sogenannte Symmetrieachse die Achse der Parabel. Der Schnittpunkt einer Parabel mit ihrer Achse heißt der Scheitelpunkt der Parabel. Wenn eine Parabel durch ihre kanonische Gleichung (8.4.6) gegeben ist, dann ist die Achse der Parabel die Achse Ochse. Offensichtlich ist der Scheitelpunkt der Parabel der Ursprung.

Beispiel 1. Punkt A= (2, –1) gehört zur Ellipse, Punkt F= (1, 0) ist sein Fokus, das entsprechende F die Leitlinie ist durch die Gleichung gegeben
. Schreiben Sie eine Gleichung für diese Ellipse.

Lösung. Wir betrachten das Koordinatensystem als rechteckig. Dann die Distanz vom Punkt A zur Schulleiterin
gemäß Beziehung (8.1.8), in der

, gleich

Distanz vom Punkt A zu konzentrieren F gleicht

Dadurch können wir die Exzentrizität der Ellipse bestimmen

Lassen M = (X, j) ist ein beliebiger Punkt der Ellipse. Dann die Distanz
vom Punkt M zur Schulleiterin
nach Formel (8.1.8) gleich

und die Entfernung vom Punkt M zu konzentrieren F gleicht

Denn für jeden Punkt der Ellipse gilt die Beziehung ist eine konstante Größe gleich der Exzentrizität der Ellipse, daher gilt

Beispiel 2. Die Kurve ergibt sich aus der Gleichung

in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Finden Sie das kanonische Koordinatensystem und die kanonische Gleichung dieser Kurve. Bestimmen Sie die Art der Kurve.

Lösung. Quadratische Form
hat eine Matrix

Sein charakteristisches Polynom

hat Wurzeln  1 = 4 und  2 = 9. Daher in der Orthonormalbasis der Eigenvektoren der Matrix A Die betrachtete quadratische Form hat die kanonische Form

Fahren wir mit der Konstruktion einer Matrix der orthogonalen Transformation von Variablen fort und bringen wir die betrachtete quadratische Form in die angegebene kanonische Form. Dazu werden wir grundlegende Lösungssysteme für homogene Gleichungssysteme konstruieren
und orthonormalisieren.

Bei
So sieht dieses System aus

Seine allgemeine Lösung ist
. Hier gibt es eine freie Variable. Daher besteht das grundlegende Lösungssystem aus einem Vektor, beispielsweise dem Vektor
. Wenn wir es normalisieren, erhalten wir den Vektor

Bei
Lassen Sie uns auch einen Vektor konstruieren

Vektoren Und sind bereits orthogonal, da sie sich auf verschiedene Eigenwerte der symmetrischen Matrix beziehen A. Sie bilden die kanonische Orthonormalbasis einer gegebenen quadratischen Form. Aus den Spalten ihrer Koordinaten wird die erforderliche orthogonale Matrix (Rotationsmatrix) erstellt

Lassen Sie uns prüfen, ob die Matrix korrekt gefunden wurde R nach der Formel
, Wo
– Matrix quadratischer Form in der Basis
:

Matrix R richtig gefunden.

Lassen Sie uns die Variablen transformieren

und schreiben Sie die Gleichung dieser Kurve in ein neues rechtwinkliges Koordinatensystem mit den alten Mittelpunkts- und Richtungsvektoren
:

Wo
.

Wir haben die kanonische Gleichung der Ellipse erhalten

Aufgrund der Tatsache, dass die resultierende Transformation rechtwinkliger Koordinaten durch die Formeln bestimmt wird

kanonisches Koordinatensystem
hat einen Anfang
und Richtungsvektoren
.

Beispiel 3. Bestimmen Sie mithilfe der Invariantentheorie den Typ und erstellen Sie die kanonische Gleichung der Kurve

Lösung. Weil das

gemäß Tabelle. 8.1 kommen wir zu dem Schluss, dass es sich hierbei um eine Übertreibung handelt.

Da s = 0 ist, hat das charakteristische Polynom der Matrix quadratische Form

Seine Wurzeln
Und
Erlauben Sie uns, die kanonische Gleichung der Kurve zu schreiben

Wo MIT wird aus der Bedingung ermittelt

Die erforderliche kanonische Gleichung der Kurve

In den Aufgaben dieses Abschnitts sind die KoordinatenX, jwerden als rechteckig angenommen.

8.4.1. Für Ellipsen
Und
finden:

a) Achswellen;

b) Tricks;

c) Exzentrizität;

d) Leitliniengleichungen.

8.4.2. Schreiben Sie Gleichungen für eine Ellipse und kennen Sie deren Fokus
, entsprechend der Schulleiterin X= 8 und Exzentrizität . Finden Sie den zweiten Brennpunkt und die zweite Leitlinie der Ellipse.

8.4.3. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ellipse, deren Brennpunkte die Koordinaten (1, 0) und (0, 1) haben und deren Hauptachse zwei ist.

8.4.4. Angesichts einer Übertreibung
. Finden:

a) Achswellen A Und B;

b) Tricks;

c) Exzentrizität;

d) Gleichungen von Asymptoten;

e) Directrix-Gleichungen.

8.4.5. Angesichts einer Übertreibung
. Finden:

a) Achswellen A Und B;

b) Tricks;

c) Exzentrizität;

d) Gleichungen von Asymptoten;

e) Directrix-Gleichungen.

8.4.6. Punkt
gehört zu einer Übertreibung, deren Fokus
, und die entsprechende Leitlinie ist durch die Gleichung gegeben
. Schreiben Sie eine Gleichung für diese Hyperbel.

8.4.7. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Parabel mit gegebenem Fokus
und Schulleiterin
.

8.4.8. Gegeben sei der Scheitelpunkt einer Parabel
und die Leitmatrixgleichung
. Schreiben Sie eine Gleichung für diese Parabel.

8.4.9. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Parabel, deren Brennpunkt bei liegt

und die Leitlinie ist durch die Gleichung gegeben
.

8.4.10. Schreiben Sie eine Gleichung zweiter Ordnung für die Kurve und kennen Sie deren Exzentrizität
, Fokus
und die entsprechende Schulleiterin
.

8.4.11. Bestimmen Sie den Typ der Kurve zweiter Ordnung, stellen Sie ihre kanonische Gleichung auf und ermitteln Sie das kanonische Koordinatensystem:

G)
;

8.4.12.

ist eine Ellipse. Finden Sie die Längen der Halbachsen und die Exzentrizität dieser Ellipse, die Koordinaten des Mittelpunkts und der Brennpunkte, erstellen Sie Gleichungen für die Achsen und Leitlinien.

8.4.13. Beweisen Sie, dass die Kurve zweiter Ordnung durch die Gleichung gegeben ist

ist eine Übertreibung. Finden Sie die Längen der Halbachsen und die Exzentrizität dieser Hyperbel, die Koordinaten des Mittelpunkts und der Brennpunkte, erstellen Sie Gleichungen für die Achsen, Leitlinien und Asymptoten.

8.4.14. Beweisen Sie, dass die Kurve zweiter Ordnung durch die Gleichung gegeben ist

ist eine Parabel. Finden Sie den Parameter dieser Parabel, die Koordinaten der Scheitelpunkte und des Fokus, schreiben Sie die Gleichungen der Achse und der Leitlinie.

8.4.15. Reduzieren Sie jede der folgenden Gleichungen auf die kanonische Form. Zeichnen Sie in der Zeichnung die entsprechende Kurve zweiter Ordnung relativ zum ursprünglichen rechtwinkligen Koordinatensystem ein:

8.4.16. Bestimmen Sie mithilfe der Invariantentheorie den Typ und erstellen Sie die kanonische Gleichung der Kurve.

Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.

Durch jeden Punkt können unendlich viele Geraden gezogen werden.

Durch zwei beliebige nicht zusammenfallende Punkte kann eine einzelne gerade Linie gezogen werden.

Zwei divergierende Linien in einer Ebene schneiden sich entweder in einem einzigen Punkt oder sind es

parallel (folgt aus dem vorherigen).

Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten für die relative Lage zweier Linien:

Linien schneiden sich;

Linien sind parallel;

Geraden schneiden sich.

Gerade Linie— algebraische Kurve erster Ordnung: eine Gerade im kartesischen Koordinatensystem

ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.

Allgemeine Gleichung einer Geraden.

Definition. Jede gerade Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung angegeben werden

Axt + Wu + C = 0,

und konstant A, B nicht gleichzeitig Null sind. Diese Gleichung erster Ordnung heißt allgemein

Gleichung einer Geraden. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B Und MIT Folgende Sonderfälle sind möglich:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- Eine Gerade geht durch den Ursprung

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse OU

. B = C = 0, A ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen OU

. A = C = 0, B ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh

Die Gleichung einer Geraden kann je nach Gegebenheit in verschiedenen Formen dargestellt werden

Anfangsbedingungen.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Normalenvektor.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit den Komponenten (A, B)

senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Geraden

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft A(1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).

Lösung. Mit A = 3 und B = -1 stellen wir die Gleichung der Geraden auf: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu finden

Ersetzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck. Wir erhalten also: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Gesamt: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.

Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Und M2 (x 2, y 2, z 2), Dann Gleichung einer Geraden,

durch diese Punkte gehen:

Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden. An

Ebene, die Gleichung der oben geschriebenen Geraden wird vereinfacht:

Wenn x 1 ≠ x 2 Und x = x 1, Wenn x 1 = x 2 .

Fraktion = k angerufen Neigung gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Lösung. Wenn wir die oben geschriebene Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden unter Verwendung eines Punktes und einer Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung der Linie Axt + Wu + C = 0 führen zu:

und benennen , dann heißt die resultierende Gleichung

Gleichung einer Geraden mit Steigung k.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor.

In Analogie zum Punkt, der die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor betrachtet, können Sie die Aufgabe eingeben

eine Gerade durch einen Punkt und ein Richtungsvektor einer Geraden.

Definition. Jeder Vektor ungleich Null (α 1 , α 2), deren Komponenten die Bedingung erfüllen

Aα 1 + Bα 2 = 0 angerufen Richtungsvektor einer geraden Linie.

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1), die durch den Punkt A(1, 2) verläuft.

Lösung. Wir suchen nach der Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Laut Definition ist

Koeffizienten müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

bei x = 1, y = 2 wir bekommen C/A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ах + Ву + С = 0 С≠0, dann erhalten wir durch Division durch -С:

oder wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten besteht darin, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunkts ist

gerade mit Achse Oh, A B- Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse OU.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung einer Geraden ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Axt + Wu + C = 0 durch Zahl dividieren Was heisst

Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 -Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden μ*C< 0.

R- die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fällt,

A φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben 12x - 5y - 65 = 0. Erforderlich, um verschiedene Arten von Gleichungen zu schreiben

diese gerade Linie.

Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Die Gleichung dieser Geraden mit der Steigung: (durch 5 dividieren)

Gleichung einer Geraden:

cos φ = 12/13; Sünde φ= -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden,

parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung verlaufend.

Der Winkel zwischen geraden Linien in einer Ebene.

Definition. Wenn zwei Zeilen angegeben sind y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, dann der spitze Winkel zwischen diesen Linien

wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Linien stehen senkrecht zueinander

Wenn k 1 = -1/ k 2 .

Satz.

Direkte Axt + Wu + C = 0 Und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind

A 1 = λA, B 1 = λB. Wenn auch С 1 = λС, dann fallen die Linien zusammen. Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden

werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.

Die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft.

Definition. Linie, die durch einen Punkt geht M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b

dargestellt durch die Gleichung:

Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Satz. Wenn ein Punkt gegeben wird M(x 0, y 0), dann der Abstand zur Geraden Axt + Wu + C = 0 definiert als:

Nachweisen. Lassen Sie den Punkt M 1 (x 1, y 1)- die Basis einer Senkrechten, die von einem Punkt aus fällt M für ein gegebenes

Direkte. Dann der Abstand zwischen Punkten M Und M 1:

(1)

Koordinaten x 1 Und um 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die senkrecht durch einen gegebenen Punkt M 0 verläuft

gegebene gerade Linie. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Kurve zweiter Ordnung— geometrische Lage der Punkte auf der Ebene, rechtwinklige Koordinaten

die eine Gleichung der Form erfüllen:

in dem mindestens einer der Koeffizienten eine 11, eine 12, ein 22 ungleich Null.

Invarianten von Kurven zweiter Ordnung.

Die Form der Kurve hängt von den vier unten aufgeführten Invarianten ab:

Invarianten bezüglich Drehung und Verschiebung des Koordinatensystems:

Invariant bezüglich der Drehung des Koordinatensystems ( semi-invariant):

Um Kurven zweiter Ordnung zu untersuchen, betrachten Sie das Produkt ALS.

Allgemein Kurvengleichung zweiter Ordnung sieht so aus:

Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

Wenn A*C > 0 elliptischer Typ. Irgendein Ellipsentrainer

Gleichung ist die Gleichung entweder einer gewöhnlichen Ellipse oder einer entarteten Ellipse (Punkt) oder einer imaginären

Ellipse (in diesem Fall definiert die Gleichung kein einzelnes geometrisches Bild auf der Ebene);

Wenn A*C< 0 , dann nimmt die Gleichung die Form einer Gleichung an hyperbolischer Typ. Irgendeine Hyperbel

die Gleichung drückt entweder eine einfache Hyperbel oder eine entartete Hyperbel (zwei sich schneidende Linien) aus;

Wenn A*C = 0, dann ist die Linie zweiter Ordnung nicht zentral. Gleichungen dieser Art heißen

Gleichungen parabolischer Typ und drücken Sie auf der Ebene entweder eine einfache Parabel oder 2 Parallelen aus

(entweder zusammenfallende) gerade Linien oder kein einziges geometrisches Bild auf der Ebene ausdrücken;

Wenn A*C ≠ 0, die Kurve zweiter Ordnung wird sein

Die allgemeine Gleichung einer Kurve zweiter Ordnung auf einer Ebene hat die Form:

Axt 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (39)

Wo A 2 + B 2 + C 2 0, (A, B, C, D, E, F) R. Es definiert alle möglichen Kegelschnitte, die beliebig in der Ebene angeordnet sind.

Aus den Koeffizienten der Gleichung (39) setzen wir zwei Determinanten zusammen:

Angerufen Diskriminante der Gleichung(39) und - Diskriminante der führenden Terme der Gleichung. Bei 0 bestimmt Gleichung (39): > 0 – Ellipse;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

Von der allgemeinen Gleichung (39) können wir zur kanonischen Gleichung übergehen, wenn wir die linearen und Kreuzterme eliminieren, indem wir zu einem neuen Koordinatensystem wechseln, das mit den Symmetrieachsen der Figur übereinstimmt. Ersetzen wir in (39) X An X + A Und j An j + B, Wo A, B einige Konstanten. Schreiben wir die erhaltenen Koeffizienten auf X Und j und setze sie mit 0 gleich

(Aa + Bb + D)X = 0, (Cb + Ba + E)j = 0. (41)

Infolgedessen nimmt Gleichung (39) die Form an:

A(X) 2 + 2B(X)(j) + C(j) 2 + F = 0, (42)

Wo sind die Koeffizienten? A, B, C haben sich nicht geändert, aber F= / . Die Lösung des Gleichungssystems (41) bestimmt die Koordinaten des Symmetriezentrums der Figur:

Wenn B= 0 also A = -D/A, B = -E/C und es ist praktisch, lineare Terme in (39) durch die Methode der Reduktion auf ein perfektes Quadrat zu eliminieren:

Axt 2 + 2Dx = A(X 2 + 2xD/A + (D/A) 2 - (D/A) 2) = A(X + D/A) 2 - D 2 /A.

In Gleichung (42) drehen wir die Koordinaten um den Winkel a (38). Schreiben wir den resultierenden Koeffizienten für den Kreuzterm auf Xj und setze es gleich 0

xy = 0. (44)

Bedingung (44) bestimmt den erforderlichen Drehwinkel der Koordinatenachsen, bis sie mit den Symmetrieachsen der Figur übereinstimmen und hat die Form:

Gleichung (42) hat die Form:

A+X2+ C + Y 2 + F = 0 (46)

Daraus lässt sich leicht zur kanonischen Gleichung der Kurve gelangen:

Chancen A + , C+ kann unter Bedingung (45) als Wurzeln einer quadratischen Hilfsgleichung dargestellt werden:

T 2 - (A + C)T + = 0. (48)

Dadurch werden Lage und Richtung der Symmetrieachsen der Figur, ihrer Halbachse, bestimmt:

und es kann geometrisch konstruiert werden.

Im Fall = 0 haben wir eine Parabel. Wenn seine Symmetrieachse parallel zur Achse ist Oh, dann reduziert sich die Gleichung auf:

Wenn nicht, dann schauen Sie sich Folgendes an:

wobei die Ausdrücke in Klammern gleich 0 die Linien der neuen Koordinatenachsen definieren: , .

Häufige Probleme lösen

Beispiel 15. Geben Sie Gleichung 2 an X 2 + 3j 2 - 4X + 6j- 7 = 0 zur kanonischen Form und Konstruktion einer Kurve.

Lösung. B= 0, = -72 0, = 6 > 0 Ellipse.

Führen wir eine Reduktion auf ein perfektes Quadrat durch:

2(X - 1) 2 + 3(j + 1) 2 - 12 = 0.

Koordinaten des Symmetriezentrums (1; -1), lineare Transformation X = X - 1, Y = j+ 1 bringt die Gleichung in die kanonische Form.

Beispiel 16. Geben Sie Gleichung 2 an xy = A 2 zur kanonischen Form und Konstruktion einer Kurve.

Lösung. B = 1, = A 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Der Mittelpunkt des Koordinatensystems liegt im Symmetriezentrum der Kurve, weil Die Gleichung enthält keine linearen Terme. Drehen wir die Achsen um einen Winkel a. Nach Formel (45) gilt tan2a = B/(A - C) = , d.h. a = 45°. Koeffizienten der kanonischen Gleichung (46) A + , C+ werden durch Gleichung (48) bestimmt: T 2 = 1 oder T 1,2 = 1 A + = 1, C+ = -1, d.h.
X 2 - Y 2 = A 2 oder . Also Gleichung 2 xy = A 2 beschreibt eine Hyperbel mit dem Symmetriezentrum bei (0; 0). Die Symmetrieachsen liegen entlang der Winkelhalbierenden der Koordinaten, die Koordinatenachsen dienen als Asymptoten, die Halbachsen der Hyperbel sind gleich A.y - 9 =0;