Lineare Gleichungen in zwei Variablen
Ein Schulkind hat 200 Rubel, um in der Schule zu Mittag zu essen. Ein Kuchen kostet 25 Rubel und eine Tasse Kaffee kostet 10 Rubel. Wie viele Kuchen und Tassen Kaffee kann man für 200 Rubel kaufen?
Bezeichnen wir die Anzahl der Kuchen mit X, und die Anzahl der Tassen Kaffee durch j. Dann werden die Kosten für die Kuchen mit dem Ausdruck 25 bezeichnet X und die Kosten für Tassen Kaffee in 10 j .
25X- Preis X Kuchen
10y – Preis j Tassen Kaffee
Der Gesamtbetrag sollte 200 Rubel betragen. Dann erhalten wir eine Gleichung mit zwei Variablen X Und j
25X+ 10j= 200
Wie viele Wurzeln hat diese Gleichung?
Es hängt alles vom Appetit des Schülers ab. Wenn er 6 Kuchen und 5 Tassen Kaffee kauft, sind die Wurzeln der Gleichung die Zahlen 6 und 5.
Das Wertepaar 6 und 5 soll die Wurzeln der Gleichung 25 sein X+ 10j= 200 . Geschrieben als (6; 5), wobei die erste Zahl der Wert der Variablen ist X und der zweite - der Wert der Variablen j .
6 und 5 sind nicht die einzigen Wurzeln, die Gleichung 25 umkehren X+ 10j= 200 zur Identität. Auf Wunsch kann ein Student für die gleichen 200 Rubel 4 Kuchen und 10 Tassen Kaffee kaufen:
In diesem Fall sind die Wurzeln der Gleichung 25 X+ 10j= 200 ist ein Wertepaar (4; 10).
Außerdem kauft ein Schulkind vielleicht überhaupt keinen Kaffee, dafür aber Kuchen für die ganzen 200 Rubel. Dann sind die Wurzeln der Gleichung 25 X+ 10j= 200 werden die Werte 8 und 0 sein
Oder umgekehrt: Kaufen Sie keine Kuchen, sondern Kaffee für die gesamten 200 Rubel. Dann sind die Wurzeln der Gleichung 25 X+ 10j= 200 sind die Werte 0 und 20
Versuchen wir, alle möglichen Wurzeln der Gleichung 25 aufzulisten X+ 10j= 200 . Lassen Sie uns die Werte vereinbaren X Und j gehören zur Menge der ganzen Zahlen. Und seien diese Werte größer oder gleich Null:
X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Dies ist für den Schüler selbst praktisch. Es ist bequemer, ganze Kuchen zu kaufen, als beispielsweise mehrere ganze Kuchen und einen halben Kuchen. Außerdem ist es bequemer, Kaffee in ganzen Tassen zu sich zu nehmen, als beispielsweise mehrere ganze Tassen und eine halbe Tasse.
Beachten Sie das für ungerade X Es ist unter keinen Umständen möglich, Gleichberechtigung zu erreichen j. Dann die Werte X Die folgenden Zahlen sind 0, 2, 4, 6, 8. Und wissend X lässt sich leicht ermitteln j
Somit haben wir die folgenden Wertepaare erhalten (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Diese Paare sind Lösungen oder Wurzeln von Gleichung 25 X+ 10j= 200. Sie verwandeln diese Gleichung in eine Identität.
Gleichung des Formulars Axt + by = c angerufen lineare Gleichung mit zwei Variablen. Die Lösung bzw. Wurzeln dieser Gleichung sind ein Wertepaar ( X; j), was daraus Identität macht.
Beachten Sie auch, dass, wenn eine lineare Gleichung mit zwei Variablen in die Form geschrieben wird ax + by = c , dann sagen sie, dass es geschrieben steht kanonisch(Normal-)Form.
Einige lineare Gleichungen in zwei Variablen können auf die kanonische Form reduziert werden.
Zum Beispiel die Gleichung 2(16X+ 3y − 4) = 2(12 + 8X − j) kann in Erinnerung gerufen werden Axt + by = c. Öffnen wir die Klammern auf beiden Seiten dieser Gleichung und erhalten 32X + 6j − 8 = 24 + 16X − 2j . Wir gruppieren Terme, die Unbekannte enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und Terme, die keine Unbekannten enthalten, auf der rechten Seite. Dann bekommen wir 32x− 16X+ 6j+ 2j = 24 + 8 . Wenn wir auf beiden Seiten ähnliche Terme darstellen, erhalten wir Gleichung 16 X+ 8j= 32. Diese Gleichung wird auf die Form reduziert Axt + by = c und ist kanonisch.
Gleichung 25 wurde zuvor besprochen X+ 10j= 200 ist ebenfalls eine lineare Gleichung mit zwei Variablen in kanonischer Form. In dieser Gleichung sind die Parameter A , B Und C entsprechen den Werten 25, 10 bzw. 200.
Eigentlich die Gleichung Axt + by = c hat unzählige Lösungen. Lösung der Gleichung 25X+ 10j= 200, Wir haben nach seinen Wurzeln nur auf der Menge der ganzen Zahlen gesucht. Als Ergebnis erhielten wir mehrere Wertepaare, die diese Gleichung in eine Identität verwandelten. Aber auf der Menge der rationalen Zahlen gilt Gleichung 25 X+ 10j= 200 wird unendlich viele Lösungen haben.
Um neue Wertepaare zu erhalten, müssen Sie einen beliebigen Wert für annehmen X, dann ausdrücken j. Nehmen wir zum Beispiel die Variable X Wert 7. Dann erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 25×7 + 10j= 200 in dem man sich ausdrücken kann j
Lassen X= 15. Dann die Gleichung 25X+ 10j= 200 wird zu 25 × 15 + 10j= 200. Von hier aus finden wir das j = −17,5
Lassen X= −3 . Dann die Gleichung 25X+ 10j= 200 wird zu 25 × (−3) + 10j= 200. Von hier aus finden wir das j = −27,5
System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen
Für die Gleichung Axt + by = c Sie können beliebige Werte beliebig oft annehmen X und finde Werte für j. Für sich genommen wird es für eine solche Gleichung unzählige Lösungen geben.
Es kommt aber auch vor, dass die Variablen X Und j nicht durch eine, sondern durch zwei Gleichungen verbunden. In diesem Fall bilden sie die sogenannten System linearer Gleichungen in zwei Variablen. Ein solches Gleichungssystem kann ein Wertepaar (oder anders gesagt: „eine Lösung“) haben.
Es kann auch vorkommen, dass das System überhaupt keine Lösungen hat. Ein System linearer Gleichungen kann in seltenen Ausnahmefällen unzählige Lösungen haben.
Zwei lineare Gleichungen bilden ein System, wenn die Werte X Und j Geben Sie in jede dieser Gleichungen ein.
Kehren wir zur allerersten Gleichung 25 zurück X+ 10j= 200 . Eines der Wertepaare für diese Gleichung war das Paar (6; 5). Dies ist der Fall, wenn man für 200 Rubel 6 Kuchen und 5 Tassen Kaffee kaufen könnte.
Formulieren wir das Problem so, dass das Paar (6; 5) die einzige Lösung für Gleichung 25 wird X+ 10j= 200 . Erstellen wir dazu eine weitere Gleichung, die dasselbe verbindet X Kuchen und j Tassen Kaffee.
Lassen Sie uns den Text des Problems wie folgt formulieren:
„Der Student kaufte mehrere Kuchen und mehrere Tassen Kaffee für 200 Rubel. Ein Kuchen kostet 25 Rubel und eine Tasse Kaffee kostet 10 Rubel. Wie viele Kuchen und Tassen Kaffee hat der Schüler gekauft, wenn bekannt ist, dass die Anzahl der Kuchen eine Einheit größer ist als die Anzahl der Tassen Kaffee?
Wir haben bereits die erste Gleichung. Das ist Gleichung 25 X+ 10j= 200 . Lassen Sie uns nun eine Gleichung für die Bedingung erstellen „Die Anzahl der Kuchen ist eine Einheit größer als die Anzahl der Tassen Kaffee“ .
Die Anzahl der Kuchen beträgt X, und die Anzahl der Tassen Kaffee ist j. Sie können diesen Satz mithilfe der Gleichung schreiben x−y= 1. Diese Gleichung bedeutet, dass der Unterschied zwischen Kuchen und Kaffee 1 beträgt.
x = y+ 1 . Diese Gleichung bedeutet, dass die Anzahl der Kuchen um eins größer ist als die Anzahl der Tassen Kaffee. Um Gleichheit zu erreichen, wird daher eins zur Anzahl der Tassen Kaffee addiert. Dies lässt sich leicht verstehen, wenn wir das Skalenmodell verwenden, das wir bei der Untersuchung der einfachsten Probleme berücksichtigt haben:
Wir haben zwei Gleichungen: 25 X+ 10j= 200 und x = y+ 1. Da die Werte X Und j, nämlich 6 und 5 sind in jeder dieser Gleichungen enthalten, dann bilden sie zusammen ein System. Schreiben wir dieses System auf. Bilden die Gleichungen ein System, so werden sie durch das Systemzeichen eingerahmt. Das Systemsymbol ist eine geschweifte Klammer:
Lassen Sie uns dieses System lösen. Dadurch können wir sehen, wie wir zu den Werten 6 und 5 kommen. Es gibt viele Methoden zur Lösung solcher Systeme. Schauen wir uns die beliebtesten davon an.
Substitutionsmethode
Der Name dieser Methode spricht für sich. Sein Wesen besteht darin, eine Gleichung durch eine andere zu ersetzen, nachdem zuvor eine der Variablen ausgedrückt wurde.
In unserem System muss nichts ausgedrückt werden. In der zweiten Gleichung X = j+ 1 Variable X schon geäußert. Diese Variable entspricht dem Ausdruck j+ 1 . Dann können Sie diesen Ausdruck anstelle der Variablen in die erste Gleichung einsetzen X
Nach dem Ersetzen des Ausdrucks j+ 1 stattdessen in die erste Gleichung ein X, wir erhalten die Gleichung 25(j+ 1) + 10j= 200 . Dies ist eine lineare Gleichung mit einer Variablen. Diese Gleichung ist ganz einfach zu lösen:
Wir haben den Wert der Variablen gefunden j. Setzen wir nun diesen Wert in eine der Gleichungen ein und ermitteln wir den Wert X. Hierzu ist es zweckmäßig, die zweite Gleichung zu verwenden X = j+ 1 . Ersetzen wir den Wert darin j
Das bedeutet, dass das Paar (6; 5) eine Lösung des Gleichungssystems ist, wie wir es beabsichtigt haben. Wir prüfen und stellen sicher, dass das Paar (6; 5) das System erfüllt:
Beispiel 2
Ersetzen wir die erste Gleichung X= 2 + j in die zweite Gleichung 3 x− 2j= 9. In der ersten Gleichung die Variable X gleich dem Ausdruck 2 + j. Setzen wir diesen Ausdruck stattdessen in die zweite Gleichung ein X
Lassen Sie uns nun den Wert ermitteln X. Ersetzen wir dazu den Wert j in die erste Gleichung ein X= 2 + j
Dies bedeutet, dass die Lösung des Systems der Paarwert (5; 3) ist.
Beispiel 3. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:
Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen wird hier eine der Variablen nicht explizit ausgedrückt.
Um eine Gleichung durch eine andere zu ersetzen, benötigen Sie zunächst .
Es empfiehlt sich, die Variable auszudrücken, die einen Koeffizienten von eins hat. Die Variable hat einen Koeffizienten von eins X, die in der ersten Gleichung enthalten ist X+ 2j= 11. Lassen Sie uns diese Variable ausdrücken.
Nach Variablenausdruck X, unser System wird die folgende Form annehmen:
Setzen wir nun die erste Gleichung in die zweite ein und ermitteln wir den Wert j
Lasst uns ersetzen j X
Dies bedeutet, dass die Lösung des Systems ein Wertepaar (3; 4) ist.
Natürlich können Sie auch eine Variable ausdrücken j. Die Wurzeln werden dadurch nicht verändert. Aber wenn Sie es ausdrücken ja, Das Ergebnis ist keine sehr einfache Gleichung, deren Lösung mehr Zeit in Anspruch nehmen wird. Es wird so aussehen:
Wir sehen, dass wir in diesem Beispiel ausdrücken X viel bequemer als auszudrücken j .
Beispiel 4. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:
Lassen Sie uns in der ersten Gleichung ausdrücken X. Dann nimmt das System die Form an:
j
Lasst uns ersetzen j in die erste Gleichung einsetzen und finden X. Sie können die ursprüngliche Gleichung 7 verwenden X+ 9j= 8, oder verwenden Sie die Gleichung, in der die Variable ausgedrückt wird X. Wir werden diese Gleichung verwenden, weil sie praktisch ist:
Dies bedeutet, dass die Lösung des Systems ein Wertepaar (5; −3) ist.
Additionsmethode
Die Additionsmethode besteht darin, die im System enthaltenen Gleichungen Term für Term zu addieren. Diese Addition führt zu einer neuen Gleichung mit einer Variablen. Und die Lösung einer solchen Gleichung ist ganz einfach.
Lösen wir das folgende Gleichungssystem:
Addieren wir die linke Seite der ersten Gleichung mit der linken Seite der zweiten Gleichung. Und die rechte Seite der ersten Gleichung mit der rechten Seite der zweiten Gleichung. Wir erhalten die folgende Gleichheit:
Schauen wir uns ähnliche Begriffe an:
Als Ergebnis erhielten wir die einfachste Gleichung 3 X= 27, deren Wurzel 9 ist. Den Wert kennen X Sie können den Wert finden j. Ersetzen wir den Wert X in die zweite Gleichung x−y= 3 . Wir erhalten 9 − j= 3 . Von hier j= 6 .
Dies bedeutet, dass die Lösung des Systems ein Wertepaar (9; 6) ist.
Beispiel 2
Addieren wir die linke Seite der ersten Gleichung mit der linken Seite der zweiten Gleichung. Und die rechte Seite der ersten Gleichung mit der rechten Seite der zweiten Gleichung. In der resultierenden Gleichheit präsentieren wir ähnliche Begriffe:
Als Ergebnis erhielten wir die einfachste Gleichung 5 X= 20, dessen Wurzel 4 ist. Den Wert kennen X Sie können den Wert finden j. Ersetzen wir den Wert X in die erste Gleichung 2 x+y= 11. Lass uns 8+ erreichen j= 11. Von hier j= 3 .
Dies bedeutet, dass die Lösung des Systems ein Wertepaar (4;3) ist.
Der Additionsprozess wird nicht im Detail beschrieben. Es muss mental geschehen. Beim Addieren müssen beide Gleichungen auf die kanonische Form zurückgeführt werden. Das heißt ac + by = c .
Aus den betrachteten Beispielen wird deutlich, dass der Hauptzweck des Hinzufügens von Gleichungen darin besteht, eine der Variablen zu entfernen. Allerdings ist es nicht immer möglich, ein Gleichungssystem mit der Additionsmethode sofort zu lösen. Meistens wird das System zunächst in eine Form gebracht, in der die in diesem System enthaltenen Gleichungen hinzugefügt werden können.
Zum Beispiel das System 
kann sofort durch Addition gelöst werden. Bei der Addition beider Gleichungen ergeben sich die Terme j Und −y verschwinden, weil ihre Summe Null ist. Als Ergebnis wird die einfachste Gleichung 11 gebildet X= 22, dessen Wurzel 2 ist. Dann lässt sich bestimmen j gleich 5.
Und das Gleichungssystem 
Die Additionsmethode kann nicht sofort gelöst werden, da dies nicht zum Verschwinden einer der Variablen führt. Die Addition ergibt Gleichung 8 X+ j= 28, was unendlich viele Lösungen hat.
Wenn beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der angegebenen entspricht. Diese Regel gilt auch für ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. Eine der Gleichungen (oder beide Gleichungen) kann mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden. Das Ergebnis wird ein äquivalentes System sein, dessen Wurzeln mit dem vorherigen übereinstimmen.
Kehren wir zum allerersten System zurück, das beschrieb, wie viele Kuchen und Tassen Kaffee ein Schulkind kaufte. Die Lösung dieses Systems war ein Wertepaar (6; 5).
Lassen Sie uns beide in diesem System enthaltenen Gleichungen mit einigen Zahlen multiplizieren. Nehmen wir an, wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3
Als Ergebnis haben wir ein System bekommen 
Die Lösung dieses Systems ist immer noch das Wertepaar (6; 5)
Dies bedeutet, dass die im System enthaltenen Gleichungen auf eine für die Anwendung der Additionsmethode geeignete Form reduziert werden können.
Kehren wir zum System zurück , was wir mit der Additionsmethode nicht lösen konnten.
Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 6 und die zweite mit −2
Dann erhalten wir das folgende System:
Addieren wir die in diesem System enthaltenen Gleichungen. Komponenten hinzufügen 12 X und −12 X ergibt 0, Addition 18 j und 4 j wird 22 geben j, und die Addition von 108 und −20 ergibt 88. Dann erhalten wir Gleichung 22 j= 88, von hier j = 4 .
Wenn es Ihnen zunächst schwerfällt, Gleichungen im Kopf zu addieren, können Sie aufschreiben, wie sich die linke Seite der ersten Gleichung mit der linken Seite der zweiten Gleichung und die rechte Seite der ersten Gleichung mit der rechten Seite addiert zweite Gleichung:
Wissen, dass der Wert der Variablen j gleich 4 ist, können Sie den Wert ermitteln X. Lasst uns ersetzen j in eine der Gleichungen, zum Beispiel in die erste Gleichung 2 X+ 3j= 18. Dann erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 2 X+ 12 = 18. Bewegen wir 12 nach rechts und ändern das Vorzeichen, erhalten wir 2 X= 6, von hier X = 3 .
Beispiel 4. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:
Lassen Sie uns die zweite Gleichung mit −1 multiplizieren. Dann nimmt das System die folgende Form an:
Addieren wir beide Gleichungen. Komponenten hinzufügen X Und −x ergibt 0, Addition 5 j und 3 j gebe 8 j und die Addition von 7 und 1 ergibt 8. Das Ergebnis ist Gleichung 8 j= 8, deren Wurzel 1 ist. Wissen, dass der Wert j gleich 1 ist, können Sie den Wert finden X .
Lasst uns ersetzen j in die erste Gleichung erhalten wir X+ 5 = 7, daher X= 2
Beispiel 5. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:
Es ist wünschenswert, dass Begriffe, die dieselben Variablen enthalten, untereinander stehen. Daher sind in der zweiten Gleichung die Terme 5 j und −2 X Lasst uns die Plätze tauschen. Als Ergebnis wird das System die Form annehmen:
Multiplizieren wir die zweite Gleichung mit 3. Dann nimmt das System die Form an:
Nun addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition erhalten wir Gleichung 8 j= 16, dessen Wurzel 2 ist.
Lasst uns ersetzen j In die erste Gleichung erhalten wir 6 X− 14 = 40. Verschieben wir den Term −14 auf die rechte Seite, ändern das Vorzeichen und erhalten 6 X= 54 . Von hier X= 9.
Beispiel 6. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:
Lassen Sie uns Brüche loswerden. Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 36 und die zweite mit 12
Im resultierenden System 
Die erste Gleichung kann mit −5 multipliziert werden, die zweite mit 8
Addieren wir die Gleichungen im resultierenden System. Dann erhalten wir die einfachste Gleichung −13 j= −156 . Von hier j= 12. Lasst uns ersetzen j in die erste Gleichung einsetzen und finden X
Beispiel 7. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:
Bringen wir beide Gleichungen in die Normalform. Hier bietet es sich an, die Proportionsregel in beiden Gleichungen anzuwenden. Wenn in der ersten Gleichung die rechte Seite als dargestellt wird und die rechte Seite der zweiten Gleichung als , dann nimmt das System die Form an:
Wir haben einen Anteil. Lassen Sie uns seine Extrem- und Mittelterme multiplizieren. Dann nimmt das System die Form an:
Lassen Sie uns die erste Gleichung mit −3 multiplizieren und die Klammern in der zweiten öffnen:
Nun addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition dieser Gleichungen erhalten wir eine Gleichheit mit Null auf beiden Seiten:
Es stellt sich heraus, dass das System unzählige Lösungen bietet.
Aber wir können nicht einfach beliebige Werte vom Himmel nehmen X Und j. Wir können einen der Werte angeben, der andere wird abhängig von dem von uns angegebenen Wert bestimmt. Lassen Sie zum Beispiel X= 2 . Ersetzen wir diesen Wert in das System:
Als Ergebnis der Lösung einer der Gleichungen wird der Wert für j, was beide Gleichungen erfüllt:
Das resultierende Wertepaar (2; −2) erfüllt das System:
Suchen wir ein weiteres Wertepaar. Lassen X= 4. Setzen wir diesen Wert in das System ein:
Sie können den Wert mit dem Auge erkennen j gleich Null. Dann erhalten wir ein Wertepaar (4; 0), das unser System erfüllt:
Beispiel 8. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:
Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 6 und die zweite mit 12
Schreiben wir um, was noch übrig ist:
Lassen Sie uns die erste Gleichung mit −1 multiplizieren. Dann nimmt das System die Form an:
Nun addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition wird Gleichung 6 gebildet B= 48, dessen Wurzel 8 ist. Ersatz B in die erste Gleichung einsetzen und finden A
System linearer Gleichungen mit drei Variablen
Eine lineare Gleichung mit drei Variablen enthält drei Variablen mit Koeffizienten sowie einen Achsenabschnittsterm. In kanonischer Form lässt es sich wie folgt schreiben:
ax + by + cz = d
Diese Gleichung hat unzählige Lösungen. Indem man zwei Variablen unterschiedliche Werte zuweist, kann ein dritter Wert gefunden werden. Die Lösung ist in diesem Fall ein Wertetripel ( X; y; z), was die Gleichung in eine Identität umwandelt.
Wenn die Variablen x, y, z durch drei Gleichungen miteinander verbunden sind, dann entsteht ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Variablen. Um ein solches System zu lösen, können Sie dieselben Methoden verwenden, die auch für lineare Gleichungen mit zwei Variablen gelten: die Substitutionsmethode und die Additionsmethode.
Beispiel 1. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:
Lassen Sie uns in der dritten Gleichung ausdrücken X. Dann nimmt das System die Form an:
Jetzt machen wir die Substitution. Variable X ist gleich dem Ausdruck 3 − 2j − 2z . Setzen wir diesen Ausdruck in die erste und zweite Gleichung ein:
Öffnen wir die Klammern in beiden Gleichungen und stellen ähnliche Begriffe dar:
Wir sind zu einem linearen Gleichungssystem mit zwei Variablen gelangt. In diesem Fall ist es zweckmäßig, die Additionsmethode zu verwenden. Als Ergebnis die Variable j verschwindet und wir können den Wert der Variablen finden z
Lassen Sie uns nun den Wert ermitteln j. Hierzu ist es zweckmäßig, die Gleichung − zu verwenden j+ z= 4. Setzen Sie den Wert darin ein z
Lassen Sie uns nun den Wert ermitteln X. Hierzu ist es zweckmäßig, die Gleichung zu verwenden X= 3 − 2j − 2z . Ersetzen wir die Werte darin j Und z
Somit ist das Wertetripel (3; −2; 2) eine Lösung für unser System. Durch die Prüfung stellen wir sicher, dass diese Werte dem System genügen:
Beispiel 2. Lösen Sie das System mit der Additionsmethode
Addieren wir die erste Gleichung mit der zweiten, multipliziert mit −2.
Wenn die zweite Gleichung mit −2 multipliziert wird, erhält sie die Form −6X+ 6y − 4z = −4 . Fügen wir es nun zur ersten Gleichung hinzu:
Wir sehen, dass als Ergebnis elementarer Transformationen der Wert der Variablen bestimmt wurde X. Es ist gleich eins.
Kehren wir zum Hauptsystem zurück. Addieren wir die zweite Gleichung mit der dritten, multipliziert mit −1. Wenn die dritte Gleichung mit −1 multipliziert wird, erhält sie die Form −4X + 5j − 2z = −1 . Fügen wir es nun zur zweiten Gleichung hinzu:
Wir haben die Gleichung x− 2j= −1 . Ersetzen wir den Wert darin X was wir früher gefunden haben. Dann können wir den Wert ermitteln j
Jetzt kennen wir die Bedeutungen X Und j. Dadurch können Sie den Wert ermitteln z. Verwenden wir eine der im System enthaltenen Gleichungen:
Somit ist das Wertetripel (1; 1; 1) die Lösung unseres Systems. Durch die Prüfung stellen wir sicher, dass diese Werte dem System genügen:
Probleme beim Aufbau linearer Gleichungssysteme
Die Aufgabe, Gleichungssysteme zusammenzustellen, wird durch die Eingabe mehrerer Variablen gelöst. Als nächstes werden Gleichungen basierend auf den Bedingungen des Problems zusammengestellt. Aus den aufgestellten Gleichungen bilden sie ein System und lösen es. Nachdem das System gelöst wurde, muss überprüft werden, ob seine Lösung die Bedingungen des Problems erfüllt.
Problem 1. Ein Wolga-Wagen fuhr aus der Stadt zur Kolchose. Sie kehrte auf einer anderen Straße zurück, die 5 km kürzer war als die erste. Insgesamt legte das Auto 35 km Hin- und Rückfahrt zurück. Wie viele Kilometer ist jede Straße lang?
Lösung
Lassen X- Länge der ersten Straße, j- Länge der Sekunde. Wenn das Auto 35 km Hin- und Rückfahrt zurückgelegt hat, kann die erste Gleichung wie folgt geschrieben werden: X+ j= 35. Diese Gleichung beschreibt die Summe der Längen beider Straßen.
Es wird gesagt, dass das Auto auf einer Straße zurückkam, die 5 km kürzer war als die erste. Dann kann die zweite Gleichung geschrieben werden als X− j= 5. Diese Gleichung zeigt, dass der Unterschied zwischen den Straßenlängen 5 km beträgt.
Oder die zweite Gleichung kann geschrieben werden als X= j+ 5. Wir werden diese Gleichung verwenden.
Weil die Variablen X Und j in beiden Gleichungen die gleiche Zahl bezeichnen, dann können wir daraus ein System bilden:
Lassen Sie uns dieses System mit einigen der zuvor untersuchten Methoden lösen. In diesem Fall ist es zweckmäßig, die Substitutionsmethode zu verwenden, da in der zweiten Gleichung die Variable X schon geäußert.
Setze die zweite Gleichung in die erste ein und finde j
Ersetzen wir den gefundenen Wert j in der zweiten Gleichung X= j+ 5 und wir werden es finden X
Durch die Variable wurde die Länge der ersten Straße angegeben X. Jetzt haben wir seine Bedeutung gefunden. Variable X ist gleich 20. Das bedeutet, dass die Länge der ersten Straße 20 km beträgt.
Und die Länge der zweiten Straße wurde durch angegeben j. Der Wert dieser Variablen beträgt 15. Dies bedeutet, dass die Länge der zweiten Straße 15 km beträgt.
Lass uns das Prüfen. Stellen wir zunächst sicher, dass das System richtig gelöst ist:
Prüfen wir nun, ob die Lösung (20; 15) die Bedingungen des Problems erfüllt.
Es wurde gesagt, dass das Auto insgesamt 35 km Hin- und Rückfahrt zurückgelegt habe. Wir addieren die Längen beider Straßen und stellen sicher, dass die Lösung (20; 15) diese Bedingung erfüllt: 20 km + 15 km = 35 km
Folgende Bedingung: Das Auto fuhr auf einer anderen Straße zurück, die 5 km kürzer war als die erste . Wir sehen, dass Lösung (20; 15) auch diese Bedingung erfüllt, da 15 km um 5 km kürzer als 20 km sind: 20 km − 15 km = 5 km
Beim Zusammenstellen eines Systems ist es wichtig, dass die Variablen in allen in diesem System enthaltenen Gleichungen die gleichen Zahlen darstellen.
Unser System enthält also zwei Gleichungen. Diese Gleichungen enthalten wiederum Variablen X Und j, die in beiden Gleichungen die gleichen Zahlen darstellen, nämlich Straßenlängen von 20 km und 15 km.
Problem 2. Auf den Bahnsteig wurden Eichen- und Kiefernschwellen geladen, insgesamt 300 Schwellen. Es ist bekannt, dass alle Eichenschwellen 1 Tonne weniger wogen als alle Kiefernschwellen. Bestimmen Sie, wie viele Eichen- und Kiefernschwellen es getrennt gab, wenn jede Eichenschwelle 46 kg und jede Kiefernschwelle 28 kg wog.
Lösung
Lassen X Eiche und j Kiefernschwellen wurden auf den Bahnsteig geladen. Wenn es insgesamt 300 Schwellen gäbe, kann die erste Gleichung wie folgt geschrieben werden: x+y = 300 .
Alle Eichenschwellen wogen 46 X kg, und die aus Kiefernholz wogen 28 j kg. Da Eichenschwellen 1 Tonne weniger wogen als Kiefernschwellen, kann die zweite Gleichung wie folgt geschrieben werden: 28y − 46X= 1000 . Diese Gleichung zeigt, dass der Massenunterschied zwischen Eichen- und Kiefernschwellen 1000 kg beträgt.
Tonnen wurden in Kilogramm umgerechnet, da die Masse von Eichen- und Kiefernschwellen in Kilogramm gemessen wurde.
Als Ergebnis erhalten wir zwei Gleichungen, die das System bilden
Lassen Sie uns dieses System lösen. Lassen Sie uns in der ersten Gleichung ausdrücken X. Dann nimmt das System die Form an:
Setze die erste Gleichung in die zweite ein und finde j
Lasst uns ersetzen j in die Gleichung ein X= 300 − j und finde heraus, was es ist X
Das bedeutet, dass 100 Eichen- und 200 Kiefernholzschwellen auf den Bahnsteig geladen wurden.
Überprüfen wir, ob die Lösung (100; 200) die Bedingungen des Problems erfüllt. Stellen wir zunächst sicher, dass das System richtig gelöst ist:
Es hieß, es seien insgesamt 300 Schläfer gewesen. Wir addieren die Anzahl der Eichen- und Kiefernschwellen und stellen sicher, dass die Lösung (100; 200) diese Bedingung erfüllt: 100 + 200 = 300.
Folgende Bedingung: Alle Eichenschwellen wogen 1 Tonne weniger als alle Kiefernschwellen . Wir sehen, dass die Lösung (100; 200) auch diese Bedingung erfüllt, da 46 × 100 kg Eichenschwellen leichter sind als 28 × 200 kg Kiefernschwellen: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.
Problem 3. Wir haben drei Stücke einer Kupfer-Nickel-Legierung im Gewichtsverhältnis 2:1, 3:1 und 5:1 genommen. Daraus wurde ein 12 kg schweres Stück mit einem Verhältnis von Kupfer- und Nickelgehalt von 4:1 erschmolzen. Ermitteln Sie die Masse jedes Originalstücks, wenn die Masse des ersten doppelt so groß ist wie die Masse des zweiten.
- Systeme M lineare Gleichungen mit N Unbekannt.
Lösen eines Systems linearer Gleichungen- das ist so eine Zahlenmenge ( x 1 , x 2 , …, x n), wenn es in jede der Gleichungen des Systems eingesetzt wird, wird die korrekte Gleichheit erhalten.
Wo a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— Systemkoeffizienten;
b i , i = 1, …, m- kostenlose Mitglieder;
x j , j = 1, …, n- Unbekannt.
Das obige System kann in Matrixform geschrieben werden: EIN X = B,
Wo ( A|B) ist die Hauptmatrix des Systems;
A— erweiterte Systemmatrix;
X— Spalte der Unbekannten;
B— Kolumne der freien Mitglieder.
Wenn Matrix B keine Nullmatrix ∅ ist, dann heißt dieses lineare Gleichungssystem inhomogen.
Wenn Matrix B= ∅, dann heißt dieses lineare Gleichungssystem homogen. Ein homogenes System hat immer eine Nulllösung (trivial): x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Gemeinsames System linearer Gleichungen ist ein System linearer Gleichungen, das eine Lösung hat.
Inkonsistentes System linearer Gleichungen ist ein unlösbares System linearer Gleichungen.
Ein bestimmtes System linearer Gleichungen ist ein System linearer Gleichungen, das eine eindeutige Lösung hat.
Unbestimmtes System linearer Gleichungen ist ein lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen. - Systeme aus n linearen Gleichungen mit n Unbekannten
Wenn die Anzahl der Unbekannten gleich der Anzahl der Gleichungen ist, ist die Matrix quadratisch. Die Determinante einer Matrix wird als Hauptdeterminante eines linearen Gleichungssystems bezeichnet und mit dem Symbol Δ bezeichnet.
Cramer-Methode zur Lösung von Systemen N lineare Gleichungen mit N Unbekannt.
Cramers Regel.
Wenn die Hauptdeterminante eines Systems linearer Gleichungen ungleich Null ist, dann ist das System konsistent und definiert, und die einzige Lösung wird mithilfe der Cramer-Formeln berechnet:
wobei Δ i Determinanten sind, die aus der Hauptdeterminante des Systems Δ durch Ersetzen erhalten werden ich Spalte in die Spalte der freien Mitglieder. . - Systeme von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten
Kronecker-Capelli-Theorem.
Damit ein gegebenes System linearer Gleichungen konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der Systemmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix des Systems ist. klingelte(Α) = klingelte(Α|B).
Wenn klingelte(Α) ≠ klingelte(Α|B), dann hat das System offensichtlich keine Lösungen.
Wenn klingelte(Α) = klingelte(Α|B), dann sind zwei Fälle möglich:
1) Rang(Α) = n(Anzahl der Unbekannten) – die Lösung ist eindeutig und kann mithilfe der Cramer-Formeln ermittelt werden;
2) Rang(Α)< n - es gibt unendlich viele Lösungen. - Gauß-Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Lassen Sie uns eine erweiterte Matrix erstellen ( A|B) eines gegebenen Systems aus den Koeffizienten der Unbekannten und der rechten Seiten.
Die Gaußsche Methode oder die Methode zur Eliminierung von Unbekannten besteht in der Reduzierung der erweiterten Matrix ( A|B) unter Verwendung elementarer Transformationen über seine Zeilen in eine Diagonalform (in die obere Dreiecksform). Zurück zum Gleichungssystem: Alle Unbekannten werden bestimmt.
Zu den elementaren Transformationen über Zeichenfolgen gehören Folgendes:
1) zwei Zeilen vertauschen;
2) Multiplizieren einer Zeichenfolge mit einer anderen Zahl als 0;
3) Hinzufügen einer weiteren Zeichenfolge zu einer Zeichenfolge, multipliziert mit einer beliebigen Zahl;
4) Wegwerfen einer Nulllinie.
Eine auf Diagonalform reduzierte erweiterte Matrix entspricht einem dem gegebenen äquivalenten linearen System, dessen Lösung keine Schwierigkeiten bereitet. . - System homogener linearer Gleichungen.
Ein homogenes System hat die Form:
es entspricht der Matrixgleichung EIN X = 0.
1) Ein homogenes System ist immer konsistent, da r(A) = r(A|B), es gibt immer eine Nulllösung (0, 0, …, 0).
2) Damit ein homogenes System eine Lösung ungleich Null hat, ist es notwendig und ausreichend, dass r = r(A)< n , was Δ = 0 entspricht.
3) Wenn R< n , dann ist offensichtlich Δ = 0, dann entstehen freie Unbekannte c 1 , c 2 , …, c n-r, das System hat nicht triviale Lösungen, und davon gibt es unendlich viele.
4) Allgemeine Lösung X bei R< n kann in Matrixform wie folgt geschrieben werden:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
Wo sind die Lösungen? X 1, X 2, …, X n-r bilden ein grundlegendes Lösungssystem.
5) Das grundlegende Lösungssystem kann aus der allgemeinen Lösung eines homogenen Systems erhalten werden:
,
wenn wir die Parameterwerte nacheinander auf (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) setzen.
Erweiterung der allgemeinen Lösung im Hinblick auf das grundlegende Lösungssystem ist eine Aufzeichnung einer allgemeinen Lösung in Form einer linearen Kombination von Lösungen, die zum Fundamentalsystem gehören.
Satz. Damit ein System linearer homogener Gleichungen eine Lösung ungleich Null hat, ist es notwendig und ausreichend, dass Δ ≠ 0.
Wenn also die Determinante Δ ≠ 0 ist, dann hat das System eine eindeutige Lösung.
Wenn Δ ≠ 0, dann hat das System linearer homogener Gleichungen unendlich viele Lösungen.
Satz. Damit ein homogenes System eine Lösung ungleich Null hat, ist dies notwendig und ausreichend r(A)< n .
Nachweisen:
1) R mehr kann es nicht geben N(Der Rang der Matrix überschreitet nicht die Anzahl der Spalten oder Zeilen);
2) R< n , Weil Wenn r = n, dann ist die Hauptdeterminante des Systems Δ ≠ 0, und nach Cramers Formeln gibt es eine eindeutige triviale Lösung x 1 = x 2 = … = x n = 0, was der Bedingung widerspricht. Bedeutet, r(A)< n .
Folge. Damit ein homogenes System entsteht N lineare Gleichungen mit N Unbekannte hatten eine Lösung ungleich Null, es ist notwendig und ausreichend, dass Δ = 0.
Bei vielen praktischen Problemen geht es darum, algebraische Gleichungssysteme 1. Grades oder, wie sie üblicherweise genannt werden, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Wir werden lernen, solche Systeme zu lösen, ohne dass die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss.
Im Allgemeinen wird das lineare Gleichungssystem wie folgt geschrieben:
Hier sind die Zahlen ein ij– Chancen Systeme, b ich – freie Mitglieder, x i– Symbole Unbekannt . Es ist sehr praktisch, die Matrixnotation einzuführen: – hauptsächlich Matrix des Systems, – Matrix–Spalte der freien Terme, – Matrix–Spalte der Unbekannten. Dann kann das System wie folgt geschrieben werden: AXT=B oder genauer:
Wenn wir auf der linken Seite dieser Gleichheit eine Matrixmultiplikation nach den üblichen Regeln durchführen und die Elemente der resultierenden Spalte mit den Elementen gleichsetzen IN, dann kommen wir zur Originalaufnahme der Anlage.
Beispiel 14. Schreiben wir dasselbe System linearer Gleichungen auf zwei verschiedene Arten:
Üblicherweise wird ein System linearer Gleichungen genannt gemeinsam , wenn es mindestens eine Lösung hat, und unvereinbar, wenn es keine Lösungen gibt.
In unserem Beispiel ist das System konsistent, die Spalte ist seine Lösung:
Diese Lösung kann ohne Matrizen geschrieben werden: X=2, J=1 . Wir nennen das Gleichungssystem unsicher , falls es mehr als eine Lösung gibt, und bestimmt, wenn es nur eine Lösung gibt.
Beispiel 15. Das System ist unsicher. Zum Beispiel sind seine Lösungen. Der Leser kann viele andere Lösungen für dieses System finden.
Lassen Sie uns zunächst lernen, wie man lineare Gleichungssysteme in einem bestimmten Fall löst. Gleichungssystem OH=IN wir rufen an Kramers , wenn seine Hauptmatrix A– quadratisch und nicht entartet. Mit anderen Worten: Im Cramer-System stimmt die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen und überein.
Satz 6. (Cramer-Regel). Das Cramer-System linearer Gleichungen hat eine einzigartige Lösung, die durch die Formeln gegeben ist:
wo ist die Determinante der Hauptmatrix, ist die daraus erhaltene Determinante D Ersatz ich-te Spalte mit einer Spalte freier Begriffe.
Kommentar. Cramer-Systeme können auf andere Weise gelöst werden, indem eine inverse Matrix verwendet wird. Schreiben wir dieses System in Matrixform: AXT=IN. Da gibt es eine inverse Matrix A –1 . Multiplizieren Sie die Matrixgleichheit mit A –1 links: A –1 OH=A –1 IN. Als A –1 OH=EX=X, dann ist die Lösung des Systems gefunden: X= A –1 IN Wir werden diese Lösungsmethode nennen Matrix . Wir betonen noch einmal, dass sie nur für Cramer-Systeme geeignet ist – in anderen Fällen existiert die inverse Matrix nicht. Im Folgenden findet der Leser ausführliche Beispiele zur Anwendung der Matrixmethode und der Cramer-Methode.
Lassen Sie uns abschließend den allgemeinen Fall untersuchen – das System M lineare Gleichungen mit N Unbekannt. Um es zu lösen, verwenden Sie Gaußsche Methode , was wir im Detail betrachten werden. Für ein beliebiges Gleichungssystem OH=IN wir schreiben es auf erweitert Matrix. Dies ist der übliche Name für die Matrix, die als Hauptmatrix erhalten wird A Fügen Sie rechts eine Spalte mit freien Mitgliedern hinzu IN:
Wie bei der Rangberechnung reduzieren wir unsere Matrix mithilfe elementarer Zeilentransformationen und Spaltenpermutationen auf eine Trapezform. In diesem Fall ändert sich natürlich das der Matrix entsprechende Gleichungssystem, aber es wird so sein ist gleichwertig das Original (ᴛ.ᴇ. wird die gleichen Lösungen haben). Tatsächlich ändert das Umstellen oder Hinzufügen von Gleichungen nichts an den Lösungen. Spalten neu anordnen - auch: Gleichungen x 1+3x2+7x3=4 Und x 1+7x3+3x2=4, Natürlich sind sie gleichwertig. Sie müssen nur notieren, welcher Unbekannten die angegebene Spalte entspricht. Wir ordnen die Spalte der freien Begriffe nicht neu an – sie wird normalerweise durch eine gepunktete Linie von den anderen in der Matrix getrennt. Nullzeilen, die in der Matrix erscheinen, müssen nicht geschrieben werden.
Beispiel 1. Lösen Sie das Gleichungssystem:
Lösung. Schreiben wir die erweiterte Matrix auf und reduzieren sie auf eine Trapezform. Zeichen ~ bedeutet nun nicht nur das Zusammentreffen der Ränge, sondern auch die Äquivalenz der entsprechenden Gleichungssysteme.
~ . Lassen Sie uns die durchgeführten Aktionen erklären.
Aktion 1. Die 1. Zeile wurde zur 2. Zeile addiert und mit multipliziert (–2). Die 1. Zeile wurde zur 3. und 4. Zeile addiert und mit multipliziert (–3). Der Zweck dieser Operationen besteht darin, Nullen in der ersten Spalte unterhalb der Hauptdiagonale zu erhalten.
Aktion 2. Denn an der diagonalen Stelle (2,2) gibt es 0 , ich musste die 2. und 3. Spalte neu anordnen. Um uns an diese Permutation zu erinnern, haben wir oben die Symbole der Unbekannten geschrieben.
Aktion 3. Die 2. Zeile wurde zur 3. Zeile addiert und mit multipliziert (–2). Zur 4. Zeile wurde eine 2. Zeile hinzugefügt. Das Ziel besteht darin, in der zweiten Spalte unterhalb der Hauptdiagonalen Nullen zu erhalten.
Aktion 4. Nulllinien können entfernt werden.
Die Matrix wird also auf eine Trapezform reduziert. Ihr Rang R=2 . Unbekannt x1, x3- Basic; x2, x4- frei. Geben wir den freien Unbekannten beliebige Werte:
x 2= a, x 4= B.
Hier a, b kann eine beliebige Zahl sein. Nun zur letzten Gleichung des neuen Systems
x 3+x 4= –3
wir finden x3: x3= –3 –B. Aufsteigend, von der ersten Gleichung
x 1+3x 3+2x 2+4x 4= 5
wir finden x1: x1=5 –3(–3 –B)–2a–4b= 14 –2a–B.
Wir schreiben die allgemeine Lösung auf:
x 1=14 –2a–b, x 2=a, x 3=–3 –b, x 4=B.
Sie können die allgemeine Lösung als Matrixspalte schreiben:
Für bestimmte Werte A Und B, können Sie empfangen Privat Lösungen. Zum Beispiel wann A=0, geb=1 wir erhalten: – eine der Lösungen des Systems.
Anmerkungen. Im Gaußschen Methodenalgorithmus haben wir gesehen (Fall 1), dass die Inkompatibilität des Gleichungssystems mit der Diskrepanz in den Rängen der Haupt- und erweiterten Matrizen zusammenhängt. Lassen Sie uns den folgenden wichtigen Satz ohne Beweis präsentieren.
Satz 7 (Kronecker-Capelli). Ein System linearer Gleichungen ist genau dann konsistent, wenn der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix des Systems ist.
Systeme linearer Gleichungen – Konzept und Typen. Einordnung und Merkmale der Kategorie „Systeme linearer Gleichungen“ 2017, 2018.
Damit seine Zeilen (oder Spalten) linear abhängig sind. Gegeben sei ein System mit mlinearen Gleichungen mit Nunknown: 5.1. Lassen Sie uns die folgende Notation einführen. 5.2., - die Matrix des Systems - seine erweiterte Matrix. - Spalte der freien Mitglieder. - Spalte der Unbekannten. Wenn... .
nichtlineare Optimierung (NLO) und umgekehrt. Lösung des ZNO-Problems: Finden Sie (8.1) das Minimum oder Maximum in einem Bereich D. Wie wir uns aus Mathe erinnern. Bei der Analyse sollten partielle Ableitungen gleich Null gesetzt werden. Somit wurde ZNO (8.1) auf SNL (8.2) (8.2) n nichtlineare Gleichungen reduziert. ... .
Vorlesung 15 Betrachten Sie ein inhomogenes System (16). Wenn die entsprechenden Koeffizienten eines homogenen Systems (7) gleich den entsprechenden Koeffizienten eines inhomogenen Systems (16) sind, dann wird das homogene System (7) als entsprechendes inhomogenes System (16) bezeichnet. . Satz. Wenn... [weiterlesen] .
7.1 Homogene lineare Gleichungssysteme. Gegeben sei ein homogenes System linearer Gleichungen (*) Nehmen wir an, dass eine Menge von Zahlen eine Art Lösung für dieses System darstellt. Dann ist die Zahlenmenge auch eine Lösung. Dies kann durch direkte Substitution in die Gleichungen des Systems überprüft werden.... .
Tabelle 3 Stadien der motorischen Entwicklung eines Kindes Stadium Alter Indikatoren der motorischen Entwicklung Zeitpunkt der Geburt bis zu 4 Monaten Bildung der Kontrolle über die Position des Kopfes und die Möglichkeit seiner freien Orientierung im Raum 4-6 Monate Entwicklung der anfänglichen... .
Definition 1. Ein System linearer Gleichungen der Form (1), wobei das Feld ein System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten über dem Feld genannt wird, die Koeffizienten der Unbekannten sind und die freien Terme des Systems (1) sind ). Definition 2. Geordnetes n (), wobei als Lösung eines linearen Systems bezeichnet wird... .
Ein System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten ein System der Form genannt
Wo ein ij Und b ich (ich=1,…,M; B=1,…,N) sind einige bekannte Zahlen, und x 1 ,…,x n- Unbekannt. Bei der Bezeichnung von Koeffizienten ein ij erster Index ich bezeichnet die Gleichungsnummer und die zweite J– die Nummer der Unbekannten, bei der dieser Koeffizient steht.
Wir werden die Koeffizienten für die Unbekannten in Form einer Matrix schreiben 
, die wir nennen werden Matrix des Systems.
Die Zahlen auf der rechten Seite der Gleichungen sind b 1 ,…,b m werden genannt kostenlose Mitglieder.
Gesamtheit N Zahlen c 1 ,…,c n angerufen Entscheidung eines gegebenen Systems, wenn jede Gleichung des Systems zu einer Gleichheit wird, nachdem Zahlen darin eingesetzt wurden c 1 ,…,c n anstelle der entsprechenden Unbekannten x 1 ,…,x n.
Unsere Aufgabe wird es sein, Lösungen für das System zu finden. In diesem Fall können drei Situationen auftreten:
Ein System linearer Gleichungen, das mindestens eine Lösung hat, heißt gemeinsam. Ansonsten, d.h. Wenn das System keine Lösungen hat, wird es aufgerufen nicht gelenkig.
Betrachten wir Möglichkeiten, Lösungen für das System zu finden.
MATRIXVERFAHREN ZUR LÖSUNG VON SYSTEMEN LINEARER GLEICHUNGEN
Matrizen ermöglichen es, ein System linearer Gleichungen kurz aufzuschreiben. Gegeben sei ein System aus 3 Gleichungen mit drei Unbekannten:
Betrachten Sie die Systemmatrix 
und Matrizenspalten mit unbekannten und freien Begriffen 
Lasst uns die Arbeit finden
diese. Als Ergebnis des Produkts erhalten wir die linken Seiten der Gleichungen dieses Systems. Dann kann dieses System unter Verwendung der Definition der Matrixgleichheit in der Form geschrieben werden
oder kürzer A∙X=B.
Hier sind die Matrizen A Und B bekannt sind, und die Matrix X Unbekannt. Es ist notwendig, es zu finden, weil... Seine Elemente sind die Lösung für dieses System. Diese Gleichung heißt Matrixgleichung.
Die Matrixdeterminante sei von Null verschieden | A| ≠ 0. Dann wird die Matrixgleichung wie folgt gelöst. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung links mit der Matrix A-1, Umkehrung der Matrix A: . Weil das A -1 A = E Und E∙X = X, dann erhalten wir eine Lösung der Matrixgleichung in der Form X = A -1 B .
Beachten Sie, dass die Matrixmethode nur solche Systeme lösen kann, da die inverse Matrix nur für quadratische Matrizen gefunden werden kann die Anzahl der Gleichungen stimmt mit der Anzahl der Unbekannten überein. Eine Matrixaufzeichnung des Systems ist jedoch auch dann möglich, wenn die Anzahl der Gleichungen nicht gleich der Anzahl der Unbekannten ist, also die Matrix A wird nicht quadratisch sein und daher ist es unmöglich, eine Lösung des Systems in der Form zu finden X = A -1 B.
Beispiele. Gleichungssysteme lösen.
CRAMERS REGEL
Betrachten Sie ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten:
Determinante dritter Ordnung, die der Systemmatrix entspricht, d. h. bestehend aus Koeffizienten für Unbekannte,
angerufen Determinante des Systems.
Lassen Sie uns drei weitere Determinanten wie folgt zusammenstellen: Ersetzen Sie nacheinander die Spalten 1, 2 und 3 in der Determinante D durch eine Spalte mit freien Termen
Dann können wir das folgende Ergebnis beweisen.
Satz (Cramer-Regel). Wenn die Determinante des Systems Δ ≠ 0 ist, dann hat das betrachtete System eine und nur eine Lösung und
Nachweisen. Betrachten wir also ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Multiplizieren wir die erste Gleichung des Systems mit dem algebraischen Komplement Eine 11 Element eine 11, 2. Gleichung – weiter Ein 21 und 3. – am A 31:
Fügen wir diese Gleichungen hinzu:
Schauen wir uns die einzelnen Klammern und die rechte Seite dieser Gleichung an. Nach dem Satz über die Entwicklung der Determinante in Elementen der 1. Spalte
Ebenso lässt sich zeigen, dass und .
Schließlich ist das leicht zu bemerken 
Somit erhalten wir die Gleichheit: .
Somit, .
Die Gleichungen und werden auf ähnliche Weise abgeleitet, woraus die Aussage des Satzes folgt.
Wir stellen also fest, dass, wenn die Determinante des Systems Δ ≠ 0 ist, das System eine eindeutige Lösung hat und umgekehrt. Wenn die Determinante des Systems gleich Null ist, dann hat das System entweder unendlich viele Lösungen oder keine Lösungen, d.h. unvereinbar.
Beispiele. Gleichungssystem lösen
GAUSS-METHODE
Mit den zuvor besprochenen Methoden können nur solche Systeme gelöst werden, bei denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt und die Determinante des Systems von Null verschieden sein muss. Die Gauß-Methode ist universeller und für Systeme mit beliebig vielen Gleichungen geeignet. Es besteht in der konsequenten Eliminierung von Unbekannten aus den Gleichungen des Systems.
Betrachten Sie noch einmal ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten:
.
Wir lassen die erste Gleichung unverändert und schließen aus der zweiten und dritten Gleichung die enthaltenden Terme aus x 1. Teilen Sie dazu die zweite Gleichung durch A 21 und multipliziere mit – A 11 und fügen Sie es dann zur 1. Gleichung hinzu. Ebenso dividieren wir die dritte Gleichung durch A 31 und multipliziere mit – A 11, und fügen Sie es dann mit dem ersten hinzu. Als Ergebnis wird das ursprüngliche System die Form annehmen:
Aus der letzten Gleichung eliminieren wir nun den enthaltenden Term x 2. Teilen Sie dazu die dritte Gleichung durch, multiplizieren Sie mit und addieren Sie mit der zweiten. Dann haben wir ein Gleichungssystem:
Von hier aus ist es anhand der letzten Gleichung leicht zu finden x 3, dann aus der 2. Gleichung x 2 und schließlich vom 1. - x 1.
Bei Verwendung der Gauß-Methode können die Gleichungen bei Bedarf vertauscht werden.
Anstatt ein neues Gleichungssystem zu schreiben, beschränken sie sich oft darauf, die erweiterte Matrix des Systems aufzuschreiben:
und bringen Sie es dann mithilfe elementarer Transformationen in eine dreieckige oder diagonale Form.
ZU elementare Transformationen Matrizen umfassen die folgenden Transformationen:
- Neuanordnen von Zeilen oder Spalten;
- Multiplizieren einer Zeichenfolge mit einer Zahl ungleich Null;
- Hinzufügen weiterer Zeilen zu einer Zeile.
Beispiele: Lösen Sie Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.
Somit hat das System unendlich viele Lösungen.
MIT N unbekannt ist ein System der Form:
Wo ein ij Und b i (i=1,…,m; b=1,…,n)- einige bekannte Zahlen und x 1 ,…,x n- unbekannte Zahlen. Bei der Bezeichnung von Koeffizienten ein ij Index ich bestimmt die Nummer der Gleichung und die zweite J- die Nummer der Unbekannten, bei der sich dieser Koeffizient befindet.
Homogenes System - wenn alle freien Terme des Systems gleich Null sind ( b 1 = b 2 = … = b m = 0), ist die umgekehrte Situation heterogenes System.
Quadratisches System - wenn die Zahl M Gleichungen gleich der Zahl N Unbekannt.
Systemlösung- Gesamtheit N Zahlen c 1, c 2, …, c n, so dass alle ersetzt werden c ich anstatt x i in ein System verwandelt alle seine Gleichungen in Identitäten.
Gelenksystem - wenn das System mindestens 1 Lösung hat, und nicht kooperatives System wenn das System keine Lösungen hat.
Ein gemeinsames System dieser Art (wie oben angegeben, sei es (1)) kann eine oder mehrere Lösungen haben.
Lösungen c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) Und c 1 (2), c 2 (2), …, c n (2) Gelenksysteme vom Typ (1) werden sein verschieden, wenn auch nur eine der Gleichungen nicht erfüllt ist:
c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .
Ein gemeinsames System vom Typ (1) wird sein bestimmt wenn sie nur eine Lösung hat; Wenn ein System mindestens zwei verschiedene Lösungen hat, wird es unterbestimmt. Wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte gibt, ist das System neu definiert.
Die Koeffizienten für die Unbekannten werden als Matrix geschrieben:
Es wird genannt Matrix des Systems.
Die Zahlen, die auf der rechten Seite der Gleichungen erscheinen, sind b 1 ,…,b m Sind kostenlose Mitglieder.
Gesamtheit N Zahlen c 1 ,…,c n ist eine Lösung für dieses System, wenn alle Gleichungen des Systems nach dem Einsetzen von Zahlen darin gleich werden c 1 ,…,c n anstelle der entsprechenden Unbekannten x 1 ,…,x n.
Bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems können sich drei Möglichkeiten ergeben:
1. Das System hat nur eine Lösung.
2. Das System hat unendlich viele Lösungen. Zum Beispiel, . Die Lösung dieses Systems sind alle Zahlenpaare, die sich im Vorzeichen unterscheiden.
3. Das System hat keine Lösungen. Zum Beispiel. . wenn es eine Lösung gäbe, dann x 1 + x 2 wäre gleichzeitig 0 und 1.
Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme.
Direkte Methoden Geben Sie einen Algorithmus an, mit dem die genaue Lösung gefunden wird SLAU(Systeme linearer algebraischer Gleichungen). Und wenn die Genauigkeit absolut gewesen wäre, hätten sie es gefunden. Ein echter elektrischer Computer arbeitet natürlich mit einem Fehler, daher wird die Lösung ungefähr sein.
