Wenn Grade teilbar sind, dann sind es Grade. Lektion „Multiplikation und Potenzenteilung“

Sie haben die gleichen Grade, aber die Exponenten der Grade sind nicht gleich, 2² * 2³, dann ist das Ergebnis eine Basis des Grades mit derselben identischen Basis der Terme des Gradprodukts, erhöht zu einem gleichen Exponenten zur Summe der Exponenten aller multiplizierten Grade.

2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32

Wenn die Terme eines Potenzprodukts unterschiedliche Potenzbasen haben und die Exponenten gleich sind, zum Beispiel 2³ * 5³, dann ist das Ergebnis das Produkt der Basen dieser Potenzen, erhöht um einen Exponenten, der diesem Exponenten entspricht .

2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

Wenn die zu multiplizierenden Potenzen einander gleich sind, zum Beispiel 5³ * 5³, dann ist das Ergebnis eine Potenz mit einer Basis, die diesen identischen Potenzbasen entspricht, erhöht auf einen Exponenten, der dem Exponenten der Potenzen multipliziert mit entspricht die Anzahl dieser identischen Befugnisse.

5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625

Oder ein anderes Beispiel mit dem gleichen Ergebnis:

5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625

Quellen:

Was ist ein Grad mit natürlichem Exponenten?
Produkt der Kräfte

Mathematische Operationen mit Potenzen können nur durchgeführt werden, wenn die Basen der Exponenten gleich sind und zwischen ihnen Multiplikations- oder Divisionszeichen stehen. Die Basis eines Exponenten ist die Zahl, die potenziert wird.

Anweisungen

Sind die Zahlen durcheinander teilbar (cm 1), dann erscheint y (in diesem Beispiel die Zahl 3) als Potenz, die durch Subtraktion der Exponenten gebildet wird. Darüber hinaus wird diese Aktion direkt ausgeführt: Der zweite wird vom ersten Indikator abgezogen. Beispiel 1. Wir führen ein: (a)b, wobei in Klammern – a die Basis ist, außerhalb der Klammern – in – der Exponent. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort eine Zahl mit negativer Potenz ist, wird eine solche Zahl in eine umgewandelt gewöhnlicher Bruch, dessen Zähler eins ist und im Nenner die Basis mit dem aus der Differenz erhaltenen Exponenten, nur in positiver Form (mit Pluszeichen). Beispiel 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Die Gewaltenteilung kann in einer anderen Form durch das Bruchzeichen geschrieben werden und nicht wie in diesem Schritt angegeben durch das „:“-Zeichen. Am Lösungsprinzip ändert sich dadurch nichts, alles wird genauso gemacht, nur die Eingabe erfolgt mit einem waagerechten (oder schrägen) Bruchzeichen statt einem Doppelpunkt. Beispiel 3. (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2 ) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Bei der Multiplikation identischer Basen mit Graden werden die Grade addiert. Beispiel 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Wenn die Exponenten unterschiedliche Vorzeichen haben, erfolgt ihre Addition nach mathematischen Gesetzen. Beispiel 5. (2 )1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Wenn sich die Basen der Exponenten unterscheiden, können sie höchstwahrscheinlich durch mathematische Transformation in die gleiche Form gebracht werden. Beispiel 6. Angenommen, wir müssen den Wert des Ausdrucks finden: (4)2: (2)3. Da wir wissen, dass die Zahl Vier als Zweierquadrat dargestellt werden kann, wird dieses Beispiel wie folgt gelöst: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Als nächstes, wenn eine Zahl potenziert wird. Wenn Sie bereits einen Abschluss haben, werden die Abschlussindizes miteinander multipliziert: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .

Hilfreicher Rat

Denken Sie daran: Wenn sich eine bestimmte Basis von der zweiten Basis zu unterscheiden scheint, suchen Sie nach einer mathematischen Lösung. Unterschiedliche Zahlen werden nicht einfach angegeben. Es sei denn, der Schriftsetzer hat im Lehrbuch einen Tippfehler gemacht.

Das Potenzformat zum Schreiben einer Zahl ist eine verkürzte Form des Schreibens der Operation, bei der eine Basis mit sich selbst multipliziert wird. Mit einer Zahl in dieser Form können Sie die gleichen Operationen wie mit jeder anderen Zahl durchführen, einschließlich der Potenzierung. Sie können beispielsweise das Quadrat einer Zahl beliebig potenzieren und das Ergebnis auf dem aktuellen Stand der technischen Entwicklung zu erhalten, wird keine Schwierigkeiten bereiten.

Du wirst brauchen

Internetzugang oder Windows-Rechner.

Anweisungen

Um ein Quadrat zu potenzieren, verwenden Sie die allgemeine Regel zum Potenzieren eines Quadrats, das bereits einen Potenzexponenten hat. Bei dieser Operation werden die Indikatoren multipliziert, die Basis bleibt jedoch gleich. Wenn die Basis als x und die Anfangs- und Zusatzindikatoren als a und b bezeichnet werden, kann diese Regel in allgemeiner Form wie folgt geschrieben werden: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

Wie multipliziert man Potenzen? Welche Kräfte können vervielfacht werden und welche nicht? Wie multipliziert man eine Zahl mit einer Potenz?

In der Algebra kann man ein Potenzprodukt in zwei Fällen finden:

1) wenn die Abschlüsse die gleichen Grundlagen haben;

2) wenn die Abschlüsse die gleichen Indikatoren haben.

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen muss die Basis gleich bleiben und die Exponenten addiert werden:

Bei der Multiplikation von Graden mit denselben Indikatoren kann der Gesamtindikator aus Klammern entnommen werden:

Schauen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie man Potenzen multipliziert.

Die Einheit wird nicht im Exponenten geschrieben, aber bei der Multiplikation von Potenzen berücksichtigen sie:

Bei der Multiplikation kann es beliebig viele Potenzen geben. Denken Sie daran, dass Sie das Multiplikationszeichen nicht vor dem Buchstaben schreiben müssen:

Bei Ausdrücken erfolgt zunächst die Potenzierung.

Wenn Sie eine Zahl mit einer Potenz multiplizieren müssen, sollten Sie zuerst die Potenzierung und erst dann die Multiplikation durchführen:

www.algebraclass.ru

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Potenzenteilung

Addition und Subtraktion von Potenzen

Es ist offensichtlich, dass Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden können , indem man sie nacheinander mit ihren Zeichen hinzufügt.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2.
Die Summe von a 3 - b n und h 5 -d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chancen gleiche Potenzen identischer Variablen kann addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also gleich 5a 2.

Es ist auch offensichtlich, dass man zwei Quadrate a, drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nimmt.

Aber Grad verschiedene Variablen Und verschiedene Grade identische Variablen, müssen durch Hinzufügen ihrer Zeichen zusammengesetzt werden.

Die Summe einer 2 und einer 3 ist also die Summe einer 2 + einer 3.

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und die Potenz von a nicht gleich dem Doppelten des Quadrats von a sind, sondern dem Doppelten der Potenz von a.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen ausgeführt, nur dass die Vorzeichen der Subtrahenden entsprechend geändert werden müssen.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzen multiplizieren

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie nacheinander schreibt, mit oder ohne ein Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen identischer Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3.

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass das Ergebnis einer Multiplikation von zwei beliebigen Zahlen eine Zahl (Variable) mit einer Potenz von ist Menge Grad der Begriffe.

Also, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Multiplikationsergebnisses, die gleich 2 + 3 ist, der Summe der Potenzen der Terme.

Also, a n .a m = a m+n .

Für a n wird a als Faktor so oft wie die Potenz von n verwendet;

Und ein m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten der Potenzen multipliziert werden.

Also, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplizieren Sie (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multiplizieren Sie (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten sind Negativ.

1. Also, a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa geschrieben werden.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert werden, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wenn Sie die Summe und Differenz zweier erhöhter Zahlen multiplizieren Quadrat, das Ergebnis ist gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Aufteilung der Abschlüsse

Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem man sie vom Dividenden subtrahiert oder sie in Bruchform umwandelt.

Somit ist a 3 b 2 dividiert durch b 2 gleich a 3.

Eine 5 dividiert durch eine 3 zu schreiben sieht aus wie $\frac $. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Zahlenreihe
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Das heißt, $\frac = y$.

Und a n+1:a = a n+1-1 = a n . Das heißt, $\frac = a^n$.

Oder:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Werte von Grad.
Das Ergebnis der Division von -5 durch -3 ist -2.
Auch $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Potenzenteilung sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele für das Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Verringern Sie die Exponenten um $\frac $ Antwort: $\frac $.

2. Verringern Sie die Exponenten um $\frac$. Antwort: $\frac$ oder 2x.

3. Reduzieren Sie die Exponenten a 2 /a 3 und a -3 /a -4 und bringen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner.
a 2 .a -4 ist a -2 der erste Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach der Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduzieren Sie die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 /5a 7 und 5a 5 /5a 7 oder 2a 3 /5a 2 und 5/5a 2.

5. Multiplizieren Sie (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multiplizieren Sie (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplizieren Sie b 4 /a -2 mit h -3 /x und a n /y -3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

Eigenschaften des Abschlusses

Wir erinnern Sie daran, dass wir es in dieser Lektion verstehen werden Eigenschaften von Graden mit natürlichen Indikatoren und Null. Potenzen mit rationalen Exponenten und ihre Eigenschaften werden im Unterricht für die 8. Klasse besprochen.

Eine Potenz mit einem natürlichen Exponenten hat mehrere wichtige Eigenschaften, die es uns ermöglichen, Berechnungen in Beispielen mit Potenzen zu vereinfachen.

Objekt Nr. 1
Produkt von Potenzen

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen bleibt die Basis unverändert und die Exponenten der Potenzen werden addiert.

a m · a n = a m + n, wobei „a“ eine beliebige Zahl ist und „m“, „n“ beliebige natürliche Zahlen sind.

Diese Eigenschaft von Potenzen gilt auch für das Produkt von drei oder mehr Potenzen.

Den Ausdruck vereinfachen.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Präsentieren Sie es als Abschluss.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Präsentieren Sie es als Abschluss.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Bitte beachten Sie, dass es sich bei der angegebenen Eigenschaft nur um die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen handelt. Dies gilt nicht für deren Hinzufügung.

Sie können die Summe (3 3 + 3 2) nicht durch 3 5 ersetzen. Das ist verständlich, wenn
Berechnen Sie (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 und 3 5 = 243

Objekt Nr. 2
Teilabschlüsse

Bei der Division von Potenzen mit gleichen Basen bleibt die Basis unverändert und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.

Schreiben Sie den Quotienten als Potenz
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Berechnung.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Beispiel. Löse die Gleichung. Wir nutzen die Eigenschaft der Quotientenpotenzen.
3 8: t = 3 4

Antwort: t = 3 4 = 81

Mit den Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen durchführen.

Beispiel. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks mithilfe der Eigenschaften von Exponenten.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Bitte beachten Sie, dass wir in Eigenschaft 2 nur über die Teilung von Befugnissen mit denselben Basen gesprochen haben.

Sie können die Differenz (4 3 −4 2) nicht durch 4 1 ersetzen. Dies ist verständlich, wenn man (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 und 4 1 = 4 berechnet

Objekt Nr. 3
Einen Grad zu einer Potenz erheben

Bei der Potenzierung eines Grades bleibt die Basis des Grades unverändert und die Exponenten werden multipliziert.

(a n) m = a n · m, wobei „a“ eine beliebige Zahl ist und „m“, „n“ beliebige natürliche Zahlen sind.

Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft Nr. 4, wie andere Eigenschaften von Graden auch, in umgekehrter Reihenfolge angewendet wird.

(a n · b n)= (a · b) n

Das heißt, um Potenzen mit denselben Exponenten zu multiplizieren, können Sie die Basen multiplizieren, den Exponenten jedoch unverändert lassen.

Beispiel. Berechnung.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Beispiel. Berechnung.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

In komplexeren Beispielen kann es Fälle geben, in denen Multiplikation und Division über Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Exponenten durchgeführt werden müssen. In diesem Fall empfehlen wir Ihnen, Folgendes zu tun.

Beispiel: 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Ein Beispiel für die Potenzierung einer Dezimalzahl.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Eigenschaften 5
Potenz eines Quotienten (Bruch)

Um einen Quotienten zu potenzieren, können Sie den Dividenden und den Divisor separat potenzieren und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.

(a: b) n = a n: b n, wobei „a“, „b“ beliebige rationale Zahlen sind, b ≠ 0, n – jede natürliche Zahl.

Beispiel. Stellen Sie den Ausdruck als Potenzquotienten dar.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Wir erinnern Sie daran, dass ein Quotient als Bruch dargestellt werden kann. Daher gehen wir auf der nächsten Seite näher auf das Thema der Potenzierung eines Bruchs ein.

Kräfte und Wurzeln

Operationen mit Kräften und Wurzeln. Abschluss mit Negativ ,

Null und Bruch Indikator. Über Ausdrücke, die keine Bedeutung haben.

Operationen mit Abschlüssen.

1. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten addiert:

Bin · a n = a m + n .

2. Bei der Division von Graden mit derselben Basis, deren Exponenten werden abgezogen .

3. Der Grad des Produkts zweier oder mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren.

4. Der Grad eines Verhältnisses (Bruch) ist gleich dem Verhältnis der Grade von Dividend (Zähler) und Divisor (Nenner):

(a/b) n = a n / b n .

5. Bei der Potenzierung werden deren Exponenten multipliziert:

Alle oben genannten Formeln werden in beide Richtungen von links nach rechts und umgekehrt gelesen und ausgeführt.

BEISPIEL (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operationen mit Wurzeln. In allen folgenden Formeln bedeutet das Symbol arithmetische Wurzel(Der radikale Ausdruck ist positiv).

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis der Wurzeln des Dividenden und des Divisors:

3. Wenn man eine Wurzel zu einer Potenz erhebt, reicht es aus, sie auf diese Potenz zu erhöhen Wurzelzahl:

4. Wenn Sie den Grad der Wurzel um das m-fache erhöhen und gleichzeitig die Wurzelzahl auf die m-te Potenz erhöhen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Grad der Wurzel um das m-fache reduzieren und gleichzeitig die m-te Wurzel der Wurzelzahl extrahieren, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Erweiterung des Abschlussbegriffs. Bisher haben wir Grade nur mit natürlichen Exponenten betrachtet; aber auch Operationen mit Kräften und Wurzeln können dazu führen Negativ, null Und gebrochen Indikatoren. Alle diese Exponenten erfordern eine zusätzliche Definition.

Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem negativen (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des negativen Exponenten entspricht:

Jetzt die Formel Bin : ein = a m - n kann nicht nur für verwendet werden M, mehr als N, aber auch mit M, weniger als N .

BEISPIEL A 4: A 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Wenn wir die Formel wollen Bin : ein = Bin — N war fair wann m = n, wir brauchen eine Definition des Grades Null.

Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit dem Exponenten Null ist 1.

BEISPIELE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Um eine reelle Zahl a auf die Potenz m/n zu erhöhen, müssen Sie die n-te Wurzel der m-ten Potenz dieser Zahl a ziehen:

Über Ausdrücke, die keine Bedeutung haben. Es gibt mehrere solcher Ausdrücke.

Wo A ≠ 0 , existiert nicht.

Tatsächlich, wenn wir das annehmen X eine bestimmte Zahl ist, dann gilt gemäß der Definition der Divisionsoperation: A = 0· X, d.h. A= 0, was der Bedingung widerspricht: A ≠ 0

— irgendeine Nummer.

Wenn wir tatsächlich davon ausgehen, dass dieser Ausdruck einer Zahl entspricht X, dann gilt nach der Definition der Divisionsoperation: 0 = 0 · X. Aber diese Gleichheit tritt ein, wenn eine beliebige Zahl x, was bewiesen werden musste.

0 0 — irgendeine Nummer.

Lösung. Betrachten wir drei Hauptfälle:

1) X = 0 – Dieser Wert erfüllt diese Gleichung nicht

2) wann X> 0 erhalten wir: x/x= 1, d.h. 1 = 1, was bedeutet

Was X- irgendeine Nummer; aber unter Berücksichtigung dessen in

in unserem Fall X> 0 lautet die Antwort X > 0 ;

Regeln zur Multiplikation von Potenzen mit unterschiedlichen Basen

ABSCHLUSS MIT RATIONALEM INDIKATOR,

POWER-FUNKTION IV

§ 69. Multiplikation und Teilung der Gewalten mit gleichen Grundlagen

Satz 1. Um Potenzen mit gleichen Basen zu multiplizieren, genügt es, die Exponenten zu addieren und die Basis gleich zu lassen

Nachweisen. Per Definition des Abschlusses

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Wir haben uns das Produkt zweier Potenzen angesehen. Tatsächlich gilt die bewiesene Eigenschaft für beliebig viele Potenzen mit den gleichen Basen.

Satz 2. Um Potenzen mit denselben Basen zu dividieren, wenn der Index des Dividenden größer als der Index des Divisors ist, reicht es aus, den Index des Divisors vom Index des Dividenden zu subtrahieren und die Basis gleich zu lassen bei t > p

(A =/= 0)

Nachweisen. Denken Sie daran, dass der Quotient aus der Division einer Zahl durch eine andere die Zahl ist, die, multipliziert mit dem Divisor, den Dividenden ergibt. Beweisen Sie daher die Formel wo A =/= 0, es ist dasselbe wie der Beweis der Formel

Wenn t > p , dann die Zahl t - p wird natürlich sein; daher nach Satz 1

Satz 2 ist bewiesen.

Es ist zu beachten, dass die Formel

Wir haben es nur unter der Annahme bewiesen, dass t > p . Aus dem Bewiesenen können daher beispielsweise noch keine folgenden Schlussfolgerungen gezogen werden:

Darüber hinaus haben wir Grade mit negativen Exponenten noch nicht berücksichtigt und wissen noch nicht, welche Bedeutung Ausdruck 3 haben kann - 2 .

Satz 3. Um einen Grad zu potenzieren, genügt es, die Exponenten zu multiplizieren, wobei die Basis des Grades gleich bleibt, also

Nachweisen. Mit der Definition des Grades und Satz 1 dieses Abschnitts erhalten wir:

Q.E.D.

Zum Beispiel (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (mündlich) Bestimmen X aus den Gleichungen:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .

519. (Set-Nr.) Vereinfachen:

520. (Set-Nr.) Vereinfachen:

521. Stellen Sie diese Ausdrücke in Form von Graden mit denselben Basen dar:

1) 32 und 64; 3) 8 5 und 16 3; 5) 4 100 und 32 50;

2) -1000 und 100; 4) -27 und -243; 6) 81 75 8 200 und 3 600 4 150.

In der letzten Videolektion haben wir gelernt, dass der Grad einer bestimmten Basis ein Ausdruck ist, der das Produkt der Basis selbst darstellt, gemessen in einem Betrag, der dem Exponenten entspricht. Lassen Sie uns nun einige der wichtigsten Eigenschaften und Wirkungsweisen von Kräften untersuchen.

Lassen Sie uns zum Beispiel zwei verschiedene Potenzen mit derselben Basis multiplizieren:

Lassen Sie uns dieses Werk in seiner Gesamtheit vorstellen:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Nachdem wir den Wert dieses Ausdrucks berechnet haben, erhalten wir die Zahl 32. Andererseits kann 32, wie aus demselben Beispiel hervorgeht, als das Produkt derselben Basis (zwei) dargestellt werden, das fünfmal genommen wird. Und tatsächlich, wenn man es mitzählt, dann:

Somit können wir zuversichtlich schlussfolgern, dass:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Diese Regel funktioniert aus allen Indikatoren und Gründen erfolgreich. Diese Eigenschaft der Potenzmultiplikation ergibt sich aus der Regel, dass die Bedeutung von Ausdrücken bei Transformationen in einem Produkt erhalten bleibt. Für jede Basis a ist das Produkt zweier Ausdrücke (a)x und (a)y gleich a(x + y). Mit anderen Worten: Wenn Ausdrücke mit derselben Basis erzeugt werden, hat das resultierende Monom einen Gesamtgrad, der durch Addition der Grade des ersten und des zweiten Ausdrucks gebildet wird.

Auch bei der Multiplikation mehrerer Ausdrücke funktioniert die vorgestellte Regel hervorragend. Die Hauptbedingung ist, dass alle die gleichen Grundlagen haben. Zum Beispiel:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Es ist unmöglich, mit zwei Elementen eines Ausdrucks Abstufungen zu addieren und überhaupt keine machtbasierten gemeinsamen Aktionen durchzuführen, wenn ihre Grundlagen unterschiedlich sind.
Wie unser Video zeigt, lassen sich die Regeln für die Addition von Potenzen in einem Produkt aufgrund der Ähnlichkeit der Prozesse Multiplikation und Division perfekt auf das Divisionsverfahren übertragen. Betrachten Sie dieses Beispiel:

Lassen Sie uns den Ausdruck Term für Term in seine vollständige Form umwandeln und die gleichen Elemente im Dividenden und Divisor reduzieren:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Das Endergebnis dieses Beispiels ist nicht so interessant, da bereits beim Lösen klar wird, dass der Wert des Ausdrucks gleich dem Quadrat von zwei ist. Und es sind zwei, die man erhält, indem man den Grad des zweiten Ausdrucks vom Grad des ersten abzieht.

Um den Grad des Quotienten zu bestimmen, ist es notwendig, den Grad des Divisors vom Grad des Dividenden abzuziehen. Die Regel funktioniert mit der gleichen Grundlage für alle ihre Werte und für alle Naturkräfte. In Form der Abstraktion haben wir:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Aus der Regel, identische Basen durch Grade zu dividieren, folgt die Definition für den Nullgrad. Offensichtlich sieht der folgende Ausdruck so aus:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Wenn wir die Division hingegen visueller durchführen, erhalten wir:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Beim Reduzieren aller sichtbaren Elemente eines Bruchs erhält man immer den Ausdruck 1/1, also eins. Daher wird allgemein angenommen, dass jede zur Nullpotenz erhobene Basis gleich eins ist:

Unabhängig vom Wert von a.

Es wäre jedoch absurd, wenn 0 (was bei jeder Multiplikation immer noch 0 ergibt) irgendwie gleich eins wäre, sodass ein Ausdruck der Form (0) 0 (null hoch null) einfach keinen Sinn ergibt und die Formel ( a) 0 = 1 füge eine Bedingung hinzu: „wenn a ungleich 0 ist.“

Lasst uns die Übung lösen. Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks ermitteln:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Da die Basis überall gleich ist und 34 beträgt, hat der Endwert die gleiche Basis mit einem Grad (gemäß den oben genannten Regeln):

Mit anderen Worten:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Antwort: Der Ausdruck ist gleich eins.

Die Regel zur Gradteilung. Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis gleich und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert. Beispiele:

Folie 11 aus der Präsentation „Potenzenteilung und Potenzvervielfachung“ für Algebra-Unterricht zum Thema „Abschluss“

Abmessungen: 960 x 720 Pixel, Format: jpg. Um eine kostenlose Folie zur Verwendung in einer Algebra-Lektion herunterzuladen, klicken Sie mit der rechten Maustaste auf das Bild und klicken Sie auf „Bild speichern unter“. " Sie können die gesamte Präsentation „Division und Multiplikation von Potenzen.ppt“ in einem 1313 KB großen Zip-Archiv herunterladen.

„Division und Multiplikation von Potenzen“ – a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Finden wir das Produkt von a2 und a3. 100. 2+3. 5 mal. 64 = 144 = 1 0000 =. Multiplikation und Gewaltenteilung. dreimal. a2 a3 =.

„Zweierpotenzen“ – 1024+. Regeln für die Umrechnung von einem Zahlensystem in ein anderes. Guselnikova E.V. Schule Nr. 130. Inhalt. Tabelle der Zweierpotenzen. Lassen Sie uns die Zahl 1998 von der Dezimalzahl in die Binärzahl umwandeln. Kislykh V.N. 11E Zinko K.O. 11F. Lehrer: Abgeschlossen: Schauen wir uns das Konvertierungsschema anhand eines Beispiels an.

„Grad mit negativem Exponenten“ – Grad mit negativem Exponenten. 5 12?3 (27?3). -2. -1. Berechnen Sie: -3.

„Eine Potenz mit einem rationalen Exponenten“ – zum Thema: „Eine Potenz mit einem rationalen Exponenten.“ Unterrichtsziele: I. Organisatorischer Teil. Hausaufgaben überprüfen 1. Mathematisches Diktat 2. Peer-Testing III. Unabhängige Arbeit IV. Allgemeine Lektion. Während des Unterrichts. Vorbereitung auf die Prüfung V. Zusammenfassung der Lektion VI. II.

„Potenz mit einem ganzzahligen Exponenten“ – Geben Sie den Ausdruck als Potenz wieder. X-12. In absteigender Reihenfolge anordnen. Drücken Sie den Ausdruck x-12 als Produkt zweier Potenzen mit der Basis x aus, wenn ein Faktor bekannt ist. Berechnung. Vereinfachen.

„Eigenschaften eines Abschlusses“ – Verallgemeinerung von Kenntnissen und Fähigkeiten bei der Anwendung der Eigenschaften eines Abschlusses mit einem natürlichen Indikator. Rechenpause. Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten. Überprüfe dich selbst! Anwendung von Wissen zur Lösung von Problemen unterschiedlicher Komplexität. Prüfen. Körperliche Bewegung. Entwicklung von Ausdauer, geistiger Aktivität und kreativer Aktivität.

Regel zur Gewaltenteilung

1. Der Grad des Produkts zweier oder mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren (mit demselben Exponenten):

(abc…) n = a n b n c n …

Beispiel 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Beispiel 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x – a)] 3 =( x +a) 3 (x - a) 3

In der Praxis ist die umgekehrte Konvertierung wichtiger:

a n b n c n … = (abc…) n

diese. Das Produkt gleicher Potenzen mehrerer Größen ist gleich der gleichen Potenz des Produkts dieser Größen.

Beispiel 3. Beispiel 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. Die Potenz eines Quotienten (Bruch) ist gleich dem Quotienten der Division derselben Potenz des Divisors durch dieselbe Potenz:

Beispiel 5. Beispiel 6.

Umgekehrte Konvertierung:. Beispiel 7. . Beispiel 8. .

3. Bei der Multiplikation von Graden mit gleichen Basen werden die Exponenten der Grade addiert:

Beispiel 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Beispiel 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5.

4. Bei der Division von Potenzen mit gleichen Basen wird der Exponent des Divisors vom Exponenten des Dividenden subtrahiert

Beispiel 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Beispiel 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. Bei der Potenzierung eines Grades werden die Exponenten multipliziert:

Beispiel 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Beispiel 14.