Der Kern der Monte-Carlo-Methode ist wie folgt: Sie müssen den Wert ermitteln A einige untersuchte Menge. Wählen Sie dazu eine Zufallsvariable X, deren mathematischer Erwartungswert gleich a ist: M(X) = a.

In der Praxis machen sie Folgendes: Sie berechnen (spielen aus) N Mögliche Werte x i der Zufallsvariablen X, finden Sie ihr arithmetisches Mittel

Und sie nehmen a* der gewünschten Zahl a als Schätzwert (Näherungswert). Um die Monte-Carlo-Methode verwenden zu können, müssen Sie daher in der Lage sein, eine Zufallsvariable zu spielen.

Lassen Sie es notwendig sein, eine diskrete Zufallsvariable X zu spielen, d.h. Berechnen Sie die Folge seiner möglichen Werte x i (i=1,2, ...) und kennen Sie das Verteilungsgesetz von X. Lassen Sie uns die Notation einführen: R ist eine kontinuierliche Zufallsvariable, die gleichmäßig im Intervall (0,1) verteilt ist ); r i (j=1,2,...) – Zufallszahlen (mögliche Werte von R).

Regel: Um eine durch das Verteilungsgesetz vorgegebene diskrete Zufallsvariable X abzuspielen

X x 1 x 2 ... x n

P p 1 p 2 … p n

1. Teilen Sie das Intervall (0,1) der oder-Achse in n Teilintervalle:

Δ 1 =(0;ð 1), Δ 2 =(ð 1; ð 1+ ð 2), …, Δ n = (ð 1 +ð 2 +…+ð n -1; 1).

2. Wählen Sie eine Zufallszahl r j . Fällt r j in das Teilintervall Δ i, so nimmt der gespielte Wert einen möglichen Wert x i an. .

Eine komplette Gruppe von Ereignissen abspielen

Es müssen Tests durchgeführt werden, bei denen jeweils eines der Ereignisse der gesamten Gruppe auftritt, deren Wahrscheinlichkeiten bekannt sind. Das Abspielen einer vollständigen Gruppe von Ereignissen läuft darauf hinaus, eine diskrete Zufallsvariable abzuspielen.

Regel: Um Tests zu spielen, bei denen jeweils eines der Ereignisse A 1, A 2, ..., A n der gesamten Gruppe auftritt, deren Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2, ..., p n bekannt sind, Es genügt, einen diskreten Wert X mit folgendem Verteilungsgesetz abzuspielen:

P p 1 p 2 … p n

Wenn im Test der Wert X einen möglichen Wert x i =i annahm, dann ist das Ereignis A i eingetreten.

Spielen einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Die Verteilungsfunktion F einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X ist bekannt. Sie wird benötigt, um X abzuspielen, d.h. Berechnen Sie die Folge möglicher Werte x i (i=1,2, ...).

A. Methode der Umkehrfunktionen. Regel 1. x i einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) bekannt ist, wird Regel 2 verwendet.

Regel 2. Den möglichen Wert ausspielen x i einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X, wenn Sie ihre Wahrscheinlichkeitsdichte f kennen, müssen Sie eine Zufallszahl r i wählen und die Gleichung nach x i lösen

oder Gleichung

wobei a der kleinstmögliche Endwert von X ist.

B. Überlagerungsmethode. Regel 3. Um den möglichen Wert einer Zufallsvariablen X abzuspielen, ist die Verteilungsfunktion davon

F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),

wobei F k (x) – Verteilungsfunktionen (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, Sie müssen zwei unabhängige Zufallszahlen r 1 und wählen r 2 und spielen Sie mit der Zufallszahl r 1 den möglichen Wert der diskreten Hilfszufallsvariablen Z ab (gemäß Regel 1):

p C 1 C 2 … C n

Wenn sich herausstellt, dass Z=k, dann lösen Sie die Gleichung F k (x) = r 2 nach x.

Bemerkung 1. Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X in der Form gegeben ist

f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),

wobei f k Wahrscheinlichkeitsdichten sind, die Koeffizienten C k positiv sind, ihre Summe gleich eins ist, und wenn sich herausstellt, dass Z=k, dann lösen Sie (gemäß Regel 2) nach x i nach oder die Gleichung

Ungefähres Spiel einer normalen Zufallsvariablen

Regel. Um den möglichen Wert anzunähern x i einer normalen Zufallsvariablen X mit den Parametern a=0 und σ=1, müssen Sie 12 unabhängige Zufallszahlen addieren und 6 von der resultierenden Summe subtrahieren:

Kommentar. Wenn Sie eine normale Zufallsvariable Z mit mathematischem Erwartungswert näherungsweise spielen möchten A und Standardabweichung σ, dann, nachdem Sie den möglichen Wert von x i gemäß der obigen Regel gespielt haben, finden Sie den gewünschten möglichen Wert unter Verwendung der Formel: z i =σx i +a.

Erinnern wir uns zunächst daran, dass es sich um eine Zufallsvariable handelt R gleichmäßig im Intervall (0,1) verteilt ist, dann sind sein mathematischer Erwartungswert und seine Varianz jeweils gleich (siehe Kapitel XII, § 1, Anmerkung 3):

M(R)= 1/2, (*)

D(R)= 1/2. (**)

Machen wir eine Summe P unabhängige Zufallsvariablen, die gleichmäßig im Intervall (0,1) verteilt sind Rj(J=1, 2, ...,n):

Um diese Summe zu normalisieren, ermitteln wir zunächst ihren mathematischen Erwartungswert und ihre Varianz.

Es ist bekannt, dass der mathematische Erwartungswert der Summe der Zufallsvariablen gleich der Summe der mathematischen Erwartungen der Terme ist. Betrag (***) enthält P Terme, deren mathematische Erwartung aufgrund von (*) jeweils 1/2 beträgt; daher ist die mathematische Erwartung der Summe ( *** )

Es ist bekannt, dass die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen gleich der Summe der Varianzen der Terme ist. Betrag (***) enthält N unabhängige Terme, deren Streuung aufgrund von (**) jeweils 1/12 beträgt; daher die Varianz der Summe (***)

Daher die Standardabweichung der Summe (***)

Normalisieren wir den betrachteten Betrag, indem wir den mathematischen Erwartungswert subtrahieren und das Ergebnis durch die Standardabweichung dividieren:

Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes wann p→∞ Die Verteilung dieser normalisierten Zufallsvariablen normalisiert sich tendenziell mit den Parametern a= 0 und σ=1. Endlich P die Verteilung ist annähernd normal. Insbesondere wann P= 12 erhalten wir eine ziemlich gute und praktische Näherung für Berechnungen

Regel. Den möglichen Wert ausspielen x i normale Zufallsvariable X mit den Parametern a=0 und σ=1 müssen Sie 12 unabhängige Zufallszahlen addieren und 6 von der resultierenden Summe subtrahieren:

Beispiel, a) Spiele 100 mögliche Werte des Normalwertes aus X mit Parametern a=0 und σ=1; b) Schätzen Sie die Parameter des gespielten Wertes.

Lösung. a) Wählen wir 12 Zufallszahlen aus der ersten Zeile der Tabelle * aus, addieren sie und subtrahieren 6 von der resultierenden Summe; am Ende haben wir

x i=(0,10+0,09+...+0,67) - 6= - 0,99.

In ähnlicher Weise ermitteln wir die verbleibenden möglichen Werte, indem wir die ersten 12 Zahlen aus jeder nächsten Zeile der Tabelle auswählen X.

b) Nach Durchführung der Berechnungen erhalten wir die erforderlichen Schätzungen:

Zufriedenstellende Bewertungen: A* nahe Null weicht σ* kaum von Eins ab.

Kommentar. Wenn Sie einen möglichen Wert spielen möchten z i, normale Zufallsvariable Z mit mathematischer Erwartung A und Standardabweichung σ Dann wird nach der Regel dieses Absatzes der mögliche Wert ausgespielt xi, Finden Sie mithilfe der Formel den gewünschten möglichen Wert

z i =σx i +a.

Diese Formel ergibt sich aus der Beziehung ( z i -a)/σ=x i.

Aufgaben

1. Spielen Sie 6 Werte einer diskreten Zufallsvariablen X, dessen Verteilungsgesetz in Form einer Tabelle angegeben ist

X		3,2
P	0,18	0,24	0,58

Notiz. Gehen Sie zur Sicherheit davon aus, dass Zufallszahlen ausgewählt wurden: 0,73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0,53. Rep. 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.

2. Spielen Sie 4 Versuche mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A gleich 0,52.

Notiz. Gehen Sie zur Sicherheit davon aus, dass Zufallszahlen ausgewählt wurden: 0;28; 0,53; 0,91; 0,89.

Rep. A, , .

3. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass drei Ereignisse eine vollständige Gruppe bilden, sind angegeben: R(A 1)=0,20, R(A 2)=0,32, R(Eine 3)= 0,48. Spielen Sie 6 Herausforderungen, in denen jeweils eines der vorgegebenen Ereignisse vorkommt.

Notiz. Gehen Sie zur Sicherheit davon aus, dass Zufallszahlen ausgewählt wurden: 0,77; 0,19; 0,21; 0,51; 0,99; 0,33.

Rep. Eine 3,A 1 ,A 2 ,A 2 ,Eine 3,A 2 .

4. Ereignisse A und B unabhängig und kooperativ. Spielen Sie 5 Herausforderungen mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A ist gleich 0,5 und Ereignisse IN- 0,8.

A 1 =AB Nehmen Sie zur Sicherheit Zufallszahlen: 0,34; 0,41; 0,48; 0,21; 0,57.

Rep. A 1 ,A 2 ,A 2 ,A 1 ,Eine 3.

5. Ereignisse A, B, C unabhängig und kooperativ. Spielen Sie 4 Tests, in denen jeweils die Eintrittswahrscheinlichkeiten von Ereignissen angegeben werden: R(A)= 0,4, R(IN)= 0,6, R(MIT)= 0,5.

Notiz. Stellen Sie eine vollständige Gruppe von Ereignissen zusammen: Nehmen Sie zur Sicherheit an, dass Zufallszahlen ausgewählt werden: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.

Antwort A 1 ,Eine 8,Eine 4,Eine 4.

6. Ereignisse A Und IN abhängig und kooperativ. Spielen Sie 4 Tests, bei denen jeweils Wahrscheinlichkeiten angegeben sind: R(A)=0,7, R(IN)=0,6, R(AB)=0,4.

Notiz. Erstellen Sie eine vollständige Gruppe von Ereignissen: A 1 =AB Nehmen Sie zur Sicherheit Zufallszahlen: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89.

Rep. A 1 , A 2 , A 4 , A 3 .

7. Spielen Sie 3 mögliche Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X, die nach dem Exponentialgesetz verteilt und durch die Verteilungsfunktion spezifiziert ist F(X)= 1 - e -10 x .

Notiz. Nehmen Sie zur Sicherheit an, dass Zufallszahlen ausgewählt wurden: 0,67; 0,79; 0,91.

Rep. 0,04; 0,02; 0,009.

8. Spielen Sie 4 mögliche Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X, gleichmäßig im Intervall verteilt (6,14).

Notiz. Nehmen Sie zur Bestimmtheit an, dass Zufallszahlen ausgewählt wurden: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93.

Rep. 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.

9. Finden Sie explizite Formeln zum Spielen einer kontinuierlichen Zufallsvariablen mithilfe der Superpositionsmethode X, gegebene Verteilungsfunktion

F(X)=1- (1/3)(2е- 2 x +е -3 x:), 0<X<∞.

Rep. x= - (1/2)1п r 2 wenn R 1 < 2/3; X= - (1/3)1п r 2 wenn R 1 ≥2/3.

10. Finden Sie eine explizite Formel zum Spielen einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X, gegebene Wahrscheinlichkeitsdichte F(X)=B/(1 +Axt) 2 im Intervall 0≤ X≤1/(b-a); außerhalb dieses Intervalls f(x)=0.

Rep. x i= - r i/(b - ar i).

11. Spielen Sie 2 mögliche Werte einer normalen Zufallsvariablen mit den Parametern: a) A=0, σ =1; B) A =2, σ =3.

Notiz. Akzeptieren Sie aus Sicherheitsgründen Zufallszahlen (die Anzahl der Hundertstel ist unten angegeben; die Zahl 74 entspricht beispielsweise einer Zufallszahl). R 1 =0,74): 74. 10, 88, 82. 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30.

Rep. A) X 1 = - 0,22, X 2 = - 0.10; 6) z 1 =1,34, z 2 =2,70.

Kapitel zweiundzwanzig

Umkehrfunktionsmethode

Angenommen, wir möchten eine kontinuierliche Zufallsvariable spielen X, d. h. eine Folge seiner möglichen Werte erhalten X ich (ich= 1,2, ...), Kenntnis der Verteilungsfunktion F(X).

Satz. Wenn R ich ,-Zufallszahl, dann möglicher WertX ich gespielte kontinuierliche Zufallsvariable X mit einer gegebenen VerteilungsfunktionF(X), dazugehörigenR ich , ist die Wurzel der Gleichung

F(X ich)= R ich . (»)

Nachweisen. Es sei eine Zufallszahl gewählt R ich (0≤R ich <1). Так как в интервале всех возможных значений X Verteilungsfunktion F(X) monoton von 0 auf 1 ansteigt, dann gibt es in diesem Intervall nur einen solchen Wert des Arguments X ich , bei dem die Verteilungsfunktion den Wert annimmt R ich. Mit anderen Worten: Gleichung (*) hat eine eindeutige Lösung

X ich = F - 1 (R ich),

Wo F - 1 - Umkehrfunktion y=F(X).

Lassen Sie uns nun beweisen, dass die Wurzel X ich Gleichung (*) ist der mögliche Wert einer solchen kontinuierlichen Zufallsvariablen (wir werden ihn vorübergehend mit bezeichnen). ξ , und dann werden wir dafür sorgen ξ=Х). Zu diesem Zweck beweisen wir die Trefferwahrscheinlichkeit ξ in ein Intervall, zum Beispiel ( Mit,D), zum Intervall aller möglichen Werte gehörend X, gleich dem Inkrement der Verteilungsfunktion F(X) in diesem Intervall:

R(Mit< ξ < D)= F(D)- F(Mit).

In der Tat, seitdem F(X)- monoton wachsende Funktion im Intervall aller möglichen Werte X, dann entsprechen in diesem Intervall große Werte des Arguments großen Werten der Funktion und umgekehrt. Deshalb, wenn Mit <X ich < D, Das F(C)< R ich < F(D), und umgekehrt [es wird berücksichtigt, dass aufgrund (*) F(X ich)=R ich ].

Aus diesen Ungleichungen folgt, dass es sich um eine Zufallsvariable handelt ξ im Intervall enthalten

Mit< ξ < D, ξ (**)

dann die Zufallsvariable R im Intervall enthalten

F(Mit)< R< F(D), (***)

und zurück. Somit sind die Ungleichungen (**) und (***) gleichwertig und daher gleich wahrscheinlich:

R(Mit< ξ< D)=P[F(Mit)< R< F(D)]. (****)

Da der Wert R gleichmäßig im Intervall (0,1) verteilt ist, dann ist die Trefferwahrscheinlichkeit R in ein zum Intervall (0,1) gehörendes Intervall ist gleich seiner Länge (siehe Kapitel XI, § 6, Bemerkung). Insbesondere,

R[F(Mit)< R< F(D) ] = F(D) - F(Mit).

Daher kann die Beziehung (****) in der Form geschrieben werden

R(Mit< ξ< D)= F(D) - F(Mit).

Also die Trefferwahrscheinlichkeit ξ im Intervall ( Mit,D) ist gleich dem Inkrement der Verteilungsfunktion F(X) in diesem Intervall, was bedeutet, dass ξ=X. Mit anderen Worten, die Zahlen X ich, definiert durch die Formel (*), sind die möglichen Werte der Menge X s gegebene Verteilungsfunktion F(X), Q.E.D.

Regel 1.X ich , kontinuierliche Zufallsvariable X, Kenntnis seiner Verteilungsfunktion F(X), Sie müssen eine Zufallszahl auswählen R ich Setzen Sie seine Verteilungsfunktionen gleich und lösen Sie nach auf X ich , die resultierende Gleichung

F(X ich)= R ich .

Anmerkung 1. Wenn es nicht möglich ist, diese Gleichung explizit zu lösen, greifen Sie auf grafische oder numerische Methoden zurück.

Beispiel I Spielen Sie 3 mögliche Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X, gleichmäßig im Intervall (2, 10) verteilt.

Lösung. Schreiben wir die Verteilungsfunktion der Menge X, gleichmäßig im Intervall verteilt ( A,B) (siehe Kapitel XI, § 3, Beispiel):

F(X)= (Ha)/ (B-A).

Durch Bedingung, a = 2, B=10, also

F(X)= (X- 2)/ 8.

Unter Verwendung der Regel dieses Absatzes werden wir eine Gleichung schreiben, um mögliche Werte zu finden X ich , für die wir die Verteilungsfunktion einer Zufallszahl gleichsetzen:

(X ich -2 )/8= R ich .

Von hier X ich =8 R ich + 2.

Wählen wir zum Beispiel 3 Zufallszahlen aus: R ich =0,11, R ich =0,17, R ich=0,66. Setzen wir diese Zahlen in die bezüglich aufgelöste Gleichung ein X ich , Als Ergebnis erhalten wir die entsprechenden möglichen Werte X: X 1 =8·0,11+2==2,88; X 2 =1.36; X 3 = 7,28.

Beispiel 2. Kontinuierliche Zufallsvariable X nach dem durch die Verteilungsfunktion vorgegebenen Exponentialgesetz verteilt (der Parameter λ > 0 ist bekannt)

F(X)= 1 - e - λ X (x>0).

Wir müssen eine explizite Formel finden, um die möglichen Werte auszuspielen X.

Lösung. Mit der Regel dieses Absatzes schreiben wir die Gleichung

1 - e - λ X ich

Lösen wir diese Gleichung nach X ich :

e - λ X ich = 1 - R ich, oder - λ X ich = ln(1 - R ich).

X ich =13 Uhr(1– R ich)/λ .

Zufallszahl R ich eingeschlossen im Intervall (0,1); daher ist die Nummer 1 R ich, ist ebenfalls zufällig und gehört zum Intervall (0,1). Mit anderen Worten, die Mengen R und 1 - R gleichmäßig verteilt. Daher zu finden X ich Sie können eine einfachere Formel verwenden:

X ich =- ln R ich /λ.

Bemerkung 2. Es ist bekannt, dass (siehe Kapitel XI, §3)

Insbesondere,

Daraus folgt, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte bekannt ist F(X), dann zum Spielen X es ist möglich anstelle von Gleichungen F(X ich)=R ich entscheiden bzgl X ich Die gleichung

Regel 2. Um den möglichen Wert zu finden X ich (kontinuierliche Zufallsvariable X, Kenntnis seiner Wahrscheinlichkeitsdichte F(X) müssen Sie eine Zufallszahl auswählen R ich und entscheiden Sie darüber X ich , Die gleichung

oder Gleichung

Wo A- Kleinstmöglicher Endwert X.

Beispiel 3. Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen XF(X)=λ (1-λх/2) im Intervall (0; 2/λ); außerhalb dieses Intervalls F(X)= 0. Wir müssen eine explizite Formel finden, um die möglichen Werte auszuspielen X.

Lösung. Schreiben wir gemäß Regel 2 die Gleichung

Nach Durchführung der Integration und Lösung der resultierenden quadratischen Gleichung für X ich, wir bekommen es endlich

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LEKTION 1

Simulation zufälliger Ereignisse mit einem gegebenen Verteilungsgesetz

Spielen einer diskreten Zufallsvariablen

Lassen Sie es notwendig sein, eine diskrete Zufallsvariable zu spielen, d.h. Erhalten Sie eine Folge seiner möglichen Werte x i (i = 1,2,3,...n) und kennen Sie das Verteilungsgesetz von X:

Bezeichnen wir mit R eine kontinuierliche Zufallsvariable. Der Wert von R ist gleichmäßig im Intervall (0,1) verteilt. Mit r j (j = 1,2,...) bezeichnen wir die möglichen Werte der Zufallsvariablen R. Teilen wir das Intervall 0< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

Dann erhalten wir:

Es ist ersichtlich, dass die Länge des Teilintervalls mit Index i gleich der Wahrscheinlichkeit P mit demselben Index ist. Länge

Wenn also eine Zufallszahl r i in das Intervall fällt, nimmt die Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeit P i den Wert x i an.

Es gibt den folgenden Satz:

Wenn jeder Zufallszahl, die in das Intervall fällt, ein möglicher Wert x i zugeordnet ist, unterliegt der gespielte Wert einem bestimmten Verteilungsgesetz

Algorithmus zum Abspielen einer durch das Verteilungsgesetz vorgegebenen diskreten Zufallsvariablen

1. Es ist notwendig, das Intervall (0,1) der 0r-Achse in n Teilintervalle zu unterteilen:

2. Wählen Sie (z. B. aus einer Tabelle mit Zufallszahlen oder auf einem Computer) eine Zufallszahl r j aus.

Wenn r j in das Intervall fiel, nahm die gespielte diskrete Zufallsvariable einen möglichen Wert x i an.

Spielen einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Es sei erforderlich, eine kontinuierliche Zufallsvariable X abzuspielen, d.h. Erhalten Sie eine Folge seiner möglichen Werte x i (i = 1,2,...). In diesem Fall ist die Verteilungsfunktion F(X) bekannt.

Existiert nächste Satz.

Wenn r i eine Zufallszahl ist, dann ist der mögliche Wert x i der gespielten kontinuierlichen Zufallsvariablen X mit einer bekannten Verteilungsfunktion F(X) entsprechend r i die Wurzel der Gleichung

Algorithmus zum Spielen einer kontinuierlichen Zufallsvariablen:

1. Sie müssen eine Zufallszahl r i auswählen.

2. Setzen Sie die ausgewählte Zufallszahl mit der bekannten Verteilungsfunktion F(X) gleich und erhalten Sie eine Gleichung.

3. Lösen Sie diese Gleichung nach x i. Der resultierende Wert x i entspricht gleichzeitig der Zufallszahl r i . und das gegebene Verteilungsgesetz F(X).

Beispiel. Spielen Sie 3 mögliche Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X, gleichmäßig verteilt im Intervall (2; 10).

Die Verteilungsfunktion des X-Wertes hat folgende Form:

Bedingung: a = 2, b = 10, also

Gemäß dem Algorithmus zum Spielen einer kontinuierlichen Zufallsvariablen setzen wir F(X) mit der ausgewählten Zufallszahl r i gleich. Wir erhalten von hier aus:

Setzen Sie diese Zahlen in Gleichung (5.3) ein. Wir erhalten die entsprechenden möglichen Werte von x:

Probleme der Modellierung zufälliger Ereignisse mit einem gegebenen Verteilungsgesetz

1. Es ist erforderlich, 10 Werte einer diskreten Zufallsvariablen abzuspielen, d.h. Erhalten Sie eine Folge seiner möglichen Werte x i (i=1,2,3,…n) und kennen Sie das Verteilungsgesetz von X

Wählen wir eine Zufallszahl r j aus der Tabelle der Zufallszahlen aus: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,66; 0,99; 0,19; 0,88; 0,59; 0,78

2. Die Häufigkeit des Eingangs von Serviceanfragen unterliegt dem Exponentialverteilungsgesetz (), x, der Parameter l ist bekannt (im Folgenden l = 1/t – die Intensität des Empfangs von Anfragen)

l=0,5 Anfragen/Stunde. Bestimmen Sie die Wertefolge für die Dauer der Intervalle zwischen Bewerbungseingängen. Die Anzahl der Implementierungen beträgt 5. Anzahl r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,99;

LEKTION 2

Warteschlangensystem

Systeme, bei denen einerseits massive Anforderungen an die Erbringung von Diensten jeglicher Art vorliegen und andererseits diese Anforderungen erfüllt werden, werden als Warteschlangensysteme bezeichnet. Jedes QS dient der Erfüllung des Anfrageflusses.

QS umfassen: Anforderungsquelle, eingehender Fluss, Warteschlange, bedienendes Gerät, ausgehender Anfragefluss.

SMO sind unterteilt in:

QS mit Verlusten (Ausfällen)

Warteschlange mit Warten (unbegrenzte Warteschlangenlänge)

QS mit begrenzter Warteschlangenlänge

QS mit begrenzter Wartezeit.

Basierend auf der Anzahl der Kanäle oder Servicegeräte können QS-Systeme einkanalig oder mehrkanalig sein.

Nach Standort der Anforderungsquelle: offen und geschlossen.

Nach der Anzahl der Serviceelemente pro Anforderung: einphasig und mehrphasig.

Eine der Klassifizierungsformen ist die D. Kendall-Klassifikation – A/B/X/Y/Z

A – bestimmt die Zeitverteilung zwischen den Ankünften;

B – bestimmt die Verteilung der Dienstzeit;

X – bestimmt die Anzahl der Servicekanäle;

Y – bestimmt die Systemkapazität (Warteschlangenlänge);

Z – bestimmt die Reihenfolge der Zustellung.

Wenn die Systemkapazität unendlich ist und die Servicewarteschlange dem Prinzip „Wer zuerst kommt, mahlt zuerst“ folgt, werden die Y/Z-Teile weggelassen. Die erste Ziffer (A) verwendet die folgenden Symbole:

Die M-Verteilung hat ein Exponentialgesetz,

G – das Fehlen jeglicher Annahmen über den Serviceprozess, oder er wird mit dem Symbol GI identifiziert, was einen wiederkehrenden Serviceprozess bedeutet,

D- deterministisch (feste Servicezeit),

E n - Erlang n-ter Ordnung,

NM n – Hyper-Erlang n-ter Ordnung.

Die zweite Ziffer (B) verwendet die gleichen Symbole.

Die vierte Ziffer (Y) zeigt die Pufferkapazität an, d.h. maximale Anzahl von Plätzen in der Warteschlange.

Die fünfte Ziffer (Z) gibt die Methode der Auswahl aus der Warteschlange in einem Wartesystem an: SP-gleiche Wahrscheinlichkeit, FF-zuerst rein-zuerst raus, LF-letzter rein-zuerst raus, PR-Priorität.

Für Aufgaben:

l ist die durchschnittliche Anzahl der pro Zeiteinheit eingegangenen Bewerbungen

µ – durchschnittliche Anzahl der pro Zeiteinheit bearbeiteten Anträge

Auslastungsfaktor von Kanal 1 oder der Prozentsatz der Zeit, in der der Kanal ausgelastet ist.

Hauptmerkmale:

1) P-Abweisung – Ausfallwahrscheinlichkeit – die Wahrscheinlichkeit, dass das System den Dienst verweigert und die Anforderung verloren geht. Dies geschieht, wenn der Kanal oder alle Kanäle belegt sind (TFoP).

Für ein Mehrkanal-QS P open =P n, wobei n die Anzahl der Servicekanäle ist.

Für einen QS mit begrenzter Warteschlangenlänge P open =P n + l, wobei l die zulässige Warteschlangenlänge ist.

2) Relative q- und absolute A-Systemkapazität

q= 1-P offen A=ql

3) Gesamtzahl der Anforderungen im System

L sys = n – für SMO mit Misserfolgen, n ist die Anzahl der durch den Service belegten Kanäle.

Für QS mit Wartezeit und begrenzter Warteschlangenlänge

L sys = n+L cool

Dabei ist L cool die durchschnittliche Anzahl der Anfragen, die auf den Beginn des Dienstes usw. warten.

Wir werden die verbleibenden Merkmale berücksichtigen, während wir die Probleme lösen.

Einkanal- und Mehrkanal-Warteschlangensysteme. Systeme mit Fehlern.

Das einfachste einkanalige Modell mit einem probabilistischen Eingabefluss- und Serviceverfahren ist ein Modell, das durch eine exponentielle Verteilung sowohl der Dauer der Intervalle zwischen Bedarfseingängen als auch der Servicedauern gekennzeichnet ist. In diesem Fall hat die Verteilungsdichte der Dauer der Intervalle zwischen den Anfrageneingängen die Form

Verteilungsdichte der Dienstzeiten:

Die Abläufe von Anfragen und Diensten sind einfach. Lassen Sie das System mit Fehlern arbeiten. Diese Art von QS kann bei der Modellierung von Übertragungskanälen in lokalen Netzwerken verwendet werden. Es ist notwendig, den absoluten und relativen Durchsatz des Systems zu bestimmen. Stellen wir uns dieses Warteschlangensystem in Form eines Diagramms vor (Abbildung 2), das zwei Zustände hat:

S 0 – Kanal frei (wartend);

S 1 – Kanal ist belegt (Anfrage wird bearbeitet).

Abbildung 2. Zustandsdiagramm eines einkanaligen QS mit Fehlern

Bezeichnen wir die Zustandswahrscheinlichkeiten: P 0 (t) – die Wahrscheinlichkeit des „kanalfreien“ Zustands; P 1 (t) – Wahrscheinlichkeit des Zustands „Kanal besetzt“. Unter Verwendung des beschrifteten Zustandsgraphen erstellen wir ein System von Kolmogorov-Differentialgleichungen für Zustandswahrscheinlichkeiten:

Das System linearer Differentialgleichungen hat eine Lösung unter Berücksichtigung der Normalisierungsbedingung P 0 (t) + P 1 (t) = 1. Die Lösung dieses Systems heißt instationär, da sie direkt von t abhängt und so aussieht:

P 1 (t) = 1 - P 0 (t) (3.4.3)

Es lässt sich leicht überprüfen, dass für ein einkanaliges QS mit Ausfällen die Wahrscheinlichkeit P 0 (t) nichts anderes als die relative Kapazität des Systems q ist. Tatsächlich ist P 0 die Wahrscheinlichkeit, dass zum Zeitpunkt t der Kanal frei ist und eine zum Zeitpunkt t eintreffende Anfrage bearbeitet wird, und daher für eine gegebene Zeit t das durchschnittliche Verhältnis der Anzahl der bearbeiteten Anfragen zur Anzahl der empfangenen Anfragen ist auch gleich P 0 (t), d. h. q = P 0 (t).

Nach einem großen Zeitintervall (at) wird ein stationärer (stationärer) Modus erreicht:

Wenn man den relativen Durchsatz kennt, ist es leicht, den absoluten Durchsatz zu ermitteln. Der absolute Durchsatz (A) ist die durchschnittliche Anzahl von Anfragen, die ein Warteschlangensystem pro Zeiteinheit bedienen kann:

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bearbeitung einer Anfrage verweigert wird, entspricht der Wahrscheinlichkeit des Status „Kanal besetzt“:

Dieser Wert von P offen kann als durchschnittlicher Anteil der nicht bearbeiteten Anträge unter den eingereichten Anträgen interpretiert werden.

In der Praxis sind Warteschlangensysteme in den allermeisten Fällen mehrkanalig, und daher sind Modelle mit n Versorgungskanälen (wobei n > 1) zweifellos von Interesse. Der in diesem Modell beschriebene Warteschlangenprozess ist durch die Intensität des Eingabeflusses l gekennzeichnet, wobei nicht mehr als n Clients (Anwendungen) parallel bedient werden können. Die durchschnittliche Bearbeitungsdauer einer Anfrage beträgt 1/Minute. Die Eingabe- und Ausgabeströme sind Poisson. Der Betriebsmodus eines bestimmten Bedienkanals hat keinen Einfluss auf den Betriebsmodus anderer Bedienkanäle des Systems, und die Dauer des Bedienvorgangs für jeden Kanal ist eine Zufallsvariable, die einem Exponentialverteilungsgesetz unterliegt. Das ultimative Ziel der Verwendung von n parallel verbundenen Servicekanälen besteht darin, (im Vergleich zu einem Einkanalsystem) die Geschwindigkeit der Bearbeitung von Anfragen zu erhöhen, indem n Clients gleichzeitig bedient werden. Der Zustandsgraph eines Mehrkanal-Warteschlangensystems mit Ausfällen hat die in Abbildung 4 dargestellte Form.

Abbildung 4. Zustandsdiagramm eines Mehrkanal-QS mit Fehlern

S 0 - alle Kanäle sind frei;

S 1 - ein Kanal ist belegt, der Rest ist frei;

S k – genau k Kanäle sind belegt, der Rest ist frei;

S n - alle n Kanäle sind belegt, der Rest ist frei.

Kolmogorovs Gleichungen für die Wahrscheinlichkeiten der Systemzustände P 0 , ... , P k , ... P n werden die folgende Form haben:

Die Anfangsbedingungen zur Lösung des Systems sind:

P 0 (0) = 1, P 1 (0) = P 2 (0) = ... = P k (0) = ... = P 1 (0) = 0.

Die stationäre Lösung des Systems hat die Form:

Formeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten P k (3.5.1) werden Erlang-Formeln genannt.

Bestimmen wir die probabilistischen Eigenschaften der Funktion eines Mehrkanal-QS bei Ausfällen im stationären Modus:

1) Ausfallwahrscheinlichkeit:

denn eine Anfrage wird abgelehnt, wenn sie zu einem Zeitpunkt eintrifft, an dem alle n Kanäle belegt sind. Der Wert P open charakterisiert die Vollständigkeit der Versorgung des eingehenden Stroms;

2) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anfrage zur Bearbeitung angenommen wird (sie ist auch die relative Kapazität des Systems q) ergänzt P offen zu eins:

3) absoluter Durchsatz

4) Die durchschnittliche Anzahl der vom Dienst () belegten Kanäle ist wie folgt:

Der Wert charakterisiert den Belastungsgrad des QS.

Aufgabenfür Lektion 2

1. Ein Kommunikationszweig mit einem Kanal empfängt den einfachsten Nachrichtenfluss mit einer Intensität von l = 0,08 Nachrichten pro Sekunde. Die Sendezeit wird nach dem Exp-Gesetz verteilt. Die Bearbeitung einer Nachricht erfolgt mit der Intensität µ=0,1. Nachrichten, die zu Zeiten eintreffen, in denen der bedienende Kanal mit der Übertragung einer zuvor empfangenen Nachricht beschäftigt ist, erhalten einen Übertragungsfehler.

Koeff. Relative Kanalauslastung (Wahrscheinlichkeit der Kanalbelegung)

P lehnt die Wahrscheinlichkeit ab, dass eine Nachricht nicht empfangen werden kann

Q relative Kapazität des Internodienzweigs

Und der absolute Durchsatz der Kommunikationsbranche.

2. Der Kommunikationszweig verfügt über einen Kanal und empfängt alle 10 Sekunden Nachrichten. Die Bearbeitungszeit für eine Nachricht beträgt 5 Sekunden. Die Nachrichtenübertragungszeit verteilt sich nach einem Exponentialgesetz. Nachrichten, die eintreffen, wenn der Kanal belegt ist, werden nicht bedient.

Definieren

Rzan – Wahrscheinlichkeit der Belegung des Kommunikationskanals (relativer Auslastungsfaktor)

Q – relativer Durchsatz

A – absolute Kapazität des Kommunikationszweigs

4. Der internodale Zweig des sekundären Kommunikationsnetzwerks hat n = 4 Kanäle. Der Nachrichtenfluss, der zur Übertragung über die Kommunikationszweigkanäle ankommt, hat eine Intensität von 8 Nachrichten pro Sekunde. Die durchschnittliche Übertragungszeit einer Nachricht beträgt t = 0,1 Sekunden. Eine Nachricht, die zu einem Zeitpunkt eintrifft, an dem alle n Kanäle belegt sind, erhält einen Übertragungsfehler im Kommunikationszweig. Finden Sie die Eigenschaften des SMO:

LEKTION 3

Einkanalsystem mit Standby

Betrachten wir nun ein einkanaliges QS mit Warten. Das Warteschlangensystem verfügt über einen Kanal. Der eingehende Fluss von Serviceanfragen ist der einfachste Fluss mit Intensität. Die Intensität des Serviceflusses ist gleich (d. h. im Durchschnitt wird ein ständig ausgelasteter Kanal bediente Anfragen ausgeben). Die Dienstzeit ist eine Zufallsvariable, die dem Exponentialverteilungsgesetz unterliegt. Der Service-Flow ist der einfachste Poisson-Ereignisfluss. Eine bei ausgelastetem Kanal empfangene Anforderung wird in die Warteschlange gestellt und wartet auf Bearbeitung. Dieses QS kommt in der Modellierung am häufigsten vor. Mit dem einen oder anderen Grad der Annäherung kann es verwendet werden, um nahezu jeden Knoten eines lokalen Computernetzwerks (LAN) zu simulieren.

Nehmen wir an, dass unabhängig davon, wie viele Anfragen am Eingang des bedienenden Systems eingehen, dieses System (Warteschlange + bediente Clients) kann nicht erfüllen mehr als N-Anforderungen (Anträge), d. h. Kunden, die nicht in der Warteschleife sind, werden gezwungen, woanders bedient zu werden. System M/M/1/N. Schließlich verfügt die Quelle, die Serviceanfragen generiert, über eine unbegrenzte (unendlich große) Kapazität. Der Zustandsgraph des QS hat in diesem Fall die in Abbildung 3 dargestellte Form

Abbildung 3. Zustandsdiagramm eines einkanaligen QS mit Warten (Schema von Tod und Reproduktion)

Die QS-Staaten haben folgende Auslegung:

S 0 – „Kanal frei“;

S 1 – „Kanal besetzt“ (keine Warteschlange);

S 2 – „Kanal besetzt“ (eine Anfrage befindet sich in der Warteschlange);

S n – „Kanal belegt“ (n -1 Anwendungen befinden sich in der Warteschlange);

S N – „Kanal belegt“ (N – 1 Anwendungen befinden sich in der Warteschlange).

Der stationäre Prozess in diesem System wird durch das folgende System algebraischer Gleichungen beschrieben:

wobei p=Lastfaktor

n – Staatsnummer.

Die Lösung des obigen Gleichungssystems für unser QS-Modell hat die Form:

Anfangswahrscheinlichkeitswert für einen QS mit begrenzter Warteschlangenlänge

Für ein QS mit einer unendlichen Warteschlange Н =? :

P 0 =1- s (3.4.7)

Es ist zu beachten, dass die Erfüllung der Stationaritätsbedingung für ein bestimmtes QS nicht erforderlich ist, da die Anzahl der zum bedienenden System zugelassenen Bewerbungen durch die Einführung einer Beschränkung der Warteschlangenlänge gesteuert wird, die (N – 1) nicht überschreiten darf. , und nicht durch das Verhältnis zwischen den Intensitäten des Eingangsstroms, also nicht durch das Verhältnis c = l/m.

Im Gegensatz zum oben betrachteten einkanaligen System mit unbegrenzter Warteschlange liegt in diesem Fall eine stationäre Verteilung der Anzahl der Anfragen für beliebige endliche Werte des Auslastungsfaktors c vor.

Lassen Sie uns die Eigenschaften eines einkanaligen QS mit Wartezeit und einer begrenzten Warteschlangenlänge gleich (N - 1) (M/M/1/N) sowie für ein einkanaliges QS mit einem Puffer unbegrenzter Kapazität bestimmen (M/M/1/?). Für ein QS mit einer unendlichen Warteschlange gilt die Bedingung mit<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) Wahrscheinlichkeit der Verweigerung der Zustellung eines Antrags:

Eines der wichtigsten Merkmale von Systemen, in denen der Verlust von Anfragen möglich ist, ist die Wahrscheinlichkeit P Verlust, dass eine beliebige Anfrage verloren geht. In diesem Fall stimmt die Wahrscheinlichkeit, eine beliebige Anfrage zu verlieren, mit der Wahrscheinlichkeit überein, dass zu einem beliebigen Zeitpunkt alle Warteplätze belegt sind, d. h. Es gilt die folgende Formel: Р aus k = Р Н

2) relative Systemkapazität:

Für SMO mit unbegrenztemWarteschlange q =1, Weil Alle Anfragen werden bearbeitet

3) absoluter Durchsatz:

4) die durchschnittliche Anzahl der Bewerbungen im System:

L S mit unbegrenzter Warteschlange

5) durchschnittliche Verweildauer einer Anwendung im System:

Für unbegrenzte Warteschlange

6) durchschnittliche Verweildauer eines Kunden (Bewerbung) in der Warteschlange:

Mit unbegrenzter Warteschlange

7) durchschnittliche Anzahl der Anwendungen (Clients) in der Warteschlange (Warteschlangenlänge):

mit unbegrenzter Warteschlange

Vergleicht man die Ausdrücke für die durchschnittliche Wartezeit in der Warteschlange T och und die Formel für die durchschnittliche Länge der Warteschlange L och sowie die durchschnittliche Verweilzeit von Anfragen im System T S und die durchschnittliche Anzahl von Anfragen im System L S, wir sehen das

L och =l*T och L s =l* T s

Beachten Sie, dass diese Formeln auch für viele Warteschlangensysteme gelten, die allgemeiner sind als das betrachtete M/M/1-System und als Little-Formeln bezeichnet werden. Die praktische Bedeutung dieser Formeln besteht darin, dass sie die Notwendigkeit beseitigen, die Werte von T och und T s direkt mit einem bekannten Wert der Werte L och und L s zu berechnen und umgekehrt.

Einkanalige Aufgaben SMOmit Vorfreude, Mitwarten undbegrenzte Warteschlangenlänge

1. Gegeben sei ein Single-Line-QS mit unbegrenztem Warteschlangenspeicher. Bewerbungen gehen alle t = 14 Sekunden ein. Die durchschnittliche Übertragungszeit einer Nachricht beträgt t=10 Sekunden. Nachrichten, die zu Zeiten eintreffen, in denen der bedienende Kanal ausgelastet ist, werden in der Warteschlange empfangen, ohne diese vor Beginn der Bedienung zu verlassen.

Bestimmen Sie die folgenden Leistungsindikatoren:

2. Der knotenübergreifende Kommunikationszweig, der über einen Kanal und einen Warteschlangenspeicher für m=3 anstehende Nachrichten (N-1=m) verfügt, empfängt den einfachsten Nachrichtenfluss mit einer Intensität von l=5 Nachrichten. in Sekunden. Die Zeit der Nachrichtenübertragung verteilt sich nach einem Exponentialgesetz. Die durchschnittliche Übertragungszeit einer Nachricht beträgt 0,1 Sekunden. Nachrichten, die zu Zeiten eintreffen, in denen der bedienende Kanal mit der Übertragung einer zuvor empfangenen Nachricht beschäftigt ist und kein freier Speicherplatz auf dem Laufwerk vorhanden ist, werden abgelehnt.

P offen – Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht nicht empfangen wird

L-System – die durchschnittliche Gesamtzahl der Nachrichten in der Warteschlange, die entlang des Kommunikationszweigs übertragen werden

T o – die durchschnittliche Zeit, die eine Nachricht in der Warteschlange verbleibt, bevor die Übertragung beginnt

T syst – die durchschnittliche Gesamtzeit, die eine Nachricht im System verbleibt, also die Summe aus der durchschnittlichen Wartezeit in der Warteschlange und der durchschnittlichen Übertragungszeit

Q – relativer Durchsatz

A – absoluter Durchsatz

3. Der knotenübergreifende Zweig des sekundären Kommunikationsnetzes, der über einen Kanal und einen Warteschlangenspeicher für m = 4 (N-1=4) wartende Nachrichten verfügt, empfängt den einfachsten Nachrichtenfluss mit einer Intensität = 8 Nachrichten pro Sekunde. Die Nachrichtenübertragungszeit verteilt sich nach einem Exponentialgesetz. Die durchschnittliche Übertragungszeit einer Nachricht beträgt t = 0,1 Sekunde. Nachrichten, die zu Zeiten eintreffen, in denen der bedienende Kanal mit der Übertragung einer zuvor empfangenen Nachricht beschäftigt ist und kein freier Speicherplatz auf dem Laufwerk vorhanden ist, werden von der Warteschlange abgelehnt.

P offen – Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht zur Übertragung über den Kommunikationskanal des Zwischenknotenzweigs nicht empfangen werden kann;

L och – die durchschnittliche Anzahl der Nachrichten in der Warteschlange an den Kommunikationszweig des sekundären Netzwerks der Warteschlange;

L-System – die durchschnittliche Gesamtzahl der Nachrichten in der Warteschlange, die über den Kommunikationszweig des sekundären Netzwerks übertragen werden;

T och – die durchschnittliche Zeit, die eine Nachricht in der Warteschlange verbleibt, bevor die Übertragung beginnt;

R zan – Wahrscheinlichkeit, dass der Kommunikationskanal ausgelastet ist (relativer Kanallastkoeffizient);

Q ist die relative Kapazität des Internodienzweigs;

A ist die absolute Kapazität des Internodienzweigs;

4. Der knotenübergreifende Kommunikationszweig, der über einen Kanal und einen Warteschlangenspeicher für m=2 wartende Nachrichten verfügt, empfängt den einfachsten Nachrichtenfluss mit einer Intensität von l=4 Nachrichten. in Sekunden. Die Zeit der Nachrichtenübertragung verteilt sich nach einem Exponentialgesetz. Die durchschnittliche Übertragungszeit einer Nachricht beträgt 0,1 Sekunden. Nachrichten, die zu Zeiten eintreffen, in denen der bedienende Kanal mit der Übertragung einer zuvor empfangenen Nachricht beschäftigt ist und kein freier Speicherplatz auf dem Laufwerk vorhanden ist, werden abgelehnt.

Bestimmen Sie die folgenden Leistungsindikatoren der Kommunikationsbranche:

P offen – Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht nicht empfangen wird

L och – durchschnittliche Anzahl der Nachrichten in der Warteschlange zum Kommunikationszweig

L-System – die durchschnittliche Gesamtzahl der Nachrichten in der Warteschlange, die entlang des Kommunikationszweigs übertragen werden

T o – die durchschnittliche Zeit, die eine Nachricht in der Warteschlange verbleibt, bevor die Übertragung beginnt

Rzan – Wahrscheinlichkeit der Belegung des Kommunikationskanals (relativer Kanallastkoeffizient c)

Q – relativer Durchsatz

A – absoluter Durchsatz

5. Der knotenübergreifende Zweig des sekundären Kommunikationsnetzwerks, der über einen Kanal und eine unbegrenzte Speicherwarteschlange für wartende Nachrichten verfügt, empfängt den einfachsten Nachrichtenfluss mit einer Intensität von l = 0,06 Nachrichten pro Sekunde. Die durchschnittliche Übertragungszeit einer Nachricht beträgt t = 10 Sekunden. Nachrichten, die zu Zeiten eintreffen, in denen der Kommunikationskanal ausgelastet ist, werden in der Warteschlange empfangen und verlassen diese erst, wenn der Dienst beginnt.

Bestimmen Sie die folgenden Leistungsindikatoren des sekundären Netzwerkkommunikationszweigs:

L och – die durchschnittliche Anzahl der Nachrichten in der Warteschlange zum Kommunikationszweig;

L syst – die durchschnittliche Gesamtzahl der Nachrichten in der Warteschlange, die entlang des Kommunikationszweigs übertragen werden;

T och – die durchschnittliche Verweildauer einer Nachricht in der Warteschlange;

T syst ist die durchschnittliche Gesamtzeit, die eine Nachricht im System verbleibt, also die Summe aus der durchschnittlichen Wartezeit in der Warteschlange und der durchschnittlichen Übertragungszeit.

Rzan ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kommunikationskanal ausgelastet ist (relativer Kanallastfaktor);

Q – relative Kapazität des Internodienzweigs;

A – absolute Kapazität des Internodienzweigs

6. Gegeben sei ein Single-Line-QS mit unbegrenztem Warteschlangenspeicher. Bewerbungen gehen alle t = 13 Sekunden ein. Durchschnittliche Zeit zum Senden einer Nachricht

t=10 Sekunden. Nachrichten, die zu Zeiten eintreffen, in denen der bedienende Kanal ausgelastet ist, werden in der Warteschlange empfangen, ohne diese vor Beginn der Bedienung zu verlassen.

Bestimmen Sie die folgenden Leistungsindikatoren:

Loch – durchschnittliche Anzahl der Nachrichten in der Warteschlange

L-System – die durchschnittliche Gesamtzahl der Nachrichten in der Warteschlange, die entlang des Kommunikationszweigs übertragen werden

T o – die durchschnittliche Zeit, die eine Nachricht in der Warteschlange verbleibt, bevor die Übertragung beginnt

Rzan – Belegungswahrscheinlichkeit (relativer Kanallastkoeffizient c)

Q – relativer Durchsatz

A – absoluter Durchsatz

7. Der spezialisierte Diagnoseposten ist ein einkanaliger QS. Die Anzahl der Parkplätze für Autos, die auf eine Diagnose warten, ist begrenzt und beträgt 3 [(N – 1) = 3]. Wenn alle Parkplätze belegt sind, also bereits drei Autos in der Warteschlange stehen, wird das nächste Auto, das zur Diagnose kommt, nicht in die Warteschlange für den Service gestellt. Der Strom der zur Diagnose eintreffenden Autos ist nach dem Poissonschen Gesetz verteilt und hat eine Intensität = 0,85 (Autos pro Stunde). Die Fahrzeugdiagnosezeit verteilt sich nach einem Exponentialgesetz und beträgt durchschnittlich 1,05 Stunden.

Es ist erforderlich, die probabilistischen Eigenschaften einer im stationären Modus arbeitenden Diagnosestation zu bestimmen: P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P offen, q,A, L och, L sys, T och, T sys

LEKTION 4

Mehrkanal-QS mit Wartezeit, mit Wartezeit und begrenzter Warteschlangenlänge

Betrachten wir ein Mehrkanal-Warteschlangensystem mit Warten. Diese Art von QS wird häufig bei der Modellierung von Gruppen von LAN-Teilnehmerterminals verwendet, die im interaktiven Modus arbeiten. Der Warteschlangenprozess ist durch Folgendes gekennzeichnet: Die Eingabe- und Ausgabeflüsse sind Poisson-Ströme mit Intensitäten bzw.; Es können nicht mehr als n Clients parallel bedient werden. Das System verfügt über n Servicekanäle. Die durchschnittliche Servicedauer für einen Client beträgt 1/m für jeden Kanal. Dieses System bezieht sich auch auf den Prozess des Todes und der Fortpflanzung.

c=l/nm – das Verhältnis der Intensität des eingehenden Stroms zur Gesamtintensität des Betriebs, ist der Systemlastfaktor

(Mit<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

Dabei ist P 0 die Wahrscheinlichkeit, dass alle Kanäle mit einer unbegrenzten Warteschlange frei sind, k ist die Anzahl der Anfragen.

Wenn wir c = l / m annehmen, kann P 0 für eine unbegrenzte Warteschlange bestimmt werden:

Für eine begrenzte Warteschlange:

Dabei ist m die Warteschlangenlänge

Mit unbegrenzter Warteschlange:

Relative Kapazität q=1,

Absolute Kapazität A=l,

Durchschnittliche Anzahl belegter Kanäle Z=A/m

Mit begrenzter Warteschlange

1 Der knotenübergreifende Zweig des sekundären Kommunikationsnetzes verfügt über n = 4 Kanäle. Der Nachrichtenfluss, der zur Übertragung über die Kommunikationszweigkanäle ankommt, hat eine Intensität von 8 Nachrichten pro Sekunde. Die durchschnittliche Zeit t = 0,1 für die Übertragung einer Nachricht über jeden Kommunikationskanal beträgt t/n = 0,025 Sekunden. Die Wartezeit für Nachrichten in der Warteschlange ist unbegrenzt. Finden Sie die Eigenschaften des SMO:

P offen – Wahrscheinlichkeit eines Fehlers bei der Nachrichtenübertragung;

Q ist die relative Kapazität des Kommunikationszweigs;

A ist der absolute Durchsatz des Kommunikationszweigs;

Z – durchschnittliche Anzahl belegter Kanäle;

L och – durchschnittliche Anzahl der Nachrichten in der Warteschlange;

T = durchschnittliche Wartezeit;

T syst – die durchschnittliche Gesamtzeit, die Nachrichten in der Warteschlange bleiben und entlang des Kommunikationszweigs übertragen werden.

2. Eine mechanische Werkstatt der Anlage mit drei Posten (Kanälen) führt Reparaturen kleiner Mechanisierungen durch. Der Strom fehlerhafter Mechanismen, der in der Werkstatt ankommt, ist Poisson und hat eine Intensität = 2,5 Mechanismen pro Tag, die durchschnittliche Reparaturzeit für einen Mechanismus ist nach dem Exponentialgesetz verteilt und beträgt = 0,5 Tage. Nehmen wir an, dass es im Werk keine andere Werkstatt gibt und daher die Warteschlange der Mechanismen vor der Werkstatt nahezu unbegrenzt wachsen kann. Es ist erforderlich, die folgenden Grenzwerte der probabilistischen Eigenschaften des Systems zu berechnen:

Wahrscheinlichkeiten von Systemzuständen;

Durchschnittliche Anzahl der Bewerbungen in der Warteschlange für den Service;

Durchschnittliche Anzahl von Anwendungen im System;

Durchschnittliche Verweildauer einer Anwendung in der Warteschlange;

Die durchschnittliche Verweildauer einer Anwendung im System.

3. Der internodale Zweig des sekundären Kommunikationsnetzwerks verfügt über n=3 Kanäle. Der Nachrichtenfluss, der über die Kommunikationszweigkanäle zur Übertragung ankommt, hat eine Intensität von l = 5 Nachrichten pro Sekunde. Die durchschnittliche Übertragungszeit einer Nachricht beträgt t=0,1, t/n=0,033 Sek. Der Warteschlangenspeicher der auf die Übertragung wartenden Nachrichten kann bis zu m= 2 Nachrichten enthalten. Eine Nachricht, die zu einem Zeitpunkt eintrifft, an dem alle Plätze in der Warteschlange belegt sind, erhält im Kommunikationszweig einen Übertragungsfehler. Finden Sie die Eigenschaften des QS: P open – Wahrscheinlichkeit eines Nachrichtenübertragungsfehlers, Q – relativer Durchsatz, A – absoluter Durchsatz, Z – durchschnittliche Anzahl belegter Kanäle, L och – durchschnittliche Anzahl von Nachrichten in der Warteschlange, T so – durchschnittliche Wartezeit Zeit, T-System – die durchschnittliche Gesamtzeit, die eine Nachricht in der Warteschlange verbleibt und entlang des Kommunikationszweigs übertragen wird.

LEKTION 5

Geschlossenes QS

Betrachten wir ein Maschinenpark-Wartungsmodell, bei dem es sich um ein Modell eines geschlossenen Warteschlangensystems handelt. Bisher haben wir nur Warteschlangensysteme betrachtet, bei denen die Intensität des eingehenden Anforderungsflusses nicht vom Zustand des Systems abhängt. In diesem Fall liegt die Anfragequelle außerhalb des QS und erzeugt einen unbegrenzten Anfragefluss. Betrachten wir Warteschlangensysteme, bei denen es auf den Status des Systems ankommt und die Anforderungsquelle intern ist und einen begrenzten Anforderungsfluss generiert. Beispielsweise wird ein Maschinenpark bestehend aus N Maschinen von einem Team von R Mechanikern gewartet (N > R), und jede Maschine kann nur von einem Mechaniker gewartet werden. Maschinen sind hier Anforderungsquellen (Serviceanfragen) und Mechanik Servicekanäle. Eine fehlerhafte Maschine wird nach der Wartung bestimmungsgemäß verwendet und stellt eine potenzielle Quelle für Serviceanforderungen dar. Offensichtlich hängt die Intensität davon ab, wie viele Maschinen gerade in Betrieb sind (N – k) und wie viele Maschinen gerade gewartet werden oder in der Schlange stehen (k). Im betrachteten Modell ist die Kapazität der Anforderungsquelle als begrenzt anzusehen. Der eingehende Bedarfsstrom stammt von einer begrenzten Anzahl von Betriebsmaschinen (N – k), die zu zufälligen Zeiten ausfallen und gewartet werden müssen. Darüber hinaus ist jede Maschine aus (N – k) in Betrieb. Erzeugt einen Poisson-Anforderungsfluss mit der Intensität X, unabhängig von anderen Objekten, der gesamte (gesamte) eingehende Fluss hat Intensität. Eine Anfrage, die das System erreicht, wenn mindestens ein Kanal frei ist, wird sofort bearbeitet. Wenn bei einer Anfrage festgestellt wird, dass alle Kanäle mit der Bearbeitung anderer Anfragen beschäftigt sind, verlässt sie das System nicht, sondern gelangt in eine Warteschlange und wartet, bis einer der Kanäle frei wird. Somit wird in einem geschlossenen Warteschlangensystem der eingehende Anforderungsfluss aus dem ausgehenden gebildet. Der Systemzustand S k ist dadurch gekennzeichnet, dass die Gesamtzahl der bearbeiteten und in der Warteschlange befindlichen Anforderungen gleich k ist. Für das betrachtete geschlossene System gilt offensichtlich k = 0, 1, 2, ... , N. Wenn sich das System außerdem im Zustand S k befindet, ist die Anzahl der in Betrieb befindlichen Objekte gleich (N - k) . Wenn die Intensität des Nachfrageflusses pro Maschine ist, dann gilt:

Das algebraische Gleichungssystem, das den Betrieb eines QS mit geschlossenem Regelkreis im stationären Modus beschreibt, lautet wie folgt:

Wenn wir dieses System lösen, finden wir die Wahrscheinlichkeit des k-ten Zustands:

Der Wert von P 0 wird aus der Bedingung der Normalisierung der mit den Formeln für P k , k = 0, 1, 2, ... , N erhaltenen Ergebnisse bestimmt. Lassen Sie uns die folgenden probabilistischen Eigenschaften des Systems bestimmen:

Durchschnittliche Anzahl der Serviceanfragen in der Warteschlange:

Durchschnittliche Anzahl der Anfragen im System (Bedienung und Warteschlangen)

durchschnittliche Anzahl der Mechaniker (Kanäle), die aufgrund mangelnder Arbeit „untätig“ sind

Leerlaufverhältnis des gewarteten Objekts (Maschine) in der Warteschlange

Auslastungsgrad der Anlagen (Maschinen)

Ausfallquote der Servicekanäle (Mechanik)

Durchschnittliche Wartezeit für den Service (Wartezeit für den Service in der Warteschlange)

Geschlossenes QS-Problem

1. Zwei Ingenieure gleicher Produktivität sollen für die Wartung von zehn Personalcomputern (PCs) eingesetzt werden. Der Strom von Ausfällen (Fehlfunktionen) eines Computers ist Poisson mit einer Intensität = 0,2. Die PC-Wartungszeit folgt dem Exponentialgesetz. Die durchschnittliche Zeit für die Wartung eines PCs durch einen Techniker beträgt: = 1,25 Stunden. Folgende Möglichkeiten der Serviceorganisation sind möglich:

Beide Ingenieure warten alle zehn Computer. Wenn also ein PC ausfällt, wird er von einem der freien Ingenieure gewartet, in diesem Fall R = 2, N = 10;

Jeder der beiden Ingenieure betreut fünf ihm zugewiesene PCs. In diesem Fall ist R = 1, N = 5.

Es ist notwendig, die beste Option für die Organisation der PC-Wartung auszuwählen.

Es ist notwendig, alle Wahrscheinlichkeiten der Zustände P k zu bestimmen: P 1 - P 10, wobei zu berücksichtigen ist, dass wir anhand der Ergebnisse der Berechnung von P k P 0 berechnen

LEKTION 6

Verkehrsberechnung.

Die Televerkehrstheorie ist ein Teilgebiet der Warteschlangentheorie. Die Grundlagen der Theorie des Televerkehrs wurden vom dänischen Wissenschaftler A.K. gelegt. Erlang. Seine Werke wurden zwischen 1909 und 1928 veröffentlicht. Lassen Sie uns wichtige Definitionen geben, die in der Theorie des Televerkehrs (TT) verwendet werden. Der Begriff „Verkehr“ entspricht dem Begriff „Telefonauslastung“. Damit ist die Belastung gemeint, die durch den Fluss der an den Eingängen des QS eintreffenden Anrufe, Anforderungen und Nachrichten entsteht. Das Verkehrsaufkommen ist der Betrag des gesamten, integralen Zeitintervalls, das von einer bestimmten Ressource verstrichen ist und in dem diese Ressource im analysierten Zeitraum belegt war. Eine Arbeitseinheit kann als Zweitbeschäftigung einer Ressource betrachtet werden. Manchmal kann man die Arbeit einer Stunde lesen, manchmal nur Sekunden oder Stunden. Allerdings geben ITU-Empfehlungen die Dimension des Verkehrsaufkommens in Erlango-Stunden an. Um die Bedeutung einer solchen Maßeinheit zu verstehen, müssen wir einen weiteren Verkehrsparameter berücksichtigen – die Verkehrsintensität. In diesem Fall spricht man oft von der durchschnittlichen Verkehrsintensität (Last) auf einem bestimmten Ressourcenpool (Ressourcensatz). Wenn zu jedem Zeitpunkt t aus einem gegebenen Intervall (t 1,t 2) die Anzahl der Ressourcen aus einer gegebenen Menge, die mit der Bedienung des Datenverkehrs belegt sind, gleich A(t) ist, dann beträgt die durchschnittliche Verkehrsintensität

Der Wert der Verkehrsintensität wird als die durchschnittliche Anzahl der Ressourcen charakterisiert, die in einem bestimmten Zeitintervall durch die Bedienung des Verkehrs belegt werden. Die Einheit zur Messung der Belastungsintensität ist ein Erlang (1 Erl, 1 E), also 1 Erlang ist eine solche Verkehrsintensität, die die volle Auslastung einer Ressource erfordert, oder mit anderen Worten, bei der die Ressource in einer Sekunde Arbeit im Wert einer zweiten Auslastung verrichtet. In der amerikanischen Literatur findet man manchmal eine andere Maßeinheit namens CCS-Centrum (oder Hundert) Calls Second. Die CCS-Zahl gibt die Serverbelegungszeit in 100-Sekunden-Intervallen pro Stunde wieder. Die in CCS gemessene Intensität kann mit der Formel 36CCS=1 Erl in Erlang umgerechnet werden.

Der von einer Quelle erzeugte und in Stundenbelegungen ausgedrückte Verkehr ist gleich dem Produkt aus der Anzahl der Anrufversuche c für ein bestimmtes Zeitintervall T und der durchschnittlichen Dauer eines Versuchs t: y = c t (h-z). Der Verkehr kann auf drei verschiedene Arten berechnet werden:

1) Sei die Anzahl der Anrufe c pro Stunde 1800 und die durchschnittliche Dauer der Sitzung t = 3 Minuten, dann ist Y = 1800 Anrufe. /H. 0,05 h = 90 Earl;

2) Lassen Sie die Dauer t i aller n Besetzungen der Ausgänge eines bestimmten Bündels während der Zeit T fest, dann wird der Verkehr wie folgt bestimmt:

3) Lassen Sie die Anzahl der gleichzeitig belegten Ausgänge eines bestimmten Strahls in gleichen Abständen während der Zeit T überwachen; basierend auf den Beobachtungsergebnissen wird eine Stufenfunktion der Zeit x(t) erstellt (Abbildung 8).

Abbildung 8. Beispiele gleichzeitig belegter Strahlausgänge

Der Verkehr während der Zeit T kann als Durchschnittswert von x(t) über diese Zeit geschätzt werden:

wobei n die Anzahl der Samples gleichzeitig belegter Ausgänge ist. Der Wert Y ist die durchschnittliche Anzahl gleichzeitig belegter Strahlausgänge während der Zeit T.

Verkehrsschwankungen. Der Verkehr in sekundären Telefonnetzen schwankt im Laufe der Zeit erheblich. Während des Arbeitstages weist die Verkehrskurve zwei oder sogar drei Spitzen auf (Abbildung 9).

Abbildung 9. Verkehrsschwankungen im Tagesverlauf

Die Stunde des Tages, zu der der über einen längeren Zeitraum beobachtete Verkehr am stärksten ist, wird als verkehrsreichste Stunde (BHH) bezeichnet. Die Kenntnis des Verkehrs im CNN ist von grundlegender Bedeutung, da sie die Anzahl der Kanäle (Leitungen), den Umfang der Ausstattung von Stationen und Knoten bestimmt. Der Verkehr am selben Wochentag weist saisonale Schwankungen auf. Wenn der Wochentag ein Vorfeiertag ist, ist die NNN dieses Tages höher als die des Tages nach dem Feiertag. Mit zunehmender Anzahl der vom Netzwerk unterstützten Dienste steigt auch der Datenverkehr. Daher ist es problematisch, das Auftreten von Verkehrsspitzen mit ausreichender Sicherheit vorherzusagen. Der Datenverkehr wird von Netzwerkverwaltungs- und Designorganisationen genau überwacht. Verkehrsmessregeln wurden von der ITU-T entwickelt und werden von nationalen Netzverwaltungen verwendet, um die Anforderungen an die Dienstqualität sowohl für Teilnehmer ihres Netzes als auch für Teilnehmer anderer daran angeschlossener Netze zu erfüllen. Die Televerkehrstheorie kann für praktische Berechnungen von Verlusten oder des Volumens der Stations-(Knoten-)Ausrüstung nur dann verwendet werden, wenn der Verkehr stationär (statistisch stabil) ist. Diese Bedingung wird durch den Verkehr im CHNN annähernd erfüllt. Die Menge der Last, die pro Tag in die automatische Telefonzentrale gelangt, wirkt sich auf die Vorbeugung und Reparatur von Geräten aus. Die Ungleichmäßigkeit der tagsüber in die Station eintretenden Ladung wird durch den Konzentrationskoeffizienten bestimmt

Eine strengere Definition des NNN erfolgt wie folgt. Die ITU-Empfehlung E.500 erfordert die Analyse der Intensitätsdaten von 12 Monaten, die Auswahl der 30 verkehrsreichsten Tage, die Ermittlung der verkehrsreichsten Stunden an diesen Tagen und die Mittelung der Intensitätsmessungen über diese Intervalle. Diese Berechnung der Verkehrsintensität (Last) wird als normale Schätzung der Verkehrsintensität im CHN oder Level A bezeichnet. Eine strengere Schätzung kann über die 5 verkehrsreichsten Tage des ausgewählten 30-Tage-Zeitraums gemittelt werden. Diese Note wird als erhöhte Note oder Note auf der Stufe B bezeichnet.

Der Prozess der Verkehrserstellung. Wie jeder Nutzer des Telefonnetzes weiß, sind nicht alle Versuche, eine Verbindung zum angerufenen Teilnehmer aufzubauen, erfolgreich. Manchmal müssen mehrere erfolglose Versuche unternommen werden, bis die gewünschte Verbindung zustande kommt.

Abbildung 10. Diagramm der Ereignisse beim Verbindungsaufbau zwischen Teilnehmern

Betrachten wir mögliche Ereignisse bei der Simulation des Verbindungsaufbaus zwischen Teilnehmer A und B (Abbildung 10). Statistiken zu Anrufen in Telefonnetzen lauten wie folgt: Der Anteil abgeschlossener Gespräche beträgt 70-50 %, der Anteil fehlgeschlagener Anrufe beträgt 30-50 %. Jeder Versuch des Teilnehmers übernimmt die QS-Eingabe. Bei erfolgreichen Versuchen (wenn das Gespräch stattgefunden hat) ist die Belegungsdauer der Schaltgeräte, die Verbindungen zwischen Ein- und Ausgängen herstellen, länger als bei erfolglosen Versuchen. Der Teilnehmer kann den Verbindungsaufbauversuch jederzeit unterbrechen. Wiederholungsversuche können folgende Ursachen haben:

Die Nummer wurde falsch gewählt;

Annahme eines Fehlers im Netzwerk;

Der Grad der Dringlichkeit des Gesprächs;

Fehlgeschlagene vorherige Versuche;

Kenntnis der Gewohnheiten von Teilnehmer B;

Zweifel daran, die Nummer richtig zu wählen.

Abhängig von den folgenden Umständen kann ein erneuter Versuch erfolgen:

Dringlichkeitsgrade;

Beurteilung der Gründe für das Scheitern;

Beurteilung der Machbarkeit von Wiederholungsversuchen,

Schätzungen des akzeptablen Intervalls zwischen Versuchen.

Wenn ein erneuter Versuch fehlschlägt, kann dies auf eine geringe Dringlichkeit zurückzuführen sein. Es gibt verschiedene Arten von Verkehr, der durch Anrufe generiert wird: eingehende (vorgeschlagene) Y n und verpasste Y n. Der Verkehr Y n umfasst alle erfolgreichen und erfolglosen Versuche, der Verkehr Y n, der Teil von Y n ist, umfasst erfolgreiche und einige erfolglose Versuche:

Y pr = Y r + Y np,

Dabei ist Y p der (nützliche) Konversationsverkehr und Y np der durch erfolglose Versuche erzeugte Verkehr. Die Gleichheit Y p = Y p ist nur im Idealfall möglich, wenn es keine Verluste, Fehler von rufenden Teilnehmern und keine Antworten von angerufenen Teilnehmern gibt.

Die Differenz zwischen den eingehenden und übertragenen Lasten über einen bestimmten Zeitraum ist die verlorene Last.

Verkehrsprognose. Begrenzte Ressourcen machen einen schrittweisen Ausbau des Bahnhofs und des Netzes erforderlich. Die Netzwerkverwaltung prognostiziert einen Anstieg des Datenverkehrs während der Entwicklungsphase und berücksichtigt dabei Folgendes:

Die Einnahmen werden durch den Teil des übertragenen Verkehrs Y p bestimmt, - die Kosten werden durch die Dienstqualität mit dem höchsten Verkehr bestimmt;

Ein hoher Anteil an Verlusten (geringe Qualität) kommt in seltenen Fällen vor und ist typisch für das Ende des Entwicklungszeitraums;

Das größte Volumen an verpasstem Verkehr entsteht in Zeiten, in denen es praktisch keine Verluste gibt – wenn die Verluste weniger als 10 % betragen, reagieren die Abonnenten nicht darauf. Bei der Planung der Entwicklung von Bahnhöfen und des Netzes muss der Planer die Frage beantworten, welche Anforderungen an die Qualität der Leistungserbringung (Verluste) gestellt werden. Dazu ist es notwendig, die Verkehrsverluste gemäß den im Land geltenden Regeln zu messen.

Beispiel für eine Verkehrsmessung.

Schauen wir uns zunächst an, wie Sie den Betrieb eines QS darstellen können, das über mehrere Ressourcen verfügt, die gleichzeitig einen Teil des Datenverkehrs bedienen. Wir werden weiter über Ressourcen wie Server sprechen, die den Fluss von Anwendungen oder Anforderungen bedienen. Eine der anschaulichsten und am häufigsten verwendeten Möglichkeiten, den Prozess der Bearbeitung von Anfragen durch einen Serverpool darzustellen, ist ein Gantt-Diagramm. Dieses Diagramm ist ein rechteckiges Koordinatensystem, wobei die x-Achse die Zeit darstellt und die y-Achse diskrete Punkte markiert, die den Poolservern entsprechen. Abbildung 11 zeigt ein Gantt-Diagramm für ein System mit drei Servern.

In den ersten drei Zeitintervallen (wir zählen sie als Sekunde) sind der erste und dritte Server beschäftigt, in den nächsten zwei Sekunden nur der dritte, dann arbeitet der zweite eine Sekunde lang, dann der zweite und der erste zwei Sekunden lang , und die letzten zwei Sekunden - nur die erste.

Mit dem erstellten Diagramm können Sie das Verkehrsaufkommen und seine Intensität berechnen. Das Diagramm spiegelt nur bedienten oder verpassten Datenverkehr wider, da es nichts darüber aussagt, ob Anfragen im System eingegangen sind, die von den Servern nicht bedient werden konnten.

Das Volumen des weitergeleiteten Datenverkehrs wird als Gesamtlänge aller Segmente des Gantt-Diagramms berechnet. Lautstärke in 10 Sekunden:

Wir ordnen jedem auf der Abszisse aufgetragenen Zeitintervall eine ganze Zahl zu, die der Anzahl der in diesem Einheitsintervall belegten Server entspricht. Dieser Wert A(t) ist die momentane Intensität. Für unser Beispiel

A(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

Lassen Sie uns nun die durchschnittliche Verkehrsintensität über einen Zeitraum von 10 Sekunden ermitteln

Somit beträgt die durchschnittliche Intensität des vom System der drei betrachteten Server geleiteten Datenverkehrs 1,5 Erl.

Grundlegende Lastparameter

Telefonkommunikation wird von verschiedenen Kategorien von Teilnehmern genutzt, die gekennzeichnet sind durch:

Anzahl der Lastquellen - N,

durchschnittliche Anzahl von Anrufen von einer Quelle über einen bestimmten Zeitraum (normalerweise NNN) – c,

Die durchschnittliche Dauer einer Sitzung des Vermittlungssystems bei der Bedienung eines Anrufs beträgt t.

Die Belastungsintensität wird sein

Lassen Sie uns verschiedene Anrufquellen identifizieren. Zum Beispiel,

Durchschnittliche Anzahl der Anrufe bei CHN von einem Bürotelefon aus;

Durchschnittliche Anzahl der Anrufe von einem einzelnen Wohnungstelefon; Zufallsereignis-Massendienst-Televerkehr

mit Zählung - dasselbe aus dem Apparat zur kollektiven Nutzung;

mit ma - das gleiche von einem Münzautomaten;

mit sl - das gleiche von einer Verbindungslinie.

Dann beträgt die durchschnittliche Anzahl der Anrufe aus einer Quelle:

Für die durchschnittliche Anzahl der Anrufe von einer Quelle der entsprechenden Kategorie gibt es ungefähre Angaben:

3,5 - 5, =0,5 - 1, mit count = 1,5 - 2, mit ma =15 - 30, mit sl =10 - 30.

Es gibt folgende Verbindungsarten, die je nach Verbindungsausgang unterschiedliche Telefonbelastungen am Bahnhof verursachen:

k р – Koeffizient, der den Anteil der Verbindungen angibt, die in einem Gespräch endeten;

k з - Verbindungen, die aufgrund der Beschäftigung des angerufenen Teilnehmers nicht im Gespräch beendet wurden;

k aber - Koeffizient, der den Anteil der Verbindungen ausdrückt, die aufgrund der Nichtantwort des angerufenen Teilnehmers nicht zu einem Gespräch geführt haben;

k osh – Verbindungen, die aufgrund von Fehlern des Anrufers nicht im Gespräch beendet wurden;

k jene – Anrufe, die aus technischen Gründen nicht zu einem Gespräch geführt haben.

Während des normalen Netzwerkbetriebs sind die Werte dieser Koeffizienten gleich:

kp =0,60–0,75; k z =0,12–0,15; k aber =0,08-0,12; k osh =0,02–0,05; k diejenigen =0,005-0,01.

Die durchschnittliche Dauer einer Sitzung hängt von der Art der Verbindung ab. Wenn die Verbindung beispielsweise mit einem Gespräch beendet wurde, ist die durchschnittliche Dauer der Gerätebelegung t state gleich

wo ist die Dauer des Verbindungsaufbaus;

t comp. - ein Gespräch, das stattgefunden hat;

t in - die Dauer des Sendens eines Anrufs an das Telefon des angerufenen Teilnehmers;

t r – Dauer des Gesprächs

wobei tco das Antwortsignal der Station ist;

1,5n – Zeit zum Wählen der Nummer des angerufenen Teilnehmers (n – Anzahl der Zeichen in der Nummer);

t s ist die Zeit, die benötigt wird, um eine Verbindung durch Umschaltmechanismen aufzubauen und die Verbindung nach dem Ende des Gesprächs zu trennen. Ungefähre Werte der betrachteten Größen:

t co = 3 Sek., t c = 1–2,5 Sek., t b = 8–10 Sek., t p = 90–130 Sek.

Auch Anrufe, die nicht im Gespräch enden, verursachen Telefonbelastung.

Die durchschnittliche Zeit für die Belegung von Geräten, wenn der angerufene Teilnehmer beschäftigt ist, beträgt

Wo t Installationsanschluss bestimmt durch (4.2.3)

t зз – Zeit, in der der Besetzt-Summer ertönt, t зз =6 Sek.

Die durchschnittliche Dauer der Gerätebelegung, bei der der angerufene Teilnehmer nicht antwortet, beträgt

wobei t pv – Zeit des Abhörens des Rückrufsignals, t pv = 20 Sekunden.

Wenn aufgrund von Teilnehmerfehlern kein Gespräch stattgefunden hat, dann im Durchschnitt t osh = 30 Sek.

Die Dauer der Lehrveranstaltungen, die aus technischen Gründen nicht mit Konversation endeten, wird nicht ermittelt, da der Anteil solcher Lehrveranstaltungen gering ist.

Aus alledem folgt, dass die Gesamtlast, die von einer Gruppe von Quellen hinter dem CNN erzeugt wird, gleich der Summe der Lasten einzelner Arten von Aktivitäten ist.

wo ist ein Koeffizient, der die Bedingungen als Anteile berücksichtigt

Auf einem Telefonnetz mit siebenstelliger Nummerierung wurde eine automatische Telefonzentrale konzipiert, deren strukturelle Zusammensetzung der Teilnehmer wie folgt ist:

N Konto = 4000, N ind = 1000, N Anzahl = 2000, N ma = 400, N sl = 400.

Die durchschnittliche Anzahl der von einer Quelle im CHNN empfangenen Anrufe beträgt

Mit den Formeln (4.2.3) und (4.2.6) ermitteln wir die Belastung

1,10,62826767 Sek. = 785,2 Hz.

Durchschnittliche Unterrichtsdauer t aus der Formel Y=Nct

t= Y/Nc= 2826767/7800*3,8=95,4 Sek.

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1. Auf einem Telefonnetz mit siebenstelliger Nummerierung ist eine automatische Telefonzentrale konzipiert, deren strukturelle Zusammensetzung der Teilnehmer wie folgt ist:

N uchr =5000, Nind=1500, N count =3000, N ma =500, N sl =500.

Bestimmen Sie die am Bahnhof ankommende Last - Y, die durchschnittliche Belegungsdauer t, sofern bekannt

mit ind =4, mit ind =1, mit count =2, mit ma =10, mit sl =12, t r =120 Sek., t in =10 Sek., k r =0,6, t s =1 Sek., =1,1 .

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