Beweis, dass man nicht durch Null dividieren kann. Warum kann man nicht durch Null dividieren? Subtraktion und Division

Evgeniy SHIRYAEV, Lehrer und Leiter des Mathematiklabors des Polytechnischen Museums, erzählte AiF über die Division durch Null:

1. Gerichtsstand

Stimmen Sie zu, was die Regel besonders provokativ macht, ist das Verbot. Wie kann das nicht geschehen? Wer hat es verboten? Was ist mit unseren Bürgerrechten?

Weder die Verfassung, noch das Strafgesetzbuch, noch nicht einmal die Satzung Ihrer Schule haben Einwände gegen die intellektuelle Tätigkeit, die uns interessiert. Das bedeutet, dass das Verbot keine Rechtskraft hat und nichts Sie daran hindert, hier auf den Seiten der AiF zu versuchen, etwas durch Null zu dividieren. Zum Beispiel tausend.

2. Teilen wir wie gelehrt

Denken Sie daran: Als Sie zum ersten Mal das Dividieren lernten, wurden die ersten Beispiele mit einer Multiplikationsprüfung gelöst: Das mit dem Divisor multiplizierte Ergebnis musste mit dem Dividenden übereinstimmen. Es passte nicht zusammen – sie haben sich nicht entschieden.

Beispiel 1. 1000: 0 =...

Vergessen wir für einen Moment die verbotene Regel und unternehmen wir mehrere Versuche, die Antwort zu erraten.

Falsche werden durch die Prüfung abgeschnitten. Probieren Sie die folgenden Optionen aus: 100, 1, −23, 17, 0, 10.000. Für jede davon liefert die Prüfung das gleiche Ergebnis:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Durch die Multiplikation mit Null wird alles zu sich selbst und niemals zu Tausend. Die Schlussfolgerung ist einfach zu formulieren: Keine Zahl wird den Test bestehen. Das heißt, keine Zahl kann das Ergebnis der Division einer Zahl ungleich Null durch Null sein. Eine solche Aufteilung ist nicht verboten, hat aber einfach kein Ergebnis.

3. Nuance

Wir hätten fast eine Gelegenheit verpasst, das Verbot zu widerlegen. Ja, wir geben zu, dass eine Zahl ungleich Null nicht durch 0 geteilt werden kann. Aber vielleicht kann 0 selbst?

Beispiel 2. 0: 0 = ...

Was sind Ihre Vorschläge für privat? 100? Bitte: Der Quotient von 100 multipliziert mit dem Divisor 0 ist gleich dem Dividenden 0.

Mehr Optionen! 1? Passt auch. Und −23 und 17, und das war’s. In diesem Beispiel ist der Test für jede beliebige Zahl positiv. Und um ehrlich zu sein, sollte die Lösung in diesem Beispiel nicht als Zahl, sondern als Zahlenmenge bezeichnet werden. Alle. Und es dauert nicht lange, bis man sich einig ist, dass Alice nicht Alice, sondern Mary Ann ist und beide der Traum eines jeden Kaninchens sind.

4. Was ist mit höherer Mathematik?

Das Problem ist gelöst, die Nuancen berücksichtigt, die Punkte gesetzt, alles ist klar – die Antwort auf das Beispiel mit Division durch Null kann keine einzelne Zahl sein. Die Lösung solcher Probleme ist hoffnungslos und unmöglich. Was bedeutet... interessant! Nimm zwei.

Beispiel 3. Finden Sie heraus, wie man 1000 durch 0 dividiert.

Aber auf keinen Fall. Aber 1000 lässt sich leicht durch andere Zahlen teilen. Nun, lasst uns zumindest das tun, was funktioniert, auch wenn wir die Aufgabe ändern. Und dann, sehen Sie, lassen wir uns mitreißen und die Antwort wird von selbst erscheinen. Vergessen wir für eine Minute die Null und dividieren durch einhundert:

Hundert ist alles andere als Null. Machen wir einen Schritt in diese Richtung, indem wir den Divisor verringern:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Die Dynamik ist offensichtlich: Je näher der Divisor an Null liegt, desto größer ist der Quotient. Der Trend kann weiter beobachtet werden, indem man zu Brüchen übergeht und den Zähler weiter reduziert:

Es bleibt zu beachten, dass wir so nah an Null herankommen können, wie wir möchten, und den Quotienten so groß machen können, wie wir möchten.

In diesem Prozess gibt es keine Nullstelle und keinen letzten Quotienten. Wir haben die Bewegung in diese Richtung angedeutet, indem wir die Zahl durch eine Folge ersetzt haben, die zu der Zahl konvergiert, die uns interessiert:

Dies impliziert einen ähnlichen Ersatz für die Dividende:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Nicht umsonst sind die Pfeile doppelseitig: Manche Folgen können gegen Zahlen konvergieren. Dann können wir die Folge ihrem numerischen Grenzwert zuordnen.

Schauen wir uns die Folge der Quotienten an:

Es wächst grenzenlos, strebt keine Zahl an und übertrifft keine. Mathematiker fügen Zahlen Symbole hinzu ∞ um einen doppelseitigen Pfeil neben eine solche Sequenz setzen zu können:

Der Vergleich mit der Anzahl der Folgen, die einen Grenzwert haben, ermöglicht es uns, eine Lösung für das dritte Beispiel vorzuschlagen:

Wenn wir eine gegen 1000 konvergierende Folge elementweise durch eine gegen 0 konvergierende Folge positiver Zahlen dividieren, erhalten wir eine gegen ∞ konvergierende Folge.

5. Und hier ist die Nuance mit zwei Nullen

Was ist das Ergebnis der Division zweier Folgen positiver Zahlen, die gegen Null konvergieren? Wenn sie gleich sind, ist die Einheit identisch. Wenn eine Dividendenfolge schneller gegen Null konvergiert, dann handelt es sich insbesondere um eine Folge mit einem Nulllimit. Und wenn die Elemente des Divisors viel schneller abnehmen als die des Dividenden, wächst die Folge des Quotienten stark an:

Unsichere Situation. Und so nennt man es: Typunsicherheit 0/0 . Wenn Mathematiker Folgen sehen, die zu einer solchen Unsicherheit passen, dividieren sie nicht voreilig zwei identische Zahlen durcheinander, sondern finden heraus, welche der Folgen schneller auf Null läuft und wie genau. Und jedes Beispiel wird seine eigene spezifische Antwort haben!

6. Im Leben

Das Ohmsche Gesetz bezieht sich auf Strom, Spannung und Widerstand in einem Stromkreis. Es wird oft in dieser Form geschrieben:

Erlauben wir uns, das reine physikalische Verständnis zu vernachlässigen und die rechte Seite formal als den Quotienten zweier Zahlen zu betrachten. Stellen wir uns vor, wir lösen ein Schulproblem mit Strom. Die Bedingung gibt die Spannung in Volt und den Widerstand in Ohm an. Die Frage liegt auf der Hand, die Lösung liegt in einer Aktion.

Schauen wir uns nun die Definition der Supraleitung an: Dies ist die Eigenschaft einiger Metalle, einen elektrischen Widerstand von Null zu haben.

Nun, lösen wir das Problem für einen supraleitenden Schaltkreis? Richten Sie es einfach ein R= 0 Wenn es nicht klappt, wirft die Physik ein interessantes Problem auf, hinter dem offensichtlich eine wissenschaftliche Entdeckung steckt. Und die Menschen, denen es in dieser Situation gelang, durch Null zu dividieren, erhielten den Nobelpreis. Es ist nützlich, etwaige Verbote umgehen zu können!

Man sagt, dass man durch Null dividieren kann, wenn man das Ergebnis der Division durch Null ermittelt. Sie müssen nur die Algebra erweitern. Durch einen seltsamen Zufall ist es nicht möglich, zumindest einige oder besser verständliche und einfache Beispiele für eine solche Erweiterung zu finden. Um das Internet zu reparieren, benötigen Sie entweder eine Demonstration einer der Methoden für eine solche Erweiterung oder eine Beschreibung, warum dies nicht möglich ist.

Der Artikel wurde in Fortsetzung des Trends geschrieben:

Haftungsausschluss

Der Zweck dieses Artikels besteht darin, in „menschlicher Sprache“ zu erklären, wie die Grundprinzipien der Mathematik funktionieren, Wissen zu strukturieren und verpasste Ursache-Wirkungs-Beziehungen zwischen Zweigen der Mathematik wiederherzustellen. Alle Überlegungen sind philosophischer Natur; in manchen Urteilen weichen sie von allgemein akzeptierten Urteilen ab (daher erheben sie nicht den Anspruch, mathematisch streng zu sein). Der Artikel richtet sich an das Niveau des Lesers, der „vor vielen Jahren am Turm vorbeigekommen ist“.

Kenntnisse der Prinzipien der Arithmetik, der elementaren, allgemeinen und linearen Algebra, der mathematischen und nichtstandardisierten Analysis, der Mengenlehre, der allgemeinen Topologie sowie der projektiven und affinen Geometrie sind wünschenswert, aber nicht erforderlich.

Während der Experimente wurden keine Unendlichkeiten beschädigt.

Prolog

„Über die Grenzen hinauszugehen“ ist ein natürlicher Prozess der Suche nach neuem Wissen. Doch nicht jede Suche bringt neue Erkenntnisse und damit Nutzen.

1. Eigentlich ist vor uns schon alles geteilt!

1.1 Affine Erweiterung des Zahlenstrahls

Beginnen wir damit, wo wahrscheinlich alle Abenteurer beginnen, wenn sie durch Null dividieren. Erinnern wir uns an den Graphen der Funktion

Links und rechts von Null geht die Funktion in unterschiedliche Richtungen der „Nichtexistenz“. Ganz unten gibt es einen allgemeinen „Pool“ und nichts ist sichtbar.

Anstatt kopfüber in den Pool zu stürzen, schauen wir uns an, was hineinfließt und was herauskommt. Dazu verwenden wir den Grenzwert – das wichtigste Werkzeug der mathematischen Analyse. Der wichtigste „Trick“ besteht darin, dass das Limit es Ihnen ermöglicht, so nah wie möglich an einen bestimmten Punkt heranzukommen, aber nicht „darauf zu treten“. So ein „Zaun“ vor dem „Pool“.

Original

Okay, der „Zaun“ wurde errichtet. Es ist nicht mehr so gruselig. Wir haben zwei Wege zum Pool. Auf der linken Seite geht es steil bergab, rechts steil bergauf. Egal wie weit man auf den „Zaun“ zugeht, näher kommt man nicht. Es gibt keine Möglichkeit, das untere und obere „Nichts“ zu überschreiten. Es entstehen Vermutungen: Vielleicht drehen wir uns im Kreis? Obwohl nein, ändern sich die Zahlen, was bedeutet, dass sie sich nicht in einem Kreis befinden. Lassen Sie uns noch ein wenig durch die Truhe der mathematischen Analysewerkzeuge stöbern. Zusätzlich zu den Grenzwerten mit „Zaun“ enthält das Kit positive und negative Unendlichkeiten. Die Mengen sind völlig abstrakt (keine Zahlen), gut formalisiert und gebrauchsfertig! Es passt zu uns. Ergänzen wir unser „Sein“ (die Menge der reellen Zahlen) durch zwei vorzeichenbehaftete Unendlichkeiten.

In mathematischer Sprache:

Es ist diese Erweiterung, die es Ihnen ermöglicht, einen Grenzwert anzunehmen, wenn das Argument gegen Unendlich tendiert, und durch die Festlegung des Grenzwerts Unendlichkeit zu erhalten.
Es gibt zwei Zweige der Mathematik, die dasselbe mit unterschiedlicher Terminologie beschreiben.
Fassen wir zusammen:

Das Endergebnis ist. Die alten Ansätze funktionieren nicht mehr. Die Komplexität des Systems in Form einer Reihe von „Wenn“, „Für alle außer“ usw. hat zugenommen. Wir hatten nur zwei Unsicherheiten, 1/0 und 0/0 (wir haben Energieoperationen nicht berücksichtigt), also waren es fünf. Die Offenbarung einer Unsicherheit führte zu noch mehr Unsicherheiten.
1.2 Rad
Es blieb nicht bei der Einführung der vorzeichenlosen Unendlichkeit. Um aus Unsicherheiten herauszukommen, braucht man einen zweiten Wind.
Wir haben also eine Menge reeller Zahlen und zwei Unsicherheiten 1/0 und 0/0. Um das erste zu eliminieren, führten wir eine projektive Erweiterung der Zahlenlinie durch (das heißt, wir führten die vorzeichenlose Unendlichkeit ein). Versuchen wir, mit der zweiten Unsicherheit der Form 0/0 umzugehen. Machen wir das Gleiche. Fügen wir der Zahlenmenge ein neues Element hinzu, das die zweite Unsicherheit darstellt.

Die Definition der Divisionsoperation basiert auf der Multiplikation. Das passt nicht zu uns. Entkoppeln wir die Operationen voneinander, behalten aber das übliche Verhalten für reelle Zahlen bei. Definieren wir eine unäre Divisionsoperation, gekennzeichnet durch das Zeichen „/“.

Definieren wir die Operationen.

Diese Struktur wird „Rad“ genannt. Der Begriff wurde aufgrund seiner Ähnlichkeit mit dem topologischen Bild der projektiven Verlängerung der Zahlengerade und dem 0/0-Punkt gewählt.

Alles scheint gut auszusehen, aber der Teufel steckt im Detail:

Um alle Merkmale festzulegen, wird zusätzlich zur Erweiterung der Menge der Elemente ein Bonus in Form nicht einer, sondern zweier Identitäten beigefügt, die das Verteilungsgesetz beschreiben.

In mathematischer Sprache:
Aus der Sicht der allgemeinen Algebra operierten wir mit dem Feld. Und im Feld sind, wie Sie wissen, nur zwei Operationen definiert (Addition und Multiplikation). Das Konzept der Division wird durch inverse und, noch tiefer, durch Einheitselemente abgeleitet. Die vorgenommenen Änderungen verwandeln unser algebraisches System sowohl für die Additionsoperation (mit Null als neutralem Element) als auch für die Multiplikationsoperation (mit Eins als neutralem Element) in ein Monoid.
Die Werke der Pioniere verwenden nicht immer die Symbole ∞ und ⊥. Stattdessen finden Sie Einträge in der Form /0 und 0/0.

Die Welt ist nicht mehr so schön, oder? Dennoch besteht kein Grund zur Eile. Prüfen wir, ob die neuen Identitäten des Distributivgesetzes mit unserem erweiterten Satz zurechtkommen .

Dieses Mal ist das Ergebnis viel besser.
Fassen wir zusammen:

Das Endergebnis ist. Algebra funktioniert großartig. Allerdings wurde der Begriff des „Undefinierten“ zugrunde gelegt, den man als etwas Existierendes zu betrachten und damit zu operieren begann. Eines Tages wird jemand sagen, dass alles schlecht ist und Sie dieses „Undefinierte“ in mehrere weitere „Undefinierte“, aber kleinere, aufteilen müssen. Die allgemeine Algebra wird sagen: „Kein Problem, Bruder!“
Ungefähr so werden in Quaternionen zusätzliche (j und k) imaginäre Einheiten postuliert. Tags hinzufügen

Alpha steht für reelle Zahl. Das Gleichheitszeichen in den obigen Ausdrücken zeigt an, dass sich nichts ändert, wenn Sie eine Zahl oder Unendlichkeit zur Unendlichkeit addieren. Das Ergebnis ist dieselbe Unendlichkeit. Nehmen wir als Beispiel die unendliche Menge der natürlichen Zahlen, dann lassen sich die betrachteten Beispiele in dieser Form darstellen:

Um eindeutig zu beweisen, dass sie Recht hatten, haben sich Mathematiker viele verschiedene Methoden ausgedacht. Persönlich betrachte ich all diese Methoden als Schamanen, die mit Tamburinen tanzen. Im Wesentlichen läuft alles darauf hinaus, dass entweder einige der Zimmer unbewohnt sind und neue Gäste einziehen, oder dass ein Teil der Besucher auf den Flur geworfen wird, um Platz für Gäste zu schaffen (sehr menschlich). Meine Meinung zu solchen Entscheidungen habe ich in Form einer Fantasy-Geschichte über die Blondine dargelegt. Worauf basiert meine Argumentation? Die Umsiedlung einer unendlichen Anzahl von Besuchern nimmt unendlich viel Zeit in Anspruch. Nachdem wir das erste Zimmer für einen Gast geräumt haben, wird bis zum Ende der Zeit immer einer der Besucher den Flur entlang von seinem Zimmer zum nächsten gehen. Natürlich kann der Zeitfaktor dummerweise ignoriert werden, aber das wird in die Kategorie „Kein Gesetz ist für Dummköpfe geschrieben“ fallen. Es hängt alles davon ab, was wir tun: die Realität an mathematische Theorien anpassen oder umgekehrt.

Was ist ein „Endloshotel“? Ein unendliches Hotel ist ein Hotel, das immer beliebig viele freie Betten hat, unabhängig davon, wie viele Zimmer belegt sind. Wenn alle Räume im endlosen „Besucher“-Korridor belegt sind, gibt es einen weiteren endlosen Korridor mit „Gäste“-Zimmern. Es wird unendlich viele solcher Korridore geben. Darüber hinaus verfügt das „unendliche Hotel“ über unendlich viele Stockwerke in unendlich vielen Gebäuden auf unendlich vielen Planeten in unendlich vielen Universen, die von unendlich vielen Göttern geschaffen wurden. Von banalen Alltagsproblemen können sich Mathematiker nicht distanzieren: Es gibt immer nur einen Gott-Allah-Buddha, es gibt nur ein Hotel, es gibt nur einen Korridor. Also versuchen Mathematiker, mit den Seriennummern von Hotelzimmern zu jonglieren und uns davon zu überzeugen, dass es möglich ist, „das Unmögliche hineinzuschieben“.

Ich werde Ihnen die Logik meiner Überlegungen am Beispiel einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen demonstrieren. Zuerst müssen Sie eine sehr einfache Frage beantworten: Wie viele Mengen natürlicher Zahlen gibt es – eine oder viele? Auf diese Frage gibt es keine richtige Antwort, da wir die Zahlen selbst erfunden haben; Zahlen gibt es in der Natur nicht. Ja, die Natur kann gut zählen, aber dafür nutzt sie andere mathematische Werkzeuge, die uns nicht vertraut sind. Was die Natur denkt, erzähle ich euch ein andermal. Da wir die Zahlen erfunden haben, werden wir selbst entscheiden, wie viele Mengen natürlicher Zahlen es gibt. Betrachten wir beide Optionen, wie es sich für echte Wissenschaftler gehört.

Option eins. „Lasst uns einen einzigen Satz natürlicher Zahlen erhalten“, der ruhig im Regal liegt. Wir nehmen dieses Set aus dem Regal. Das ist alles, es sind keine anderen natürlichen Zahlen mehr im Regal und man kann sie nirgendwo hinnehmen. Wir können diesem Set keinen hinzufügen, da wir ihn bereits haben. Was ist, wenn Sie es wirklich wollen? Kein Problem. Wir können eines aus dem Set, das wir bereits genommen haben, nehmen und es zurück ins Regal stellen. Danach können wir eines aus dem Regal nehmen und es zu dem hinzufügen, was wir übrig haben. Als Ergebnis erhalten wir wieder eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Sie können alle unsere Manipulationen wie folgt aufschreiben:

Ich habe die Aktionen in algebraischer und mengentheoretischer Notation aufgeschrieben, mit einer detaillierten Auflistung der Elemente der Menge. Der Index zeigt an, dass wir eine einzige Menge natürlicher Zahlen haben. Es stellt sich heraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nur dann unverändert bleibt, wenn man von ihr eine abzieht und die gleiche Einheit hinzufügt.

Option zwei. Wir haben viele verschiedene unendliche Mengen natürlicher Zahlen in unserem Regal. Ich betone – UNTERSCHIEDLICH, obwohl sie praktisch nicht zu unterscheiden sind. Nehmen wir eines dieser Sets. Dann nehmen wir eine aus einer anderen Menge natürlicher Zahlen und fügen sie der Menge hinzu, die wir bereits genommen haben. Wir können sogar zwei Sätze natürlicher Zahlen addieren. Das bekommen wir:

Die Indizes „eins“ und „zwei“ zeigen an, dass diese Elemente zu unterschiedlichen Mengen gehörten. Ja, wenn Sie eins zu einer unendlichen Menge hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls eine unendliche Menge, aber es ist nicht dasselbe wie die ursprüngliche Menge. Wenn man einer unendlichen Menge eine weitere unendliche Menge hinzufügt, entsteht eine neue unendliche Menge, die aus den Elementen der ersten beiden Mengen besteht.

Die Menge der natürlichen Zahlen wird zum Zählen genauso verwendet wie ein Lineal zum Messen. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten dem Lineal einen Zentimeter hinzugefügt. Dies wird eine andere Zeile sein, die nicht mit der Originalzeile übereinstimmt.

Sie können meine Argumentation akzeptieren oder nicht akzeptieren – es ist Ihre eigene Sache. Wenn Sie jedoch jemals auf mathematische Probleme stoßen, denken Sie darüber nach, ob Sie dem Weg des falschen Denkens folgen, den Generationen von Mathematikern beschritten haben. Denn das Studium der Mathematik bildet in uns zunächst ein stabiles Stereotyp des Denkens und erweitert erst dann unsere geistigen Fähigkeiten (oder beraubt uns umgekehrt des freien Denkens).

Sonntag, 4. August 2019

Ich war gerade dabei, ein Nachwort zu einem Artikel darüber zu schreiben, und sah diesen wunderbaren Text auf Wikipedia:

Wir lesen: „... die reiche theoretische Grundlage der Mathematik Babylons hatte keinen ganzheitlichen Charakter und wurde auf eine Reihe unterschiedlicher Techniken reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisbasis.“

Wow! Wie schlau wir sind und wie gut wir die Unzulänglichkeiten anderer erkennen können. Fällt es uns schwer, die moderne Mathematik im gleichen Kontext zu betrachten? Wenn ich den obigen Text leicht paraphrasiere, habe ich persönlich Folgendes herausgefunden:

Die reichhaltige theoretische Grundlage der modernen Mathematik ist nicht ganzheitlicher Natur und reduziert sich auf eine Reihe unterschiedlicher Abschnitte, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Evidenzbasis.

Ich werde nicht weit gehen, um meine Worte zu bestätigen – es gibt eine Sprache und Konventionen, die sich von der Sprache und den Konventionen vieler anderer Zweige der Mathematik unterscheiden. Dieselben Namen können in verschiedenen Zweigen der Mathematik unterschiedliche Bedeutungen haben. Den offensichtlichsten Fehlern der modernen Mathematik möchte ich eine ganze Reihe von Veröffentlichungen widmen. Bis bald.

Samstag, 3. August 2019

Wie teilt man eine Menge in Teilmengen auf? Dazu müssen Sie eine neue Maßeinheit eingeben, die in einigen Elementen der ausgewählten Menge vorhanden ist. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Mögen wir genug davon haben A bestehend aus vier Personen. Diese Menge wird auf der Grundlage von „Menschen“ gebildet. Bezeichnen wir die Elemente dieser Menge mit dem Buchstaben A, der Index mit einer Zahl gibt die Seriennummer jeder Person in diesem Satz an. Lassen Sie uns eine neue Maßeinheit „Geschlecht“ einführen und sie mit dem Buchstaben bezeichnen B. Da allen Menschen sexuelle Merkmale innewohnen, multiplizieren wir jedes Element der Menge A basierend auf dem Geschlecht B. Beachten Sie, dass unsere Gruppe von „Menschen“ nun zu einer Gruppe von „Menschen mit Geschlechtsmerkmalen“ geworden ist. Danach können wir die Geschlechtsmerkmale in männlich einteilen bm und Frauen bw Geschlechtsmerkmale. Jetzt können wir einen mathematischen Filter anwenden: Wir wählen eines dieser Geschlechtsmerkmale aus, egal welches – männlich oder weiblich. Wenn eine Person es hat, multiplizieren wir es mit eins, wenn es kein solches Zeichen gibt, multiplizieren wir es mit Null. Und dann nutzen wir die reguläre Schulmathematik. Schauen Sie, was passiert ist.

Nach Multiplikation, Reduktion und Neuordnung erhielten wir schließlich zwei Teilmengen: die Teilmenge der Männer Bm und eine Untergruppe von Frauen Bw. Mathematiker denken ungefähr auf die gleiche Weise, wenn sie die Mengenlehre in der Praxis anwenden. Aber sie erzählen uns nicht die Details, sondern geben uns das fertige Ergebnis: „Viele Menschen bestehen aus einer Untergruppe von Männern und einer Untergruppe von Frauen.“ Natürlich haben Sie möglicherweise eine Frage: Wie korrekt wurde die Mathematik bei den oben beschriebenen Transformationen angewendet? Ich wage Ihnen zu versichern, dass die Transformationen im Wesentlichen korrekt durchgeführt wurden; es reicht aus, die mathematischen Grundlagen der Arithmetik, der Booleschen Algebra und anderer Zweige der Mathematik zu kennen. Was ist das? Ein anderes Mal werde ich Ihnen davon erzählen.

Bei Obermengen können Sie zwei Mengen zu einer Obermenge kombinieren, indem Sie die Maßeinheit auswählen, die in den Elementen dieser beiden Mengen vorhanden ist.

Wie Sie sehen, sind Maßeinheiten und gewöhnliche Mathematik die Mengenlehre ein Relikt der Vergangenheit. Ein Zeichen dafür, dass mit der Mengenlehre nicht alles in Ordnung ist, ist, dass Mathematiker ihre eigene Sprache und Notation für die Mengenlehre entwickelt haben. Mathematiker agierten einst wie Schamanen. Nur Schamanen wissen, wie sie ihr „Wissen“ „richtig“ anwenden. Sie vermitteln uns dieses „Wissen“.

Abschließend möchte ich Ihnen zeigen, wie Mathematiker manipulieren.

Montag, 7. Januar 2019

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... An der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich besonders aufmerksam machen möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Ich habe Ihnen bereits gesagt, mit welcher Hilfe Schamanen versuchen, die „Realität“ zu ordnen. Wie machen sie das? Wie kommt es eigentlich zur Bildung einer Menge?

Schauen wir uns die Definition einer Menge genauer an: „eine Sammlung verschiedener Elemente, die als ein einziges Ganzes gedacht sind.“ Spüren Sie nun den Unterschied zwischen zwei Ausdrücken: „als Ganzes denkbar“ und „als Ganzes denkbar“. Der erste Satz ist das Endergebnis, die Menge. Der zweite Satz ist eine vorbereitende Vorbereitung für die Bildung einer Menge. In diesem Stadium wird die Realität in einzelne Elemente zerlegt (das „Ganze“), aus denen dann eine Vielzahl gebildet wird (das „einzelne Ganze“). Gleichzeitig wird der Faktor, der es ermöglicht, das „Ganze“ zu einem „einzigen Ganzen“ zu verbinden, sorgfältig überwacht, sonst werden die Schamanen keinen Erfolg haben. Schließlich wissen Schamanen im Voraus genau, welches Set sie uns zeigen wollen.

Ich zeige Ihnen den Vorgang anhand eines Beispiels. Wir wählen den „roten Feststoff im Pickel“ aus – das ist unser „Ganzes“. Gleichzeitig sehen wir, dass diese Dinge mit einem Bogen sind und dass es solche ohne Bogen gibt. Danach wählen wir einen Teil des „Ganzen“ aus und bilden ein Set „mit Schleife“. Auf diese Weise erhalten Schamanen ihre Nahrung, indem sie ihre Mengenlehre mit der Realität in Verbindung bringen.

Jetzt machen wir einen kleinen Trick. Nehmen wir „fest mit einer Noppe mit einer Schleife“ und kombinieren Sie diese „Ganzen“ nach Farben und wählen Sie die roten Elemente aus. Wir haben viel „Rot“ bekommen. Nun die letzte Frage: Sind die resultierenden Sets „mit Schleife“ und „rot“ dasselbe Set oder zwei verschiedene Sets? Nur Schamanen kennen die Antwort. Genauer gesagt, sie selbst wissen nichts, aber wie sie sagen, wird es so sein.

Dieses einfache Beispiel zeigt, dass die Mengenlehre in Bezug auf die Realität völlig nutzlos ist. Was ist das Geheimnis? Wir haben ein Set aus „rotem Feststoff mit Noppe und Schleife“ zusammengestellt. Die Formation erfolgte in vier verschiedenen Maßeinheiten: Farbe (rot), Stärke (fest), Rauheit (pickelig), Verzierung (mit Schleife). Nur eine Reihe von Maßeinheiten ermöglicht es uns, reale Objekte in der Sprache der Mathematik angemessen zu beschreiben. So sieht es aus.

Der Buchstabe „a“ mit unterschiedlichen Indizes bezeichnet unterschiedliche Maßeinheiten. Die Maßeinheiten, nach denen das „Ganze“ im Vorfeld unterschieden wird, sind in Klammern hervorgehoben. In Klammern steht die Maßeinheit, nach der die Menge gebildet wird. Die letzte Zeile zeigt das Endergebnis – ein Element der Menge. Wie Sie sehen, hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge unserer Aktionen ab, wenn wir Maßeinheiten verwenden, um eine Menge zu bilden. Und das ist Mathematik und nicht der Tanz von Schamanen mit Tamburinen. Schamanen können „intuitiv“ zum gleichen Ergebnis kommen und argumentieren, dass es „offensichtlich“ sei, weil Maßeinheiten nicht Teil ihres „wissenschaftlichen“ Arsenals seien.

Mithilfe von Maßeinheiten ist es sehr einfach, einen Satz aufzuteilen oder mehrere Sätze zu einem Obersatz zusammenzufassen. Schauen wir uns die Algebra dieses Prozesses genauer an.

Samstag, 30. Juni 2018

Wenn Mathematiker einen Begriff nicht auf andere Begriffe reduzieren können, dann verstehen sie nichts von Mathematik. Ich antworte: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Die Antwort ist ganz einfach: Zahlen und Maßeinheiten.

Heutzutage gehört alles, was wir nicht nehmen, zu einer bestimmten Menge (wie uns Mathematiker versichern). Haben Sie übrigens im Spiegel auf Ihrer Stirn eine Liste der Sets gesehen, denen Sie angehören? Und so eine Liste habe ich noch nicht gesehen. Ich werde noch mehr sagen: In Wirklichkeit hat kein einziges Ding ein Tag mit einer Liste der Sets, zu denen dieses Ding gehört. Sets sind allesamt Erfindungen von Schamanen. Wie machen Sie das? Werfen wir einen etwas tieferen Blick in die Geschichte und sehen, wie die Elemente des Sets aussahen, bevor die Mathematiker und Schamanen sie in ihre Sets aufnahmen.

Vor langer Zeit, als noch nie jemand von Mathematik gehört hatte und nur Bäume und Saturn Ringe hatten, durchstreiften riesige Herden wilder Mengenelemente die physikalischen Felder (schließlich hatten Schamanen die mathematischen Felder noch nicht erfunden). Sie sahen ungefähr so aus.

Ja, wundern Sie sich nicht, aus mathematischer Sicht sind alle Elemente von Mengen Seeigeln am ähnlichsten – von einem Punkt aus ragen Maßeinheiten wie Nadeln in alle Richtungen heraus. Für diejenigen, die es tun, möchte ich Sie daran erinnern, dass jede Maßeinheit geometrisch als Segment beliebiger Länge und eine Zahl als Punkt dargestellt werden kann. Geometrisch kann jede Größe als eine Ansammlung von Segmenten dargestellt werden, die von einem Punkt in verschiedene Richtungen abstehen. Dieser Punkt ist Punkt Null. Ich werde dieses geometrische Kunstwerk nicht zeichnen (keine Inspiration), aber Sie können es sich leicht vorstellen.

Welche Maßeinheiten bilden ein Element einer Menge? Alle möglichen Dinge, die ein bestimmtes Element aus verschiedenen Blickwinkeln beschreiben. Dies sind alte Maßeinheiten, die unsere Vorfahren verwendeten und die jeder längst vergessen hat. Dies sind die modernen Maßeinheiten, die wir heute verwenden. Auch das sind uns unbekannte Maßeinheiten, die unsere Nachkommen erfinden und mit denen sie die Realität beschreiben werden.

Wir haben die Geometrie geklärt – das vorgeschlagene Modell der Elemente der Menge hat eine klare geometrische Darstellung. Was ist mit der Physik? Maßeinheiten sind die direkte Verbindung zwischen Mathematik und Physik. Wenn Schamanen Maßeinheiten nicht als vollwertiges Element mathematischer Theorien anerkennen, ist dies ihr Problem. Ich persönlich kann mir die wahre Wissenschaft der Mathematik ohne Maßeinheiten nicht vorstellen. Deshalb habe ich gleich zu Beginn der Geschichte über die Mengenlehre davon gesprochen, dass sie in der Steinzeit liegt.

Aber kommen wir zum Interessantesten – der Algebra der Elemente von Mengen. Algebraisch gesehen ist jedes Element einer Menge ein Produkt (das Ergebnis der Multiplikation) verschiedener Größen. Es sieht so aus.

Ich habe bewusst nicht auf die Konventionen der Mengenlehre zurückgegriffen, da wir vor der Entstehung der Mengenlehre ein Element einer Menge in seiner natürlichen Umgebung betrachten. Jedes Buchstabenpaar in Klammern bezeichnet eine separate Menge, bestehend aus einer durch den Buchstaben angegebenen Zahl. N„ und die durch den Buchstaben „ angegebene Maßeinheit A". Die Indizes neben den Buchstaben zeigen an, dass die Zahlen und Maßeinheiten unterschiedlich sind. Ein Element der Menge kann aus unendlich vielen Größen bestehen (wie viel wir und unsere Nachkommen genug Vorstellungskraft haben). Jede Klammer wird geometrisch dargestellt als ein separates Segment. Im Beispiel mit dem Seeigel ist eine Klammer eine Nadel.

Wie bilden Schamanen Sets aus verschiedenen Elementen? Tatsächlich nach Maßeinheiten oder nach Zahlen. Da sie nichts von Mathematik verstehen, nehmen sie verschiedene Seeigel und untersuchen sie sorgfältig auf der Suche nach der einzelnen Nadel, entlang derer sie eine Gruppe bilden. Wenn eine solche Nadel vorhanden ist, gehört dieses Element zur Menge. Wenn keine solche Nadel vorhanden ist, gehört dieses Element nicht zu dieser Menge. Schamanen erzählen uns Fabeln über Denkprozesse und das Ganze.

Wie Sie vielleicht schon erraten haben, kann dasselbe Element zu sehr unterschiedlichen Mengen gehören. Als nächstes zeige ich Ihnen, wie Mengen, Teilmengen und anderer schamanische Unsinn gebildet werden. Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden solch eine absurde Logik niemals verstehen. Dies ist das Niveau sprechender Papageien und dressierter Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.

Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Pass auf mich auf, ich bin im Haus“ oder besser gesagt „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf die Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Erklären wir dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann beginnen sie uns zu versichern, dass Scheine desselben Nennwerts unterschiedliche Scheinnummern haben, was bedeutet, dass sie nicht als die gleichen Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen sind keine Zahlen. Hier beginnt der Mathematiker, sich hektisch an die Physik zu erinnern: Verschiedene Münzen haben unterschiedliche Mengen an Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome ist bei jeder Münze einzigartig ...

Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.

Durch Null teilen in der Mathematik Division, bei der der Divisor Null ist. Eine solche Division kann formal als ⁄ 0 geschrieben werden, wobei die Dividende steht.

In der gewöhnlichen Arithmetik (mit reellen Zahlen) ist dieser Ausdruck nicht sinnvoll, da:

für ≠ 0 gibt es keine Zahl, die multipliziert mit 0 ergibt, daher kann keine Zahl als Quotient ⁄ 0 genommen werden;
Bei = 0 ist die Division durch Null ebenfalls undefiniert, da jede Zahl, wenn sie mit 0 multipliziert wird, 0 ergibt und als Quotient 0 ⁄ 0 angenommen werden kann.

Historisch gesehen findet sich einer der ersten Hinweise auf die mathematische Unmöglichkeit, den Wert ⁄ 0 zuzuweisen, in George Berkeleys Kritik der Infinitesimalrechnung.

Logische Fehler

Denn wenn wir eine beliebige Zahl mit Null multiplizieren, erhalten wir als Ergebnis immer Null, wenn wir beide Teile des Ausdrucks × 0 = × 0 dividieren, was unabhängig vom Wert von und gilt, erhalten wir durch 0 den Ausdruck =, was ist bei willkürlich angegebenen Variablen falsch. Da Null nicht explizit, sondern in Form eines recht komplexen mathematischen Ausdrucks angegeben werden kann, beispielsweise in Form der Differenz zweier durch algebraische Transformationen zueinander reduzierter Werte, kann eine solche Division ein eher nicht offensichtlicher Fehler sein. Die unmerkliche Einführung einer solchen Einteilung in den Beweisprozess, um die Identität offensichtlich unterschiedlicher Größen zu zeigen und damit jede absurde Aussage zu beweisen, ist eine der Spielarten des mathematischen Sophismus.

In der Informatik

Beim Programmieren kann der Versuch einer Division durch Null je nach Programmiersprache, Datentyp und Wert des Dividenden unterschiedliche Konsequenzen haben. Die Folgen der Division durch Null in der Ganzzahl- und der reellen Arithmetik sind grundsätzlich unterschiedlich:

Versuchen ganze Zahl Eine Division durch Null ist immer ein kritischer Fehler, der die weitere Ausführung des Programms unmöglich macht. Es löst entweder eine Ausnahme aus (die das Programm selbst behandeln kann und so einen Absturz vermeidet) oder führt dazu, dass das Programm sofort stoppt und eine nicht korrigierbare Fehlermeldung und möglicherweise den Inhalt des Aufrufstapels anzeigt. In einigen Programmiersprachen wie Go wird die Ganzzahldivision durch eine Nullkonstante als Syntaxfehler angesehen und führt zu einer abnormalen Kompilierung des Programms.
IN real Arithmetische Konsequenzen können in verschiedenen Sprachen unterschiedlich sein:

eine Ausnahme auslösen oder das Programm stoppen, wie bei der Ganzzahldivision;
Erhalten eines speziellen nicht numerischen Werts als Ergebnis einer Operation. In diesem Fall werden die Berechnungen nicht unterbrochen und ihr Ergebnis kann anschließend vom Programm selbst oder vom Benutzer als aussagekräftiger Wert oder als Beweis für fehlerhafte Berechnungen interpretiert werden. Ein weit verbreitetes Prinzip ist, dass bei einer Division wie ⁄ 0, wobei ≠ 0 eine Gleitkommazahl ist, das Ergebnis gleich positiv oder negativ (je nach Vorzeichen des Dividenden) Unendlich ist – oder, und wenn = 0, ist das Ergebnis a Sonderwert NaN (Abk. . aus dem Englischen „not a number“ – „not a number“). Dieser Ansatz wird im IEEE 754-Standard übernommen, der von vielen modernen Programmiersprachen unterstützt wird.

Eine versehentliche Division durch Null in einem Computerprogramm kann manchmal teure oder gefährliche Fehlfunktionen der vom Programm gesteuerten Hardware verursachen. Beispielsweise wurden am 21. September 1997 infolge einer Division durch Null im computergesteuerten Steuerungssystem des Kreuzers USS Yorktown (CG-48) der US-Marine alle elektronischen Geräte im System abgeschaltet, was dazu führte, dass das Antriebssystem des Schiffes ausfiel den Betrieb einstellen.

siehe auch

Anmerkungen

Funktion = 1 ⁄ . Wenn es von rechts gegen Null geht, tendiert es gegen Unendlich; wenn von links nach Null tendiert, tendiert es nach minus Unendlich

Wenn Sie mit einem normalen Taschenrechner eine beliebige Zahl durch Null dividieren, erhalten Sie den Buchstaben E oder das Wort Error, also „Fehler“.

In einem ähnlichen Fall schreibt der Computerrechner (in Windows XP): „Division durch Null ist verboten.“

Alles entspricht der aus der Schule bekannten Regel, dass man nicht durch Null dividieren kann.

Lassen Sie uns herausfinden, warum.

Division ist die zur Multiplikation umgekehrte mathematische Operation. Die Division wird durch Multiplikation bestimmt.

Teilen Sie eine Zahl A(teilbar, zum Beispiel 8) durch Zahl B(Teiler, zum Beispiel die Zahl 2) – bedeutet, eine solche Zahl zu finden X(Quotient), wenn mit einem Divisor multipliziert B es stellt sich die Dividende heraus A(4 2 = 8), das heißt A Teilen durch B bedeutet, die Gleichung x · b = a zu lösen.

Die Gleichung a: b = x entspricht der Gleichung x · b = a.

Wir ersetzen die Division durch Multiplikation: Statt 8:2 = x schreiben wir x · 2 = 8.

8: 2 = 4 entspricht 4 2 = 8

18: 3 = 6 entspricht 6 3 = 18

20: 2 = 10 entspricht 10 2 = 20

Das Ergebnis einer Division kann immer durch Multiplikation überprüft werden. Das Ergebnis der Multiplikation eines Divisors mit einem Quotienten muss der Dividend sein.

Versuchen wir auf die gleiche Weise, durch Null zu dividieren.

Zum Beispiel 6: 0 = ... Wir müssen eine Zahl finden, die bei Multiplikation mit 0 6 ergibt. Aber wir wissen, dass wir bei Multiplikation mit Null immer Null erhalten. Es gibt keine Zahl, die, wenn man sie mit Null multipliziert, etwas anderes als Null ergibt.

Wenn sie sagen, dass eine Division durch Null unmöglich oder verboten sei, meinen sie damit, dass es keine Zahl gibt, die dem Ergebnis einer solchen Division entspricht (Division durch Null ist möglich, Division jedoch nicht :)).

Warum sagt man in der Schule, dass man nicht durch Null teilen kann?

Deshalb in Definition Die Operation der Division von a durch b unterstreicht sofort, dass b ≠ 0.

Wenn Ihnen alles oben Geschriebene zu kompliziert vorkommt, dann probieren Sie es einfach mal aus: 8 durch 2 dividieren heißt herausfinden, wie viele Zweier Sie nehmen müssen, um 8 zu erhalten (Antwort: 4). 18 durch 3 zu dividieren bedeutet herauszufinden, wie viele Dreien man nehmen muss, um 18 zu erhalten (Antwort: 6).

6 durch Null zu dividieren bedeutet, herauszufinden, wie viele Nullen Sie nehmen müssen, um 6 zu erhalten. Egal wie viele Nullen Sie nehmen, Sie erhalten immer noch eine Null, aber nie 6, d. h. die Division durch Null ist undefiniert.

Ein interessantes Ergebnis erhält man, wenn man auf einem Android-Rechner versucht, eine Zahl durch Null zu dividieren. Auf dem Bildschirm wird ∞ (unendlich) angezeigt (oder - ∞ bei Division durch eine negative Zahl). Dieses Ergebnis ist falsch, da die Zahl ∞ nicht existiert. Anscheinend haben Programmierer völlig unterschiedliche Operationen verwechselt – Zahlen dividieren und den Grenzwert einer Zahlenfolge n/x finden, wobei x → 0. Bei der Division von Null durch Null wird NaN (Not a Number) geschrieben.

„Man kann nicht durch Null dividieren!“ - Die meisten Schulkinder lernen diese Regel auswendig, ohne Fragen zu stellen. Alle Kinder wissen, was „Du kannst nicht“ ist und was passiert, wenn man als Antwort darauf fragt: „Warum?“ Aber tatsächlich ist es sehr interessant und wichtig zu wissen, warum das nicht möglich ist.

Die Sache ist, dass die vier Operationen der Arithmetik – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – tatsächlich ungleich sind. Mathematiker erkennen nur zwei davon als gültig an: Addition und Multiplikation. Diese Operationen und ihre Eigenschaften sind in der Definition des Zahlbegriffs selbst enthalten. Alle anderen Aktionen sind auf die eine oder andere Weise aus diesen beiden aufgebaut.

Betrachten Sie zum Beispiel die Subtraktion. Was heißt 5 - 3 ? Der Schüler wird dies einfach beantworten: Sie müssen fünf Gegenstände nehmen, drei davon wegnehmen (entfernen) und sehen, wie viele übrig bleiben. Doch Mathematiker betrachten dieses Problem ganz anders. Es gibt keine Subtraktion, es gibt nur eine Addition. Daher der Eintrag 5 - 3 bedeutet eine Zahl, die, wenn sie zu einer Zahl addiert wird 3 werde eine Nummer geben 5 . Also 5 - 3 ist einfach eine Kurzversion der Gleichung: x + 3 = 5. In dieser Gleichung gibt es keine Subtraktion.

Durch Null teilen

Es gibt nur eine Aufgabe – eine passende Nummer zu finden.

Dasselbe gilt auch für Multiplikation und Division. Aufzeichnen 8: 4 kann als Ergebnis der Aufteilung von acht Objekten in vier gleiche Stapel verstanden werden. Aber in Wirklichkeit ist dies nur eine verkürzte Form der Gleichung 4 x = 8.

Hier wird deutlich, warum eine Division durch Null unmöglich (bzw. unmöglich) ist. Aufzeichnen 5: 0 ist eine Abkürzung für 0 x = 5. Das heißt, diese Aufgabe besteht darin, eine Zahl zu finden, die multipliziert wird mit 0 werde geben 5 . Aber das wissen wir, wenn man es mit multipliziert 0 es klappt immer 0 . Dies ist eine inhärente Eigenschaft von Null, streng genommen Teil ihrer Definition.

Eine solche Zahl, die multipliziert mit 0 wird etwas anderes als Null ergeben, es existiert einfach nicht. Das heißt, unser Problem hat keine Lösung. (Ja, das kommt vor; nicht für jedes Problem gibt es eine Lösung.) Damit sind die Aufzeichnungen gemeint 5: 0 entspricht keiner bestimmten Zahl und bedeutet einfach nichts und hat daher keine Bedeutung. Die Sinnlosigkeit dieses Eintrags wird kurz damit ausgedrückt, dass man nicht durch Null dividieren kann.

Die aufmerksamsten Leser an dieser Stelle werden sich sicherlich fragen: Ist es möglich, Null durch Null zu teilen?

Tatsächlich, die Gleichung 0 x = 0 erfolgreich gelöst. Zum Beispiel können Sie nehmen x = 0, und dann bekommen wir 0 0 = 0. Es stellt sich heraus 0: 0=0 ? Aber lasst uns nichts überstürzen. Versuchen wir es zu nehmen x = 1. Wir bekommen 0 1 = 0. Rechts? Bedeutet, 0: 0 = 1 ? Aber Sie können jede beliebige Zahl nehmen und erhalten 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 usw.

Aber wenn irgendeine Zahl geeignet ist, dann haben wir keinen Grund, eine davon zu wählen. Das heißt, wir können nicht sagen, welcher Nummer der Eintrag entspricht 0: 0 . Und wenn ja, dann müssen wir zugeben, dass auch dieser Eintrag keinen Sinn ergibt. Es stellt sich heraus, dass nicht einmal Null durch Null geteilt werden kann. (In der mathematischen Analyse gibt es Fälle, in denen man aufgrund zusätzlicher Bedingungen des Problems einer der möglichen Lösungen der Gleichung den Vorzug geben kann 0 x = 0; In solchen Fällen sprechen Mathematiker von „sich entfaltender Unsicherheit“, in der Arithmetik kommen solche Fälle jedoch nicht vor.)

Dies ist die Besonderheit der Divisionsoperation. Genauer gesagt haben die Multiplikationsoperation und die damit verbundene Zahl Null.

Nun, die Akribischsten, die bis hierher gelesen haben, fragen sich vielleicht: Warum kann man nicht durch Null dividieren, aber Null subtrahieren? In gewissem Sinne beginnt hier die echte Mathematik. Sie können diese Frage nur beantworten, indem Sie sich mit den formalen mathematischen Definitionen numerischer Mengen und Operationen auf ihnen vertraut machen. Es ist nicht so schwierig, aber aus irgendeinem Grund wird es in der Schule nicht gelehrt. Aber in den Mathematikvorlesungen an der Universität wird Ihnen das zuallererst beigebracht.

Die Divisionsfunktion ist nicht für einen Bereich definiert, in dem der Divisor Null ist. Sie können teilen, aber das Ergebnis ist nicht sicher

Sie können nicht durch Null dividieren. Mathematik der 2. Klasse der Sekundarstufe.

Wenn ich mich richtig erinnere, kann Null als unendlich kleiner Wert dargestellt werden, es wird also Unendlichkeit geben. Und das Schulwort „Null – nichts“ ist nur eine Vereinfachung; davon gibt es in der Schulmathematik so viele). Aber ohne sie geht es nicht, alles wird zu seiner Zeit passieren.

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Durch Null teilen

Quotient aus Durch Null teilen es gibt keine andere Zahl als Null.

Die Begründung lautet wie folgt: Denn in diesem Fall kann keine Zahl der Definition eines Quotienten genügen.

Schreiben wir zum Beispiel:

Welche Zahl Sie auch immer versuchen (z. B. 2, 3, 7), sie ist nicht geeignet, weil:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Was passiert, wenn Sie durch 0 dividieren?

usw., aber Sie müssen 2,3,7 im Produkt erhalten.

Wir können sagen, dass das Problem der Division einer Zahl ungleich Null durch Null keine Lösung hat. Allerdings kann eine Zahl ungleich Null beliebig durch eine Zahl dividiert werden, die so nahe bei Null liegt, und je näher der Divisor bei Null liegt, desto größer ist der Quotient. Wenn wir also 7 durch teilen

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

dann erhalten wir die Quotienten 70, 700, 7000, 70.000 usw., die unbegrenzt wachsen.

Daher sagen sie oft, dass der Quotient von 7 dividiert durch 0 „unendlich groß“ oder „gleich unendlich“ sei, und schreiben

\[ 7: 0 = \infin \]

Die Bedeutung dieses Ausdrucks besteht darin, dass der Quotient unbegrenzt zunimmt, wenn der Divisor gegen Null geht und der Dividend gleich 7 bleibt (oder sich 7 nähert).