Genau diesen Betrag erhält der britische Mathematiker Andrew Wiles, der 1994 einen Beweis für Fermats letzten Satz vorlegte. Die Entscheidung der Internationalen Mathematischen Union und der Europäischen Mathematischen Gesellschaft, ihm den Abel-Preis zu verleihen, der manchmal auch als Nobelpreis für Mathematiker bezeichnet wird, wurde vom Präsidenten der Norwegischen Akademie der Wissenschaften und Literatur, Ole Sejersted, bekannt gegeben. gemeldetauf der offiziellen Website des Preises.

„Die von Wiles eingeführten neuen Ideen öffneten die Tür für spätere Durchbrüche“, sagte Jon Rognes, Vorsitzender des Abel-Komitees. „Nur wenige mathematische Probleme haben eine so reiche wissenschaftliche Geschichte und einen so spektakulären Beweis wie Fermats letzter Satz.“

Der große französische Mathematiker Pierre Fermat machte sich stets Notizen am Rand der von ihm gelesenen mathematischen Abhandlungen und formulierte dort Probleme und Theoreme, die ihm in den Sinn kamen. Er schrieb seinen Großen Satz, der manchmal als „Letzter Satz“ bezeichnet wird, nieder, mit dem Hinweis, dass der geniale Beweis, den er für diesen Satz fand, zu lang war, um ihn am Rand des Buches zu platzieren:

„Im Gegenteil, es ist unmöglich, einen Würfel in zwei Würfel, ein Biquadrat in zwei Biquadrate und im Allgemeinen jede Potenz größer als ein Quadrat in zwei Potenzen mit demselben Exponenten zu zerlegen. Ich habe einen wirklich wunderbaren Beweis dafür gefunden, aber der Die Ränder des Buches sind dafür zu schmal.“

Originaltext (lateinisch)

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est Dividere Cuius rei Demonstrationem Mirabilem Sane Detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.“

Das war im Jahr 1637, als Musketiere mit voller Kraft durch Frankreich galoppierten, Diamantanhänger stahlen und sich gegenseitig in Duellen töteten.

Was dieser Satz ist und wie er formuliert ist, wie schwierig es ist, ihn zu beweisen, lässt sich am besten in einem faszinierenden Film des wunderbaren sowjetischen Dokumentarfilmregisseurs Semyon Wartburg erzählen.

Versuche, WTF zu beweisen, begannen fast unmittelbar nach seiner „Entdeckung“. Euler, Dirichlet, Legendre und andere professionelle Mathematiker und Amateure kämpften mit diesem Problem. Ernst Kummer schuf auch die moderne Zahlentheorie.

David Hilbert sprach in seinem Bericht „Mathematische Probleme“ auf dem II. Internationalen Mathematikerkongress (1900) wie folgt über die WTF:

„Das Problem des Nachweises dieser Unentscheidbarkeit ist ein eindrucksvolles Beispiel dafür, welchen anregenden Einfluss ein besonderes und auf den ersten Blick unbedeutendes Problem auf die Wissenschaft haben kann.“ Denn angeregt durch Fermats Problem kam Kummer zur Einführung idealer Zahlen und zur Entdeckung des Satzes über die eindeutige Zerlegung von Zahlen in zyklotomischen Körpern in ideale Primfaktoren – ein Satz, der sich dank der Verallgemeinerungen auf jeden algebraischen Zahlenbereich ergab von Dedekind und Kronecker ist heute von zentraler Bedeutung für die moderne Zahlentheorie und ihre Bedeutung geht weit über die Zahlentheorie hinaus in den Bereich der Algebra und Funktionentheorie.“

Es ist die Schaffung der Zahlentheorie, die als Fermats wichtigster posthumer Beitrag zur Entwicklung der Mathematik bezeichnet werden kann. „Gott hat die ganzen Zahlen geschaffen, und alles andere ist Menschenwerk“, beschrieb Leopold Kronecker die Rolle dieser Theorie. Pythagoras glaubte, dass das gesamte Universum aus ganzen Zahlen bestehe. Auf jeden Fall erforscht der Mensch die Geheimnisse des Universums bisher mit rein digitalen, diskreten Methoden.

Andrew Wiles, Knight Commander des Order of the British Empire – englischer und amerikanischer Mathematiker, Leiter der Fakultät für Mathematik an der Princeton University, Mitglied des wissenschaftlichen Rates des Clay Institute of Mathematics, erfuhr von WTF, als er erst zehn Jahre alt war . Mit einem Schulbuch bewaffnet versuchte er, Euler und Dirichlet zu übertreffen, aber es gelang ihm natürlich nicht.

Er beruhigte sich, obwohl er, wie spätere Ereignisse zeigten, nicht lange eine höhere Ausbildung erhielt und sich anderen Problemen widmete. Konkret handelt es sich um die sogenannten elliptischen Kurven. Bald lernte er die Arbeit der Japaner Shimura und Takayama sowie des Franzosen Weil auf diesem Gebiet kennen. Und dann mit dem Beweis des amerikanischen Mathematikers Ken Ribet, dass diese Werke in direktem Zusammenhang mit der WTF stehen.

Dann stieg die „alte Liebe“ aus den Tiefen von Wiles‘ Unterbewusstsein auf und sieben Jahre lang versuchte er, „Fermats letzten Satz“ zu Ende zu bringen – so heißt WTF in seinem Werk, für das er tatsächlich seinen erhielt ehrlich gesagt 700.000 Dollar verdient.

Dann begannen alle möglichen Auszeichnungen auf ihn zuzuströmen, darunter auch die Verleihung eines hohen Rittertums.

Da Wiles' Beweis 130 Seiten äußerst komplexen mathematischen Textes enthält, dauerte es einige Jahre, bis die norwegische Akademie der Wissenschaften seine Richtigkeit überprüfte.

Aber selbst jetzt mit dem WTF und seinen Beweisen ist nicht alles so einfach und klar.

Das Heer tausender „Fermatisten“, also Fans der endlosen, aber äußerst fesselnden Beweise ihrer Treue oder Untreue, ist empört und fordert die Fortsetzung der Show.

Unterdessen ist die Leidenschaft, WTF zu beweisen, für „romantische junge Männer“ äußerst gefährlich. Das schreibt einer der empörten „Farmatisten“ in einem Internetforum:

„Die mathematische Gemeinschaft scheint die Tatsache bedingungslos akzeptiert zu haben, dass der lang erwartete Beweis für die WTF tatsächlich gefunden wurde. Als Mitglied der mathematischen Gemeinschaft bin ich jedoch in der unglücklichen Lage, die Gültigkeit dieses Beweises zu diskutieren oder zu bestätigen. Mir wurde gesagt, dass die Zeitspanne, die erforderlich ist, um ausreichende Kenntnisse zu erlangen, um Beweise zu kritisieren, in Jahren gemessen wird. Nach einer kurzen Überprüfung des verwendeten mathematischen Apparats war ich überzeugt, dass dies richtig war. Daher entstand eine unangenehme Situation, als die Lösung für ein solch klassisches Problem in einer Form erschien, die nur für die erfahrensten Experten verständlich war. Aus diesem Grund schreibe ich diese Arbeit. Ich hoffe, dass diese Arbeit als erste Referenz für alle dienen kann, die daran interessiert sind, die notwendigen Informationen für ihre eigene Überprüfung der Richtigkeit des WTF-Beweises zu studieren.“

Ich behalte bewusst den Stil sowie die grammatikalischen Fehler und Tippfehler des Originals bei, um das typische Niveau solcher Fans zu zeigen.

Auch erfahrenere Mathematik-Enthusiasten versuchen, Wiles‘ Beweis zu verstehen:

„Meiner Meinung nach ist dies der Fall, wenn das Verstehen des Beweises schwieriger ist als das Erkennen des Fehlers. Deshalb würde ich mich davor hüten, Wiles „den großen Wiles“ zu nennen. - schreibt einer von ihnen.

„Übrigens habe ich bis dahin auch darüber gelesen, was „Leiter“ und was „modulare Formen“ sind, aber von der Kolyvagin-Flach-Methode habe ich überhaupt nichts verstanden. Und in Wiles‘ Beweis ist das erst der Anfang, der Ausgangspunkt!“ - Der andere antwortet ihm.

Auch Fachleute beschäftigen sich mit Wiles’ 130-seitigem Werk:

„Nachdem ich mir diesen Artikel angesehen habe, sehe ich wieder: Der Ribet-Frey-Wiles-Beweis beruht auf der Tatsache, dass bei der Zerlegung der Diskriminante der Frey-Kurve ... in Primzahlen die Zweierpotenz nicht durch den Exponenten teilbar ist Fermat-Gleichung und die übrigen Potenzen sind teilbar. Wenn der Nenner nicht 256 hätte, wäre der Beweis nicht geeignet. Es wäre schön, wenn jemand dies klären könnte: Warum gibt es 256 und ist es möglich, den Satz von Fermat auf Ribets Beweis zu verallgemeinern? Oder hat 256 überhaupt nichts damit zu tun?“

Eine Reihe von Skeptikern bestreiten einfach, dass Wiles einen wesentlichen Beitrag zum epochalen Beweis geleistet hat:

„Taniyama sah (notierte), formulierte eine Hypothese, Wiles bewies die Richtigkeit der Hypothese. Außerdem schien es früher einen Beweis dafür zu geben, dass die Gültigkeit von Taniyamas Hypothese die Gültigkeit von Fermats Theorem impliziert. Daraus schließe ich, dass der resultierende Beweis ein reines Spiel mit Formeln und Zufällen ist.“

Aber andere Experten sind der Wahrheit näher, die im lang erwarteten Beweis von WTF die Möglichkeit weiterer vielversprechender Entdeckungen sehen:

„Aber das ist wohl nicht der Fall. Dies ist kein Zufall, und wenn keine Fehler vorliegen, spiegelt diese Theorie einige algebraische Eigenschaften von Trinomen wider. Der Satz von Fermat wird für Zahlentripel formuliert, und die elliptischen Funktionen, mit denen er bewiesen wird, erscheinen beim Lösen einer Differentialgleichung. Dahinter verbergen sich möglicherweise die bemerkenswerten Eigenschaften von Zahlen und die Einheit der Algebra. Ich denke, wenn jemand diese Zusammenhänge klären könnte, wäre das sehr cool.“

Und schließlich die Schlussfolgerung, der ich mich als Mathematikingenieur anschließen möchte:

„Ich kann Ihren Worten nicht zustimmen. Um dieses Anwesen „dumm“ zu sehen, musste man hart arbeiten. Aber Sie haben Recht in dem Sinne, dass es den Anschein hat, dass hier alles getan wurde, ohne die wahren Gründe zu verstehen. Ich denke, dass derjenige, der versteht, warum das alles so angeordnet ist und warum elliptische Funktionen solche Eigenschaften haben, und derjenige, der dies erklären kann, einen größeren Beitrag zur Mathematik leisten wird als beispielsweise derselbe Wiles. Daher ist die Suche nach einem parallelen Beweis für den Satz von Fermat äußerst nützlich: Wenn dieser gefunden wird, können die Gründe für die Eigenschaften elliptischer Funktionen aufgedeckt werden, und wenn auch neue Methoden erfunden werden, ist dies möglicherweise ein Durchbruch in der Mathematik das Beste der letzten 50 Jahre. Aber natürlich braucht es neue Methoden, ohne sie wäre es nur eine Erklärung und keine neue Entdeckung.“

Damit ist Fermats letzter Satz endlich bewiesen. Aber es gibt keinen Grund für eingefleischte Fermatisten, ihre mathematischen Waffen niederzulegen. Die wissenschaftliche Gemeinschaft sehnt sich nach einem einfacheren und allgemeineren Beweis.

Möglicherweise wird für diese Aufgabe eine entsprechende Prämie erfunden. Schließlich hat Gott, um es mit Leopold Kronecker zu sagen, nur ganze Zahlen erfunden, und es ist unsere Aufgabe, sie richtig zu „sortieren“. +

Der letzte Satz von Fermat (oft als Fermats letzter Satz bezeichnet), der 1637 vom brillanten französischen Mathematiker Pierre Fermat formuliert wurde, ist also von Natur aus sehr einfach und für jeden mit einer Sekundarschulbildung verständlich. Darin heißt es, dass die Formel a hoch n + b hoch n = c hoch n keine natürlichen (also keine gebrochenen) Lösungen für n > 2 hat. Alles scheint einfach und klar, aber die Die besten Mathematiker und gewöhnlichen Amateure kämpften mehr als dreieinhalb Jahrhunderte lang mit der Suche nach einer Lösung.

Warum ist sie so berühmt? Jetzt werden wir es herausfinden...



Gibt es viele bewiesene, unbewiesene und noch unbewiesene Theoreme? Der Punkt hier ist, dass Fermats letzter Satz den größten Kontrast zwischen der Einfachheit der Formulierung und der Komplexität des Beweises darstellt. Der letzte Satz von Fermat ist ein unglaublich schwieriges Problem, und dennoch kann seine Formulierung von jedem in der 5. Klasse der High School verstanden werden, aber nicht einmal jeder professionelle Mathematiker kann den Beweis verstehen. Weder in der Physik, noch in der Chemie, noch in der Biologie, noch in der Mathematik gibt es ein einziges Problem, das so einfach formuliert werden könnte, aber so lange ungelöst blieb. 2. Woraus besteht es?

Beginnen wir mit der Pythagoräischen Hose. Der Wortlaut ist eigentlich einfach – auf den ersten Blick. Wie wir aus der Kindheit wissen, „sind die Hosen des Pythagoras auf allen Seiten gleich.“ Das Problem sieht so einfach aus, weil es auf einer mathematischen Aussage basierte, die jeder kennt – dem Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das auf der Hypotenuse gebildete Quadrat gleich der Summe der auf den Schenkeln gebildeten Quadrate.

Im 5. Jahrhundert v. Chr. Pythagoras gründete die Pythagoräer-Bruderschaft. Die Pythagoräer untersuchten unter anderem ganzzahlige Tripel, die die Gleichheit x²+y²=z² erfüllen. Sie bewiesen, dass es unendlich viele pythagoreische Tripel gibt, und erhielten allgemeine Formeln, um sie zu finden. Sie haben wahrscheinlich versucht, nach Cs und höheren Abschlüssen zu suchen. In der Überzeugung, dass dies nicht funktionierte, gaben die Pythagoräer ihre nutzlosen Versuche auf. Die Mitglieder der Bruderschaft waren eher Philosophen und Ästhetiker als Mathematiker.


Das heißt, es ist einfach, eine Menge von Zahlen auszuwählen, die die Gleichheit x²+y²=z² perfekt erfüllen

Beginnend mit 3, 4, 5 – tatsächlich versteht ein junger Student, dass 9 + 16 = 25.

Oder 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Großartig.

Und so weiter. Was wäre, wenn wir eine ähnliche Gleichung x³+y³=z³ nehmen würden? Vielleicht gibt es auch solche Zahlen?




Und so weiter (Abb. 1).

Es stellt sich also heraus, dass dies NICHT der Fall ist. Hier beginnt der Trick. Einfachheit ist offensichtlich, weil es schwierig ist, nicht die Anwesenheit von etwas, sondern im Gegenteil seine Abwesenheit zu beweisen. Wenn Sie nachweisen müssen, dass es eine Lösung gibt, können und sollten Sie diese Lösung einfach präsentieren.

Der Nachweis der Abwesenheit ist schwieriger: Beispielsweise sagt jemand: Für diese und jene Gleichung gibt es keine Lösungen. Ihn in eine Pfütze stecken? Ganz einfach: Bam – und hier ist sie, die Lösung! (Lösung angeben). Und das war's, der Gegner ist besiegt. Wie kann man Abwesenheit nachweisen?

Sagen Sie: „Ich habe solche Lösungen nicht gefunden“? Oder hast du vielleicht nicht gut ausgesehen? Was wäre, wenn es sie gäbe, nur sehr groß, sehr groß, so dass selbst ein superstarker Computer immer noch nicht genug Kraft hätte? Das ist das Schwierige.

Anschaulich lässt sich das so darstellen: Nimmt man zwei Quadrate geeigneter Größe und zerlegt sie in Einheitsquadrate, so erhält man aus diesem Bündel von Einheitsquadraten ein drittes Quadrat (Abb. 2):


Aber machen wir das Gleiche mit der dritten Dimension (Abb. 3) – es funktioniert nicht. Es sind nicht genügend Würfel vorhanden oder es sind noch mehr übrig:





Doch der französische Mathematiker Pierre de Fermat aus dem 17. Jahrhundert beschäftigte sich mit Begeisterung mit der allgemeinen Gleichung x n +y n =z n . Und schließlich kam ich zu dem Schluss: Für n>2 gibt es keine ganzzahligen Lösungen. Fermats Beweis ist unwiederbringlich verloren. Manuskripte brennen! Übrig bleibt nur seine Bemerkung in der Arithmetik des Diophantus: „Ich habe einen wirklich erstaunlichen Beweis für diesen Satz gefunden, aber der Rand hier ist zu eng, um ihn zu fassen.“

Tatsächlich wird ein Satz ohne Beweis als Hypothese bezeichnet. Aber Fermat hat den Ruf, niemals Fehler zu machen. Auch wenn er keine Beweise für eine Aussage hinterließ, wurde diese nachträglich bestätigt. Darüber hinaus hat Fermat seine These für n=4 bewiesen. So ging die Hypothese des französischen Mathematikers als Fermats letzter Satz in die Geschichte ein.

Nach Fermat arbeiteten so große Köpfe wie Leonhard Euler an der Suche nach einem Beweis (1770 schlug er eine Lösung für n = 3 vor),

Adrien Legendre und Johann Dirichlet (diese Wissenschaftler fanden 1825 gemeinsam den Beweis für n = 5), Gabriel Lamé (der den Beweis für n = 7 fand) und viele andere. Mitte der 80er Jahre des letzten Jahrhunderts wurde klar, dass die wissenschaftliche Welt auf dem Weg zur endgültigen Lösung von Fermats letztem Satz war, aber erst 1993 sahen und glaubten Mathematiker, dass das dreihundertjährige Epos der Suche nach einem Beweis für Fermats letzter Satz war praktisch vorbei.

Es lässt sich leicht zeigen, dass es ausreicht, den Satz von Fermat nur für einfaches n zu beweisen: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Für zusammengesetztes n bleibt der Beweis gültig. Aber es gibt unendlich viele Primzahlen...

Im Jahr 1825 bewiesen die Mathematikerinnen Dirichlet und Legendre unabhängig voneinander mit der Methode von Sophie Germain den Satz für n=5. Im Jahr 1839 zeigte der Franzose Gabriel Lame mit der gleichen Methode die Wahrheit des Theorems für n=7. Nach und nach wurde der Satz für fast alle n kleiner als einhundert bewiesen.


Schließlich zeigte der deutsche Mathematiker Ernst Kummer in einer brillanten Studie, dass der Satz im Allgemeinen nicht mit den Methoden der Mathematik des 19. Jahrhunderts bewiesen werden kann. Der 1847 für den Beweis des Satzes von Fermat gestiftete Preis der Französischen Akademie der Wissenschaften blieb unbesetzt.

1907 beschloss der wohlhabende deutsche Industrielle Paul Wolfskehl aus unerwiderter Liebe, sich das Leben zu nehmen. Wie ein echter Deutscher legte er Datum und Uhrzeit des Selbstmordes fest: genau auf Mitternacht. Am letzten Tag verfasste er ein Testament und schrieb Briefe an Freunde und Verwandte. Die Sache endete vor Mitternacht. Man muss sagen, dass Paulus sich für Mathematik interessierte. Da er nichts anderes zu tun hatte, ging er in die Bibliothek und begann, Kummers berühmten Artikel zu lesen. Plötzlich schien es ihm, als hätte Kummer in seiner Überlegung einen Fehler gemacht. Wolfskel begann mit einem Bleistift in der Hand diesen Teil des Artikels zu analysieren. Mitternacht ist vergangen, der Morgen ist gekommen. Die Beweislücke ist geschlossen. Und der eigentliche Grund für den Selbstmord sah jetzt völlig lächerlich aus. Paulus zerriss seine Abschiedsbriefe und schrieb sein Testament um.

Er starb bald eines natürlichen Todes. Die Erben waren ziemlich überrascht: 100.000 Mark (mehr als 1.000.000 heutige Pfund Sterling) wurden auf das Konto der Königlichen Wissenschaftlichen Gesellschaft zu Göttingen überwiesen, die im selben Jahr einen Wettbewerb um den Wolfskehl-Preis ausschrieb. 100.000 Mark wurden der Person verliehen, die den Satz von Fermat bewies. Für die Widerlegung des Theorems wurde kein Pfennig belohnt...

Die meisten professionellen Mathematiker hielten die Suche nach einem Beweis für Fermats letzten Satz für eine hoffnungslose Aufgabe und weigerten sich entschieden, Zeit mit einer solch nutzlosen Aufgabe zu verschwenden. Aber die Amateure hatten viel Spaß. Wenige Wochen nach der Ankündigung erschütterte eine Lawine von „Beweisen“ die Universität Göttingen. Professor E.M. Landau, dessen Aufgabe es war, die übermittelten Beweise zu analysieren, verteilte Karten an seine Studenten:


Lieb. . . . . . . .

Vielen Dank, dass Sie mir das Manuskript mit dem Beweis von Fermats letztem Satz geschickt haben. Der erste Fehler ist auf Seite ... in Zeile ... . Dadurch verliert der gesamte Beweis seine Gültigkeit.
Professor E. M. Landau











Im Jahr 1963 bewies Paul Cohen, gestützt auf Gödels Erkenntnisse, die Unlösbarkeit eines von Hilberts 23 Problemen – der Kontinuumshypothese. Was wäre, wenn Fermats letzter Satz ebenfalls unentscheidbar wäre?! Aber echte Fanatiker des Großen Theorems wurden keineswegs enttäuscht. Das Aufkommen von Computern bot Mathematikern plötzlich eine neue Beweismethode. Nach dem Zweiten Weltkrieg bewiesen Teams aus Programmierern und Mathematikern Fermats letzten Satz für alle Werte von n bis 500, dann bis 1.000 und später bis 10.000.

In den 1980er Jahren erhöhte Samuel Wagstaff die Grenze auf 25.000, und in den 1990er Jahren erklärten Mathematiker, dass Fermats letzter Satz für alle Werte von n bis zu 4 Millionen wahr sei. Aber wenn man auch nur eine Billion Billionen von der Unendlichkeit abzieht, wird es nicht kleiner. Mathematiker lassen sich von Statistiken nicht überzeugen. Den Großen Satz zu beweisen bedeutete, ihn für ALLE bis ins Unendliche zu beweisen.




Im Jahr 1954 begannen zwei junge befreundete japanische Mathematiker mit der Erforschung modularer Formen. Diese Formen erzeugen Zahlenreihen, jede mit ihrer eigenen Reihe. Zufällig verglich Taniyama diese Reihen mit Reihen, die durch elliptische Gleichungen erzeugt wurden. Sie passten zusammen! Aber modulare Formen sind geometrische Objekte und elliptische Gleichungen sind algebraische. Es wurde noch nie eine Verbindung zwischen so unterschiedlichen Objekten gefunden.

Nach sorgfältiger Prüfung stellten Freunde jedoch eine Hypothese auf: Jede elliptische Gleichung hat einen Zwilling – eine Modulform und umgekehrt. Es war diese Hypothese, die zur Grundlage einer ganzen Richtung in der Mathematik wurde, aber bis die Taniyama-Shimura-Hypothese bewiesen war, könnte das gesamte Gebäude jeden Moment einstürzen.

Im Jahr 1984 zeigte Gerhard Frey, dass eine Lösung der Fermat-Gleichung, sofern sie existiert, in eine elliptische Gleichung einbezogen werden kann. Zwei Jahre später bewies Professor Ken Ribet, dass diese hypothetische Gleichung kein Gegenstück in der modularen Welt haben konnte. Von nun an war Fermats letzter Satz untrennbar mit der Taniyama-Shimura-Vermutung verbunden. Nachdem wir bewiesen haben, dass jede elliptische Kurve modular ist, kommen wir zu dem Schluss, dass es keine elliptische Gleichung mit einer Lösung für die Fermat-Gleichung gibt und Fermats letzter Satz sofort bewiesen wäre. Doch dreißig Jahre lang gelang es nicht, die Taniyama-Shimura-Hypothese zu beweisen, und die Hoffnung auf Erfolg wurde immer geringer.

Bereits 1963, als er gerade einmal zehn Jahre alt war, war Andrew Wiles von der Mathematik fasziniert. Als er vom Großen Satz erfuhr, wurde ihm klar, dass er ihn nicht aufgeben durfte. Als Schüler, Student und Doktorand bereitete er sich auf diese Aufgabe vor.

Nachdem er von Ken Ribets Erkenntnissen erfahren hatte, stürzte sich Wiles kopfüber in den Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung. Er beschloss, in völliger Isolation und Geheimhaltung zu arbeiten. „Mir wurde klar, dass alles, was mit Fermats letztem Satz zu tun hat, zu viel Interesse weckt … Zu viele Zuschauer stören offensichtlich das Erreichen des Ziels.“ Sieben Jahre harter Arbeit zahlten sich aus; Wiles vollendete schließlich den Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung.

Im Jahr 1993 präsentierte der englische Mathematiker Andrew Wiles der Welt seinen Beweis von Fermats letztem Satz (Wiles las seinen sensationellen Aufsatz auf einer Konferenz am Sir Isaac Newton Institute in Cambridge). Die Arbeit dauerte mehr als sieben Jahre.







Während der Hype in der Presse anhielt, begannen ernsthafte Arbeiten zur Überprüfung der Beweise. Jedes Beweisstück muss sorgfältig geprüft werden, bevor es als schlüssig und genau angesehen werden kann. Wiles verbrachte einen unruhigen Sommer damit, auf das Feedback der Rezensenten zu warten, in der Hoffnung, ihre Zustimmung zu gewinnen. Ende August befanden Experten, dass das Urteil nicht ausreichend untermauert sei.

Es stellte sich heraus, dass diese Entscheidung einen groben Fehler enthält, obwohl sie im Großen und Ganzen richtig ist. Wiles gab nicht auf, nahm die Hilfe des berühmten Spezialisten für Zahlentheorie Richard Taylor in Anspruch und veröffentlichte bereits 1994 einen korrigierten und erweiterten Beweis des Theorems. Das Erstaunlichste ist, dass diese Arbeit in der Mathematikzeitschrift „Annals of Mathematics“ ganze 130 (!) Seiten einnahm. Aber damit war die Geschichte noch nicht zu Ende – der endgültige Punkt wurde erst im nächsten Jahr, 1995, erreicht, als die endgültige und aus mathematischer Sicht „ideale“ Version des Beweises veröffentlicht wurde.

„...eine halbe Minute nach Beginn des festlichen Abendessens anlässlich ihres Geburtstages überreichte ich Nadya das Manuskript des vollständigen Beweises“ (Andrew Wales). Habe ich nicht schon gesagt, dass Mathematiker seltsame Menschen sind?






Diesmal gab es keinen Zweifel an den Beweisen. Zwei Artikel wurden einer sorgfältigsten Analyse unterzogen und im Mai 1995 in den Annals of Mathematics veröffentlicht.

Seitdem ist viel Zeit vergangen, aber in der Gesellschaft herrscht immer noch die Meinung vor, dass Fermats letzter Satz unlösbar sei. Aber selbst diejenigen, die über die gefundenen Beweise Bescheid wissen, arbeiten weiter in dieser Richtung – nur wenige sind zufrieden damit, dass der Große Satz eine Lösung von 130 Seiten erfordert!

Daher konzentrieren sich nun die Bemühungen vieler Mathematiker (hauptsächlich Amateure, keine professionellen Wissenschaftler) auf die Suche nach einem einfachen und prägnanten Beweis, aber dieser Weg wird höchstwahrscheinlich nirgendwohin führen ...

Andrew Wiles ist Professor für Mathematik an der Princeton University. Er hat Fermats letzten Satz bewiesen, mit dem Generationen von Wissenschaftlern seit Hunderten von Jahren zu kämpfen haben.

30 Jahre an einer Aufgabe

Wiles erfuhr zum ersten Mal von Fermats letztem Satz, als er zehn Jahre alt war. Auf dem Heimweg von der Schule kam er in der Bibliothek vorbei und vertiefte sich in die Lektüre des Buches „The Final Problem“ von Eric Temple Bell. Vielleicht ohne es zu wissen, widmete er von diesem Moment an sein Leben der Suche nach Beweisen, obwohl dies etwas war, was den besten Köpfen der Welt drei Jahrhunderte lang entgangen war.

Wiles erfuhr von Fermats letztem Satz, als er zehn Jahre alt war

Er fand es 30 Jahre später, nachdem ein anderer Wissenschaftler, Ken Ribet, den Zusammenhang zwischen dem Satz der japanischen Mathematiker Taniyama und Shimura und dem letzten Satz von Fermat bewiesen hatte. Im Gegensatz zu seinen skeptischen Kollegen verstand Wiles sofort, dass es das war, und sieben Jahre später machte er dem Beweis ein Ende.

Der Beweisprozess selbst erwies sich als sehr dramatisch: Wiles schloss sein Werk 1993 ab, doch schon während seines öffentlichen Auftritts stellte er eine erhebliche „Lücke“ in seiner Argumentation fest. Es dauerte zwei Monate, bis ein Fehler in den Berechnungen gefunden wurde (der Fehler war zwischen 130 gedruckten Seiten der Lösung der Gleichung versteckt). Dann wurde anderthalb Jahre lang intensiv daran gearbeitet, den Fehler zu beheben. Die gesamte wissenschaftliche Gemeinschaft der Erde war ratlos. Wiles vollendete sein Werk am 19. September 1994 und stellte es umgehend der Öffentlichkeit vor.

Erschreckende Herrlichkeit

Andrews größte Angst war Ruhm und Publicity. Er weigerte sich sehr lange, im Fernsehen aufzutreten. Man geht davon aus, dass John Lynch ihn überzeugen konnte. Er versicherte Wiles, dass er eine neue Generation von Mathematikern inspirieren und der Öffentlichkeit die Macht der Mathematik zeigen könne.

Andrew Wiles weigerte sich lange Zeit, im Fernsehen aufzutreten

Wenig später begann eine dankbare Gesellschaft, Andrew mit Preisen zu belohnen. Am 27. Juni 1997 erhielt Wiles den Wolfskehl-Preis in Höhe von etwa 50.000 US-Dollar. Dies ist viel weniger, als Wolfskehl ein Jahrhundert zuvor hinterlassen hatte, aber die Hyperinflation führte zu einer Reduzierung des Betrags.

Leider ging das mathematische Äquivalent des Nobelpreises, der Fields-Preis, einfach nicht an Wiles, da er an Mathematiker unter vierzig Jahren verliehen wird. Stattdessen erhielt er bei der Verleihung der Fields-Medaille eine besondere Silberplakette als Würdigung seiner wichtigen Leistung. Wiles hat außerdem den prestigeträchtigen Wolf-Preis, den King-Faisal-Preis und viele andere internationale Auszeichnungen gewonnen.

Meinungen der Kollegen

Die Reaktion eines der berühmtesten modernen russischen Mathematiker, des Akademiemitglieds V. I. Arnold, auf den Beweis ist „aktiv skeptisch“:

Das ist keine echte Mathematik – echte Mathematik ist geometrisch und hat enge Verbindungen zur Physik. Darüber hinaus kann das Fermatsche Problem selbst seiner Natur nach nicht zur Entwicklung der Mathematik führen, da es „binär“ ist, d. h. die Formulierung des Problems erfordert nur eine Antwort auf die „Ja oder Nein“-Frage.

Gleichzeitig stellte sich heraus, dass die mathematischen Arbeiten von V. I. Arnold selbst in den letzten Jahren weitgehend Variationen sehr ähnlicher zahlentheoretischer Themen gewidmet waren. Es ist möglich, dass Wiles paradoxerweise eine indirekte Ursache für diese Aktivität wurde.

Ein echter Traum

Als Andrew gefragt wird, wie er es geschafft hat, mehr als sieben Jahre lang in vier Wänden zu sitzen und eine Aufgabe zu erledigen, erzählt Wiles, wie er während seiner Arbeit davon geträumt hatEs wird die Zeit kommen, in der die Mathematikkurse an Universitäten und sogar an Schulen an seine Methode zum Beweis des Satzes angepasst werden. Er wollte, dass der Beweis von Fermats letztem Satz nicht nur zu einem mathematischen Modellproblem, sondern auch zu einem methodischen Modell für den Mathematikunterricht wird. Wiles stellte sich vor, dass es anhand ihres Beispiels möglich sein würde, alle Hauptzweige der Mathematik und Physik zu studieren.

4 Damen, ohne die es keinen Beweis gäbe

Andrew ist verheiratet und hat drei Töchter, von denen zwei „während des siebenjährigen Prozesses des ersten Entwurfs des Beweises“ geboren wurden.

Wiles selbst glaubt, dass er ohne seine Familie keinen Erfolg gehabt hätte.

In diesen Jahren wusste nur Nada, Andrews Frau, dass er allein den unzugänglichsten und berühmtesten Gipfel der Mathematik stürmte. Ihnen, Nadya, Claire, Kate und Olivia, ist Wiles‘ berühmter Abschlussartikel „Modulare elliptische Kurven und Fermats letzter Satz“ in der zentralen mathematischen Fachzeitschrift „Annals of Mathematics“ gewidmet, in der die wichtigsten mathematischen Werke veröffentlicht werden. Allerdings bestreitet Wiles selbst keineswegs, dass er ohne seine Familie keinen Erfolg gehabt hätte.

Im letzten 20. Jahrhundert ereignete sich ein Ereignis, das in seiner gesamten Geschichte in der Mathematik seinesgleichen sucht. Am 19. September 1994 wurde ein Satz bewiesen, den Pierre de Fermat (1601-1665) vor mehr als 350 Jahren im Jahr 1637 formuliert hatte. Er ist auch als „Letzter Satz von Fermat“ oder „Letzter Satz von Fermat“ bekannt, da es auch den sogenannten „Kleinen Satz von Fermat“ gibt. Den Beweis dafür lieferte der 41-jährige Professor Andrew Wiles von der Princeton University, der bis zu diesem Zeitpunkt in der mathematischen Gemeinschaft unauffällig und nach mathematischen Maßstäben nicht mehr jung war.

Es ist überraschend, dass nicht nur unsere einfachen russischen Einwohner, sondern auch viele an Naturwissenschaften interessierte Menschen, darunter sogar eine beträchtliche Anzahl von Wissenschaftlern in Russland, die auf die eine oder andere Weise Mathematik anwenden, nicht wirklich über dieses Ereignis Bescheid wissen. Dies zeigen die fortlaufenden „sensationellen“ Berichte über „elementare Beweise“ des Satzes von Fermat in russischen populären Zeitungen und im Fernsehen. Die neuesten Beweise waren mit einer solchen Informationskraft abgedeckt, als ob die Beweise von Wiles, die der maßgeblichsten Prüfung unterzogen worden waren und in der ganzen Welt weithin bekannt geworden waren, nicht existierten. Die Reaktion der russischen Mathematikergemeinschaft auf diese Nachricht auf der Titelseite im Zusammenhang mit einem vor langer Zeit erlangten strengen Beweis war überraschend schleppend. Unser Ziel ist es, die faszinierende und dramatische Geschichte von Wiles‘ Beweis im Kontext der bezaubernden Geschichte von Fermats großem Satz selbst zu skizzieren und ein wenig über seinen Beweis selbst zu sprechen. Hier interessiert uns vor allem die Frage nach der Möglichkeit einer verständlichen Darstellung des Wiles-Beweises, der natürlich den meisten Mathematikern auf der Welt bekannt ist, aber nur sehr, sehr wenige von ihnen können über das Verständnis dieses Beweises sprechen.

Erinnern wir uns also an den berühmten Satz von Fermat. Die meisten von uns haben seit der Schule auf die eine oder andere Weise davon gehört. Dieser Satz bezieht sich auf eine sehr wichtige Gleichung. Dies ist vielleicht die einfachste sinnvolle Gleichung, die mit drei Unbekannten und einem weiteren streng positiven ganzzahligen Parameter geschrieben werden kann. Hier ist es:

Der letzte Satz von Fermat besagt, dass es für Werte des Parameters (des Grades der Gleichung), die größer als zwei sind, keine ganzzahligen Lösungen für eine gegebene Gleichung gibt (außer natürlich die Lösung, wenn alle diese Variablen zum Zeitpunkt der Gleichung gleich Null sind). gleiche Zeit).

Die Anziehungskraft des Fermatschen Theorems für die breite Öffentlichkeit liegt auf der Hand: Es gibt keine andere mathematische Aussage, die eine so einfache Formulierung, eine so offensichtliche Zugänglichkeit des Beweises sowie eine solche Attraktivität ihres „Status“ in den Augen der Gesellschaft aufweist.

Vor Wiles war ein zusätzlicher Anreiz für die Fermatisten (wie Leute genannt wurden, die Fermats Problem wahnsinnig angriffen) der deutsche Wolfskehl-Preis für Beweise, der vor fast hundert Jahren ins Leben gerufen wurde, obwohl er im Vergleich zum Nobelpreis klein war – er konnte während des Ersten an Wert verlieren Weltkrieg.

Darüber hinaus hat die wahrscheinlich elementare Natur des Beweises schon immer Aufmerksamkeit erregt, da Fermat ihn selbst „bewiesen“ hat, indem er am Rande der Übersetzung von Diophantus‘ Arithmetik schrieb: „Ich habe einen wirklich wunderbaren Beweis dafür gefunden, aber die Ränder hier.“ sind zu eng, um es einzudämmen.“

Aus diesem Grund ist es hier angebracht, eine Einschätzung der Relevanz der Popularisierung von Wiles‘ Beweis des Fermat-Problems abzugeben, der dem berühmten amerikanischen Mathematiker R. Murty gehört (wir zitieren aus der bald erscheinenden Übersetzung des Buches von). Yu. Manin und A. Panchishkin „Einführung in die moderne Zahlentheorie“):

„Der letzte Satz von Fermat nimmt einen besonderen Platz in der Geschichte der Zivilisation ein. Mit seiner äußerlichen Einfachheit hat es seit jeher sowohl Amateure als auch Profis angezogen ... Alles sieht aus, als wäre es von einem höheren Geist erdacht worden, der im Laufe der Jahrhunderte verschiedene Gedankengänge entwickelt hat, um sie dann zu einer aufregenden Fusion wieder zu vereinen, um das Große zu lösen Fermats Theoreme. Niemand kann behaupten, ein Experte für alle Ideen zu sein, die in diesem „Wunder“-Beweis verwendet werden. In einer Zeit der universellen Spezialisierung, in der jeder von uns „immer mehr über immer weniger“ weiß, ist es absolut notwendig, einen Überblick über dieses Meisterwerk zu haben ...“

Beginnen wir mit einem kurzen historischen Ausflug, der hauptsächlich von Simon Singhs faszinierendem Buch „Fermats letzter Satz“ inspiriert ist. Um den heimtückischen Satz, der durch seine scheinbare Einfachheit verführt, brodeln seit jeher ernsthafte Leidenschaften. Die Geschichte seines Beweises ist voller Drama, Mystik und sogar direkter Opfer. Das vielleicht bekannteste Opfer ist Yutaka Taniyama (1927-1958). Es war dieser junge talentierte japanische Mathematiker, der sich durch große Extravaganz im Leben auszeichnete, der 1955 die Grundlage für Wiles‘ Angriff legte. Basierend auf seinen Ideen formulierten Goro Shimura und Andre Weil einige Jahre später (60-67) schließlich die berühmte Vermutung, nachdem sie einen wesentlichen Teil davon bewiesen hatten, erhielt Wiles den Satz von Fermat als Folgerung. Die Mystik der Todesgeschichte des nicht trivialen Yutaka hängt mit seinem stürmischen Temperament zusammen: Er erhängte sich im Alter von einunddreißig Jahren aus unglücklicher Liebe.

Die gesamte lange Geschichte des mysteriösen Theorems war von ständigen Ankündigungen über seinen Beweis begleitet, angefangen bei Fermat selbst. Ständige Fehler im endlosen Strom von Beweisen betrafen nicht nur Amateurmathematiker, sondern auch professionelle Mathematiker. Dies führte dazu, dass der Begriff „Fermatist“, der auf diejenigen angewendet wurde, die den Satz von Fermat bewiesen, zu einem gebräuchlichen Substantiv wurde. Die ständige Intrige um ihre Beweise führte manchmal zu lustigen Vorfällen. Als also eine Lücke in der ersten Version von Wiles‘ bereits weit verbreitetem Beweis entdeckt wurde, erschien an einer der New Yorker U-Bahn-Stationen eine böswillige Inschrift: „Ich habe einen wirklich wunderbaren Beweis von Fermats letztem Satz gefunden, aber mein Zug ist angekommen.“ und ich habe keine Zeit, es aufzuschreiben.“

Andrew Wiles, geboren 1953 in England, studierte Mathematik in Cambridge; In der Graduiertenschule studierte er bei Professor John Coates. Unter seiner Anleitung verstand Andrew die Theorie des japanischen Mathematikers Iwasawa, die an der Grenze zwischen klassischer Zahlentheorie und moderner algebraischer Geometrie angesiedelt ist. Diese Verschmelzung scheinbar weit entfernter mathematischer Disziplinen wird als arithmetische algebraische Geometrie bezeichnet. Andrew stellte Fermats Problem in Frage und stützte sich dabei genau auf diese synthetische Theorie, die selbst für viele professionelle Mathematiker schwierig war.

Nach Abschluss seines Studiums nahm Wiles eine Stelle an der Princeton University an, wo er noch immer arbeitet. Er ist verheiratet und hat drei Töchter, von denen zwei „während des siebenjährigen Prozesses der ersten Version des Beweises“ geboren wurden. In diesen Jahren wusste nur Nada, Andrews Frau, dass er allein den unzugänglichsten und berühmtesten Gipfel der Mathematik stürmte. Ihnen, Nadya, Claire, Kate und Olivia, ist Wiles‘ berühmter Abschlussartikel „Modulare elliptische Kurven und Fermats letzter Satz“ in der zentralen mathematischen Fachzeitschrift „Annals of Mathematics“ gewidmet, in der die wichtigsten mathematischen Werke veröffentlicht werden.

Die Ereignisse rund um den Beweis verliefen ziemlich dramatisch. Dieses spannende Szenario könnte man „Fermatist – Berufsmathematiker“ nennen.

Tatsächlich träumte Andrew seit seiner Jugend davon, den Satz von Fermat zu beweisen. Aber im Gegensatz zur überwältigenden Mehrheit der Fermatisten war ihm klar, dass es dafür notwendig war, ganze Schichten der komplexesten Mathematik zu beherrschen. Um seinem Ziel näher zu kommen, macht Andrew seinen Abschluss an der Fakultät für Mathematik der berühmten Universität Cambridge und beginnt sich auf die moderne Zahlentheorie zu spezialisieren, die an der Schnittstelle zur algebraischen Geometrie steht.

Die Idee, den leuchtenden Gipfel zu erstürmen, ist ganz einfach und grundlegend – die bestmögliche Munition und eine sorgfältige Erschließung der Route.

Als wirkungsvolles Werkzeug zur Zielerreichung wird die von Wiles selbst entwickelte und ihm bereits bekannte Iwasawa-Theorie gewählt, die tiefe historische Wurzeln hat. Diese Theorie verallgemeinerte Kummers Theorie, historisch gesehen die erste ernsthafte mathematische Theorie, die sich mit Fermats Problem befasste und bereits im 19. Jahrhundert erschien. Die Wurzeln von Kummers Theorie wiederum liegen in der berühmten Theorie der legendären und brillanten romantischen Revolutionärin Evariste Galois, die im Alter von einundzwanzig Jahren in einem Duell zur Verteidigung der Ehre eines Mädchens starb (achten Sie darauf, sich an die Geschichte mit Taniyama zu erinnern). , zur fatalen Rolle schöner Damen in der Geschichte der Mathematik).

Wiles ist völlig in Beweise vertieft und nimmt sogar nicht mehr an wissenschaftlichen Konferenzen teil. Und als Ergebnis eines siebenjährigen Rückzugs aus der mathematischen Gemeinschaft in Princeton beendete Andrew im Mai 1993 seinen Text – die Arbeit war erledigt.

Zu diesem Zeitpunkt bot sich eine hervorragende Gelegenheit, die wissenschaftliche Welt über seine Entdeckung zu informieren – bereits im Juni sollte in seiner Heimatstadt Cambridge eine Konferenz zu genau dem gewünschten Thema stattfinden. Drei Vorträge von Isaac Newton am Cambridge Institute begeistern nicht nur die mathematische Welt, sondern auch die breite Öffentlichkeit. Am Ende der dritten Vorlesung, am 23. Juni 1993, verkündet Wiles den Beweis von Fermats letztem Satz. Der Beweis ist voll von einer ganzen Reihe neuer Ideen, wie etwa einem neuen Ansatz zur Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung, einer weit fortgeschrittenen Theorie von Iwasawa, einer neuen „Deformationskontrolltheorie“ von Galois-Darstellungen. Die mathematische Gemeinschaft wartet sehnsüchtig darauf, dass der Text des Beweises von Experten der arithmetischen algebraischen Geometrie überprüft wird.

Hier kommt die dramatische Wende. Wiles selbst entdeckt bei der Kommunikation mit Gutachtern eine Lücke in seinen Beweisen. Der Riss wurde durch den von ihm selbst erfundenen „Deformationskontrollmechanismus“ verursacht – die tragende Struktur des Beweises.

Die Lücke wird ein paar Monate später durch Wiles' zeilenweise Erläuterung seines Beweises gegenüber dem Princeton-Fakultätskollegen Nick Katz aufgedeckt. Nick Katz, mit Andrew seit langem freundschaftlich verbunden, empfiehlt ihm die Zusammenarbeit mit dem jungen vielversprechenden englischen Mathematiker Richard Taylor.

Ein weiteres Jahr harter Arbeit vergeht, verbunden mit der Erforschung einer zusätzlichen Waffe zur Bekämpfung eines hartnäckigen Problems – der sogenannten Euler-Systeme, die in den 80er Jahren von unserem Landsmann Viktor Kolyvagin (der bereits lange an der University of New York arbeitet) unabhängig voneinander entdeckt wurden ) und Thain.

Und hier ist ein neuer Test. Das noch nicht abgeschlossene, aber dennoch sehr beeindruckende Ergebnis von Wiles‘ Arbeit stellte er Ende August 1994 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Zürich vor. Wiles kämpft hart. Augenzeugen zufolge schrieb er buchstäblich vor dem Bericht fieberhaft etwas anderes und versuchte, die Situation mit den „durchhängenden“ Beweisen maximal zu verbessern.

Nach diesem faszinierenden Publikum der weltweit führenden Mathematiker, dem Bericht von Wiles, „atmet die Mathematikergemeinschaft freudig aus“ und applaudiert mitfühlend: Es ist in Ordnung, Mann, egal was passiert, aber er hat die Wissenschaft vorangebracht und gezeigt, dass man es bei der Lösung einer solch unumstößlichen Hypothese kann erfolgreich voranzukommen, was noch niemandem zuvor gelungen ist. Ich habe nicht einmal darüber nachgedacht, es zu tun. Ein anderer Fermatist, Andrew Wiles, konnte den geheimen Traum vieler Mathematiker, den Satz von Fermat zu beweisen, nicht zerstören.

Man kann sich den damaligen Zustand von Wiles natürlich vorstellen. Selbst die Unterstützung und die freundliche Haltung seiner Kollegen konnten seinen Zustand der psychischen Verwüstung nicht ausgleichen.

Und so geschah es nur einen Monat später, als Wiles in der Einleitung zu seinem letzten Annals-Artikel mit dem endgültigen Beweis schreibt: „Ich beschloss, einen letzten Blick auf Eulersche Systeme zu werfen, um dieses Beweisargument wiederzubeleben.“ . Wiles hatte am 19. September 1994 einen Geistesblitz. An diesem Tag wurde die Beweislücke geschlossen.

Dann ging es rasant voran. Die bereits etablierte Zusammenarbeit mit Richard Taylor bei der Untersuchung der Eulerschen Systeme von Kolyvagin und Thain ermöglichte die Fertigstellung des Beweises in Form von zwei großen Arbeiten im Oktober.

Ihre Veröffentlichung, die die gesamte Ausgabe der Annals of Mathematics füllte, folgte im November 1994. All dies löste einen neuen gewaltigen Informationsschub aus. Die Geschichte von Wiles‘ Beweis stieß in den Vereinigten Staaten auf begeisterte Presse, es wurde ein Film gedreht und Bücher über den Autor eines fantastischen Durchbruchs in der Mathematik veröffentlicht. In einer Einschätzung seiner eigenen Arbeit stellte Wiles fest, dass er die Mathematik der Zukunft erfunden habe.

(Ich frage mich, ob dem so ist? Beachten wir nur, dass es bei all diesem Informationssturm einen scharfen Kontrast zu der nahezu Null-Informationsresonanz in Russland gab, die bis heute anhält.)

Stellen wir uns eine Frage: Was ist die „innere Küche“, um herausragende Ergebnisse zu erzielen? Schließlich ist es interessant zu wissen, wie ein Wissenschaftler seine Arbeit organisiert, worauf er sich dabei konzentriert und wie er die Prioritäten seiner Aktivitäten festlegt. Was kann man in diesem Sinne über Andrew Wiles sagen? Und unerwartet stellt sich heraus, dass Wiles im modernen Zeitalter aktiver wissenschaftlicher Kommunikation und eines kollektiven Arbeitsstils seine eigene Sicht auf den Stil der Arbeit an Superproblemen hatte.

Wiles erreichte sein fantastisches Ergebnis auf der Grundlage intensiver, kontinuierlicher und langjähriger individueller Arbeit. Die Organisation seiner Aktivitäten war in der Amtssprache äußerst unplanmäßiger Natur. Dabei handelt es sich grundsätzlich nicht um eine Tätigkeit im Rahmen einer konkreten Förderung, für die eine regelmäßige Berichterstattung und wiederum eine zeitliche Planung erforderlich ist, um bis zu einem bestimmten Datum bestimmte Ergebnisse zu erzielen.

Eine solche Aktivität außerhalb der Gesellschaft, die selbst auf Konferenzen keine direkte wissenschaftliche Kommunikation mit Kollegen beinhaltete, schien allen Kanons der Arbeit eines modernen Wissenschaftlers zu widersprechen.

Doch erst die individuelle Arbeit ermöglichte es, über die bereits etablierten Standardkonzepte und -methoden hinauszugehen. Dieser formal geschlossene und zugleich im Wesentlichen freie Arbeitsstil ermöglichte es, neue wirkungsvolle Methoden zu erfinden und Ergebnisse auf einem neuen Niveau zu erzielen.

Das Problem, vor dem Wiles stand (die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung), gehörte nicht einmal zu den nächstgelegenen Gipfeln, die die moderne Mathematik in jenen Jahren bezwingen konnte. Gleichzeitig bestritt keiner der Spezialisten ihre enorme Bedeutung, und nominell gehörte sie zum „Mainstream“ der modernen Mathematik.

Somit waren die Aktivitäten von Wiles eindeutig nicht-systemischer Natur und das Ergebnis wurde dank starker Motivation, Talent, kreativer Freiheit, Willen, mehr als günstigen materiellen Bedingungen für die Arbeit in Princeton und vor allem des gegenseitigen Verständnisses in der Familie erreicht.

Wiles' Beweis, der wie ein Blitz aus heiterem Himmel erschien, wurde zu einer Art Test für die internationale Mathematikergemeinschaft. Die Reaktion selbst des fortschrittlichsten Teils dieser gesamten Gemeinschaft erwies sich seltsamerweise als recht neutral. Nachdem die Emotionen und die Freude des ersten Mals nach dem Erscheinen der bahnbrechenden Beweise nachgelassen hatten, setzten alle ruhig ihre Geschäfte fort. Spezialisten für arithmetische algebraische Geometrie studierten langsam den „mächtigen Beweis“ in ihrem engen Kreis, während der Rest ihre mathematischen Wege pflügte und nach wie vor immer weiter voneinander abwich.

Versuchen wir, diese Situation zu verstehen, die sowohl objektive als auch subjektive Gründe hat. Objektive Faktoren der Nichtwahrnehmung haben seltsamerweise ihre Wurzeln in der Organisationsstruktur moderner wissenschaftlicher Tätigkeit. Diese Aktivität ist wie eine Eisbahn, die eine abschüssige Straße hinunterfährt und über eine enorme Trägheit verfügt: eine eigene Schule, eigene festgelegte Prioritäten, eigene Finanzierungsquellen usw. Das alles ist aus Sicht eines etablierten Berichtswesens an den Fördergeber gut, macht es aber schwer, den Kopf zu heben und sich umzuschauen: Was ist eigentlich wichtig und relevant für Wissenschaft und Gesellschaft und nicht für den nächsten Teil einen Grant?

Andererseits möchten Sie auch nicht aus Ihrem gemütlichen Loch herauskommen, in dem alles so vertraut ist, und in ein anderes, völlig unbekanntes Loch klettern. Es ist nicht bekannt, was uns dort erwartet. Darüber hinaus ist es offensichtlich klar, dass sie kein Geld für Einbrüche geben.

Es ist ganz natürlich, dass keine der bürokratischen Strukturen, die die Wissenschaft in verschiedenen Ländern, einschließlich Russland, organisieren, Schlussfolgerungen nicht nur aus dem Phänomen des Beweises von Andrew Wiles, sondern auch aus dem ähnlichen Phänomen des aufsehenerregenden Beweises einer anderen, ebenfalls berühmten Mathematik durch Grigory Perelman gezogen hat Problem.

Die subjektiven Faktoren der Neutralität der Reaktion der mathematischen Welt auf das „Jahrtausendereignis“ liegen in ganz prosaischen Gründen. Der Beweis ist in der Tat außerordentlich komplex und langwierig. Für einen Laien auf dem Gebiet der arithmetischen algebraischen Geometrie scheint es aus einer Überlagerung von Terminologie und Konstruktionen der abstraktesten mathematischen Disziplinen zu bestehen. Es scheint, dass sich der Autor keineswegs das Ziel gesetzt hat, dass er von möglichst vielen interessierten Mathematikern verstanden wird.

Diese methodische Komplexität ist leider ein unvermeidlicher Kostenfaktor für die großen Beweise der jüngsten Zeit (zum Beispiel wird die Analyse von Grigory Perelmans jüngstem Beweis der Poincaré-Vermutung bis heute fortgesetzt).

Die Komplexität der Wahrnehmung wird noch dadurch erhöht, dass die arithmetische algebraische Geometrie ein sehr exotisches Teilgebiet der Mathematik ist, das selbst professionellen Mathematikern Schwierigkeiten bereitet. Die Angelegenheit wurde auch durch die außergewöhnliche synthetische Natur von Wiles‘ Beweis verschärft, der eine Vielzahl moderner Werkzeuge nutzte, die in den letzten Jahren von einer großen Anzahl von Mathematikern entwickelt wurden.

Wir müssen jedoch berücksichtigen, dass Wiles nicht vor der methodischen Aufgabe der Erklärung stand – er konstruierte eine neue Methode. Was bei der Methode funktionierte, war genau die Synthese von Wiles‘ eigenen brillanten Ideen und einem Konglomerat neuester Ergebnisse aus verschiedenen mathematischen Richtungen. Und es war genau eine so mächtige Struktur, die das unüberwindliche Problem in den Griff bekam. Der Beweis war kein Zufall. Die Tatsache seiner Kristallisation entsprach voll und ganz sowohl der Logik der Entwicklung der Wissenschaft als auch der Logik des Wissens. Die Aufgabe, einen solchen Superbeweis zu erklären, scheint ein völlig eigenständiges, sehr schwieriges, wenn auch vielversprechendes Problem zu sein.

Sie können die öffentliche Meinung selbst testen. Versuchen Sie, Mathematikern, die Sie kennen, Fragen zu Wiles' Beweis zu stellen: Wer hat es verstanden? Wer hat zumindest die Grundgedanken verstanden? Wer wollte es verstehen? Wer hatte das Gefühl, dass dies neue Mathematik sei? Die Antworten auf diese Fragen wirken rhetorisch. Und es ist unwahrscheinlich, dass Sie viele Menschen treffen, die die Palisade spezieller Begriffe durchbrechen und neue Konzepte und Methoden beherrschen möchten, um nur eine sehr exotische Gleichung zu lösen. Und warum ist es notwendig, das alles für diese spezielle Aufgabe zu studieren?!

Lassen Sie mich Ihnen ein lustiges Beispiel geben. Vor ein paar Jahren fragte der Autor den berühmten französischen Mathematiker und Fields-Preisträger Pierre Deligne, einen führenden Spezialisten für algebraische Geometrie und Zahlentheorie, nach der Bedeutung eines der Schlüsselobjekte von Wiles' Beweis – dem sogenannten „ Ring der Verformungen“ – sagte nach einer halben Stunde Nachdenken, dass er die Bedeutung dieses Objekts nicht vollständig verstanden habe. Zu diesem Zeitpunkt sind seit dem Beweis bereits zehn Jahre vergangen.

Jetzt können wir die Reaktion russischer Mathematiker reproduzieren. Die Hauptreaktion ist sein fast vollständiges Fehlen. Dies liegt vor allem an der „schweren“ und „ungewöhnlichen“ Mathematik von Wiles.

Beispielsweise findet man in der klassischen Zahlentheorie keine so langen Beweise wie den von Wiles. Wie Zahlentheoretiker sagen: „Ein Beweis sollte eine Seite lang sein“ (Wiles‘ Beweis in Zusammenarbeit mit Taylor in der Zeitschriftenversion umfasst 120 Seiten).

Sie können auch den Faktor der Angst vor der Unprofessionalität Ihrer Einschätzung nicht ausschließen: Indem Sie reagieren, übernehmen Sie die Verantwortung für die Bewertung der Beweise. Wie geht das, wenn man diese Mathematik nicht kennt?

Bezeichnend ist die Position direkter Spezialisten der Zahlentheorie: „... und Ehrfurcht und brennendes Interesse und Vorsicht angesichts eines der größten Geheimnisse in der Geschichte der Mathematik“ (aus dem Vorwort zum Buch von Paulo Ribenboim „Fermats letzter Satz für Amateure“ – der einzige heute verfügbare Satz direkt aus Wiles‘ Beweis für den allgemeinen Leser.

Die Reaktion eines der berühmtesten modernen russischen Mathematiker, des Akademiemitglieds V.I. Arnold steht dem Beweis „aktiv skeptisch“ gegenüber: Dies sei keine echte Mathematik – echte Mathematik sei geometrisch und habe enge Verbindungen zur Physik. Darüber hinaus kann das Fermatsche Problem selbst seiner Natur nach nicht zur Entwicklung der Mathematik führen, da es „binär“ ist, d. h. die Formulierung des Problems erfordert nur eine Antwort auf die „Ja oder Nein“-Frage. Gleichzeitig sind die mathematischen Arbeiten von V.I. selbst in den letzten Jahren entstanden. Es stellte sich heraus, dass Arnolds Werke größtenteils Variationen sehr ähnlicher zahlentheoretischer Themen gewidmet waren. Es ist möglich, dass Wiles paradoxerweise eine indirekte Ursache für diese Aktivität wurde.

An der Fakultät für Mechanik und Mathematik der Moskauer Staatlichen Universität tauchen jedoch Beweisbegeisterte auf. Ein bemerkenswerter Mathematiker und populärer Wissenschaftler Yu.P. Solowjew (der uns vorzeitig verlassen hat) beginnt mit der Übersetzung von E. Knapps Buch über elliptische Kurven mit dem notwendigen Material zur Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung. Alexey Panchishkin, der jetzt in Frankreich arbeitet, hielt 2001 Vorlesungen an der Fakultät für Mechanik und Mathematik, die als Grundlage für seinen entsprechenden Teil bei Yu.I. dienten. Manin des oben erwähnten hervorragenden Buches über moderne Zahlentheorie (veröffentlicht in russischer Übersetzung von Sergei Gorchinsky mit Bearbeitung von Alexei Parshin im Jahr 2007).

Es ist etwas überraschend, dass Wiles‘ Beweis am Moskauer Steklow-Mathematischen Institut – dem Zentrum der russischen Mathematikwelt – nicht in Seminaren diskutiert, sondern nur von einzelnen Fachexperten untersucht wurde. Darüber hinaus wurde der Beweis der bereits vollständigen Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung nicht verstanden (Wiles bewies nur einen Teil, der ausreichte, um den Satz von Fermat zu beweisen). Dieser Beweis wurde im Jahr 2000 von einem ganzen Team ausländischer Mathematiker erbracht, darunter Richard Taylor, Wiles‘ Co-Autor in der Endphase des Beweises des Satzes von Fermat.

Es gab auch keine öffentlichen Äußerungen und schon gar keine Diskussionen berühmter russischer Mathematiker zu Wiles‘ Beweis. Es gibt eine ziemlich scharfe Diskussion zwischen dem Russen V. Arnold („ein Skeptiker der Beweismethode“) und dem Amerikaner S. Lang („ein Enthusiast der Beweismethode“), jedoch gehen Spuren davon im Westen verloren Veröffentlichungen. In der russischen zentralen mathematischen Presse gab es seit der Veröffentlichung von Wiles‘ Beweis keine Veröffentlichungen zum Thema des Beweises. Die vielleicht einzige Veröffentlichung zu diesem Thema war eine Übersetzung eines Artikels des kanadischen Mathematikers Henry Darmon, sogar eine unvollständige Version des Beweises, in Advances in Mathematical Sciences aus dem Jahr 1995 (komisch, dass der vollständige Beweis bereits veröffentlicht wurde).

Vor diesem „schläfrigen“ mathematischen Hintergrund nahmen einige unerschrockene theoretische Physiker ihn trotz der äußerst abstrakten Natur von Wiles‘ Beweis in ihr potenzielles Interessengebiet auf und begannen, ihn zu studieren, in der Hoffnung, früher oder später Anwendungen von Wiles‘ Mathematik zu finden. Das kann nur freuen, schon allein deshalb, weil sich diese Mathematik all die Jahre praktisch in Selbstisolation befand.

Dennoch blieb und bleibt das Problem der Beweisadaption, die das Anwendungspotenzial extrem erschwert, sehr relevant. Bisher wurde der ursprüngliche hochspezialisierte Text von Wiles‘ Artikel und der gemeinsamen Arbeit von Wiles und Taylor bereits adaptiert, allerdings nur für einen relativ engen Kreis professioneller Mathematiker. Dies geschah in dem erwähnten Buch von Yu. Manin und A. Panchishkin. Es gelang ihnen erfolgreich, eine gewisse Künstlichkeit des Originalbeweises auszugleichen. Darüber hinaus hat der amerikanische Mathematiker Serge Lang, ein leidenschaftlicher Befürworter des Wiles-Beweises (der leider im September 2005 verstarb), einige der wichtigsten Konstruktionen des Beweises in die dritte Auflage seines mittlerweile klassischen Universitätslehrbuchs Algebra aufgenommen.

Als Beispiel für die Künstlichkeit des ursprünglichen Beweises stellen wir fest, dass eines der besonders auffälligen Merkmale, die diesen Eindruck hervorrufen, die besondere Rolle einzelner Primzahlen wie 2, 3, 5, 11, 17 sowie einzelner natürlicher Zahlen ist wie 15, 30 und 60. Unter anderem ist es ziemlich offensichtlich, dass der Beweis nicht geometrisch im gewöhnlichsten Sinne ist. Es enthält keine natürlichen geometrischen Bilder, die man zum besseren Verständnis des Textes anhängen könnte. Supermächtige „terminologisierte“ abstrakte Algebra und „fortgeschrittene“ Zahlentheorie untergraben rein psychologisch die Fähigkeit, Beweise selbst für einen qualifizierten mathematischen Leser wahrzunehmen.

Man kann sich nur wundern, warum in einer solchen Situation Beweisexperten, darunter auch Wiles selbst, es nicht „aufpolieren“, einen offensichtlichen „mathematischen Hit“ nicht selbst in ihrer einheimischen mathematischen Gemeinschaft fördern und populär machen.

Kurz gesagt, heute ist die Tatsache des Beweises von Wiles einfach die Tatsache des Beweises des Satzes von Fermat mit dem Status des ersten korrekten Beweises und der darin verwendeten „irgendeinen übermächtigen Mathematik“.

Der berühmte russische Mathematiker der Mitte des letzten Jahrhunderts, ehemaliger Dekan der Fakultät für Mechanik und Mathematik, V.V., sprach sehr deutlich über die mächtige, aber noch nicht angewandte Mathematik. Golubev:

„... nach der witzigen Bemerkung von F. Klein ähneln viele Fakultäten der Mathematik den Ausstellungen der neuesten Waffenmodelle, die es in Waffenherstellern gibt; Bei allem Witz der Erfinder kommt es oft vor, dass sich diese neuen Produkte bei Ausbruch eines echten Krieges aus dem einen oder anderen Grund als unbrauchbar erweisen ... Der moderne Mathematikunterricht bietet genau das gleiche Bild; Den Studierenden werden sehr fortschrittliche und leistungsstarke Mittel der mathematischen Forschung in die Hand gegeben..., aber dann können die Studierenden keine Vorstellung davon ertragen, wo und wie diese leistungsstarken und genialen Methoden zur Lösung der Hauptaufgabe aller Wissenschaften angewendet werden können: dem Verstehen Die Welt um uns herum und ihre Beeinflussung ist der schöpferische Wille des Menschen. Zu einer Zeit A.P. Tschechow sagte, wenn im ersten Akt eines Stücks eine Waffe auf der Bühne hängt, dann sei es notwendig, dass sie zumindest im dritten Akt abgefeuert wird. Diese Bemerkung trifft voll und ganz auf den Mathematikunterricht zu: Wenn den Studierenden eine Theorie präsentiert wird, muss früher oder später gezeigt werden, welche Anwendungen diese Theorie vor allem im Bereich der Mechanik, Physik oder Technik und in anderen Bereichen haben kann Bereiche."

Wenn wir diese Analogie fortsetzen, können wir sagen, dass der Beweis von Wiles äußerst günstiges Material für das Studium eines riesigen Teils der modernen Grundlagenmathematik darstellt. Hier kann den Studierenden gezeigt werden, wie eng das Problem der klassischen Zahlentheorie mit Zweigen der reinen Mathematik wie der modernen algebraischen Zahlentheorie, der modernen Galois-Theorie, der p-adischen Mathematik, der arithmetischen algebraischen Geometrie sowie der kommutativen und nichtkommutativen Algebra zusammenhängt.

Es wäre fair, wenn Wiles‘ Vertrauen in die von ihm erfundene Mathematik – Mathematik auf einem neuen Niveau – bestätigt würde. Und ich möchte wirklich nicht, dass diese wirklich sehr schöne und synthetische Mathematik das Schicksal einer „unabgefeuerten Waffe“ erleidet.

Und doch stellen wir uns nun die Frage: Ist es möglich, Wiles‘ Beweis in hinreichend zugänglichen Worten für ein breites interessiertes Publikum zu beschreiben?

Aus Sicht von Experten ist das eine absolute Utopie. Aber versuchen wir es trotzdem, geleitet von der einfachen Überlegung, dass der Satz von Fermat nur eine Aussage über ganzzahlige Punkte unseres gewöhnlichen dreidimensionalen euklidischen Raums ist.

Wir werden nacheinander Punkte mit ganzzahligen Koordinaten in die Fermat-Gleichung einsetzen.

Wiles findet den optimalen Mechanismus, um ganzzahlige Punkte neu zu berechnen und zu testen, ob sie die Gleichung des Satzes von Fermat erfüllen (nach Einführung der notwendigen Definitionen wird eine solche Neuberechnung genau der sogenannten „Modularitätseigenschaft elliptischer Kurven über dem Feld der rationalen Zahlen“ entsprechen). , beschrieben durch die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung).

Der Neuberechnungsmechanismus wird mithilfe einer bemerkenswerten Entdeckung des deutschen Mathematikers Gerhard Frey optimiert, der eine mögliche Lösung der Fermat-Gleichung mit einem beliebigen Exponenten mit einer anderen, völlig anderen Gleichung verknüpfte. Diese neue Gleichung wird durch eine spezielle Kurve (die sogenannte Freysche elliptische Kurve) gegeben. Diese Frey-Kurve wird durch eine sehr einfache Gleichung gegeben:

Das Überraschende an Freys Idee war der Übergang von der zahlentheoretischen Natur des Problems zu seinem „verborgenen“ geometrischen Aspekt. Nämlich: Frey assoziiert mit jeder Lösung der Fermatschen Gleichung, also mit Zahlen, die die Beziehung erfüllen

die obige Kurve. Nun muss noch gezeigt werden, dass solche Kurven für nicht existieren. In diesem Fall würde Fermats letzter Satz folgen. Genau diese Strategie wählte Wiles 1986, als er seinen bezaubernden Angriff begann.

Freys Erfindung war zum Zeitpunkt von Wiles‘ „Anfang“ noch recht neu (im Jahr 1985) und spiegelte auch den relativ neuen Ansatz des französischen Mathematikers Helleguarche (in den 1970er Jahren) wider, der vorschlug, elliptische Kurven zu verwenden, um Lösungen für diophantische Gleichungen zu finden, d. h. Gleichungen ähnlich der Fermat-Gleichung.

Versuchen wir nun, die Frey-Kurve aus einem anderen Blickwinkel zu betrachten, nämlich als Werkzeug zur Neuberechnung ganzzahliger Punkte im euklidischen Raum. Mit anderen Worten: Unsere Frey-Kurve wird die Rolle einer Formel spielen, die den Algorithmus für eine solche Neuberechnung bestimmt.

In diesem Zusammenhang können wir sagen, dass Wiles Werkzeuge (spezielle algebraische Konstruktionen) erfindet, um diese Neuberechnung zu steuern. Tatsächlich bildet dieser subtile Werkzeugkasten von Wiles den zentralen Kern und die Hauptkomplexität des Beweises. Bei der Herstellung dieser Instrumente entstehen Wiles' wichtigste anspruchsvolle algebraische Entdeckungen, die so schwer zu verstehen sind.

Der vielleicht unerwartetste Effekt des Beweises ist jedoch, dass es ausreicht, nur eine „Freeviasche“ Kurve zu verwenden, die durch eine völlig einfache, fast „schulische“ Abhängigkeit dargestellt wird. Überraschenderweise reicht die Verwendung nur einer solchen Kurve aus, um alle Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum mit ganzzahligen Koordinaten zu testen und festzustellen, ob sie Fermats letzten Satz mit einem beliebigen Exponenten erfüllen.

Mit anderen Worten: Die Verwendung nur einer Kurve (obwohl sie eine bestimmte Form hat), die für einen gewöhnlichen Oberstufenschüler verständlich ist, erweist sich als gleichbedeutend mit der Konstruktion eines Algorithmus (Programms) zur sequentiellen Neuberechnung ganzer Punkte des gewöhnlichen dreidimensionalen Raums. Und nicht nur eine Neuberechnung, sondern eine Neuberechnung mit gleichzeitiger Prüfung des Gesamtpunktes auf „seine Zufriedenheit“ mit der Fermatschen Gleichung.

Hier entsteht das Phantom von Pierre de Fermat selbst, denn mit einer solchen Neuberechnung erwacht das, was üblicherweise Fermats „Ferma’t-Abstieg“ oder Reduktion (oder „Methode des unendlichen Abstiegs“) genannt wird, zum Leben.

In diesem Zusammenhang wird sofort klar, warum Fermat selbst seinen Satz aus objektiven Gründen nicht beweisen konnte, obwohl er die geometrische Idee seines Beweises durchaus „sehen“ konnte.

Tatsache ist, dass die Neuberechnung unter der Kontrolle mathematischer Werkzeuge erfolgt, die nicht nur in der fernen Vergangenheit keine Entsprechungen hatten, sondern auch in der modernen Mathematik vor Wiles unbekannt waren.

Das Wichtigste dabei ist, dass diese Tools „minimal“ sind, d. h. Sie können nicht vereinfacht werden. Obwohl dieser „Minimalismus“ an sich schon sehr schwierig ist. Und es war Wiles‘ Bewusstsein dieser nicht trivialen „Minimalität“, die zum entscheidenden letzten Schritt des Beweises wurde. Genau das war der „Ausbruch“ am 19. September 1994.

Ein Problem, das für Unzufriedenheit sorgt, bleibt hier bestehen – Wiles beschreibt diese Minimalkonstruktion nicht explizit. Daher haben diejenigen, die sich für Fermats Problem interessieren, noch interessante Arbeit vor sich – eine klare Interpretation dieser „Minimalität“ ist notwendig.

Möglicherweise sollte hier die Geometrie des „algebraisierten“ Beweises verborgen bleiben. Möglicherweise spürte Fermat selbst genau diese Geometrie, als er am schmalen Rand seiner Abhandlung den berühmten Eintrag machte: „Ich habe einen wirklich bemerkenswerten Beweis gefunden …“.

Kommen wir nun direkt zum virtuellen Experiment und versuchen, in die Gedanken des Mathematikers und Anwalts Pierre de Fermat einzutauchen.

Das geometrische Bild von Fermats sogenanntem kleinen Satz kann als Kreis dargestellt werden, der „ohne zu gleiten“ entlang einer geraden Linie rollt und ganze Punkte um sich selbst „wickelt“. Die Gleichung des kleinen Satzes von Fermat erhält in dieser Interpretation auch eine physikalische Bedeutung – die Bedeutung des Gesetzes der Erhaltung einer solchen Bewegung in eindimensionaler diskreter Zeit.

Sie können versuchen, diese geometrischen und physikalischen Bilder auf die Situation zu übertragen, in der die Dimension des Problems (die Anzahl der Variablen in der Gleichung) zunimmt und die Gleichung des kleinen Satzes von Fermat in die Gleichung des großen Satzes von Fermat übergeht. Nämlich: Nehmen wir an, dass die Geometrie des letzten Satzes von Fermat durch eine Kugel dargestellt wird, die entlang einer Ebene rollt und ganze Punkte auf dieser Ebene um sich selbst „wickelt“. Wichtig ist, dass dieses Rollen nicht willkürlich, sondern „periodisch“ ist (Mathematiker sagen auch „zyklotomisch“). Die Periodizität des Rollens bedeutet, dass sich die linearen und Winkelgeschwindigkeitsvektoren einer Kugel, die im allgemeinsten Sinne nach einer bestimmten festen Zeit (Periode) rollt, in Betrag und Richtung wiederholen. Diese Periodizität ähnelt der Periodizität der linearen Geschwindigkeit beim Rollen eines Kreises entlang einer geraden Linie und modelliert die „kleine“ Fermat-Gleichung.

Dementsprechend erhält die „große“ Fermat-Gleichung bereits in der zweidimensionalen diskreten Zeit die Bedeutung des Erhaltungssatzes der oben genannten Bewegung der Kugel. Nehmen wir nun die Diagonale dieser zweidimensionalen Zeit (in diesem Schritt liegt die ganze Schwierigkeit!). Dies ist äußerst knifflig und stellt sich als die einzige Diagonale heraus, die die Gleichung des letzten Satzes von Fermat darstellt, wenn der Exponent der Gleichung genau zwei ist.

Es ist wichtig zu beachten, dass in einer eindimensionalen Situation – der Situation des kleinen Satzes von Fermat – keine Notwendigkeit besteht, eine solche Diagonale zu finden, da die Zeit eindimensional ist und es keinen Grund gibt, eine Diagonale zu nehmen. Daher kann der Grad einer Variablen in der Gleichung des kleinen Satzes von Fermat willkürlich sein.

Ganz unerwartet gelingt uns also eine Brücke zur „Physikalisierung“ des großen Satzes von Fermat, d. h. zum Erscheinen seiner physikalischen Bedeutung. Wie kann man sich nicht daran erinnern, dass Fermat kein Unbekannter in der Physik war?

Die Erfahrung der Physik zeigt übrigens auch, dass die Erhaltungssätze mechanischer Systeme der oben genannten Art quadratisch in den physikalischen Variablen des Problems sind. Und schließlich stimmt das alles durchaus mit der aus der Schule bekannten quadratischen Struktur der Energieerhaltungssätze der Newtonschen Mechanik überein.

Aus der Sicht der obigen „physikalischen“ Interpretation des letzten Satzes von Fermat entspricht die Eigenschaft der „Minimalität“ der Minimalität des Grades des Erhaltungssatzes (dieser ist zwei). Und die Reduktion von Fermat und Wiles entspricht der Reduktion der Erhaltungssätze der Neuberechnung von Punkten auf das Gesetz der einfachsten Form. Diese einfachste (in der Komplexität minimale) Neuberechnung, sowohl geometrisch als auch algebraisch, wird durch das Rollen einer Kugel auf einer Ebene dargestellt, da eine Kugel und eine Ebene nach unserem vollständigen Verständnis „minimale“ zweidimensionale geometrische Objekte sind.

Die ganze Komplexität, die auf den ersten Blick fehlt, liegt darin, dass eine genaue Beschreibung einer solch scheinbar „einfachen“ Bewegung der Kugel gar nicht so einfach ist. Tatsache ist, dass das „periodische“ Rollen der Kugel eine Reihe sogenannter „verborgener“ Symmetrien unseres dreidimensionalen Raums „absorbiert“. Diese verborgenen Symmetrien werden durch nicht triviale Kombinationen (Kompositionen) der linearen und Winkelbewegung der Kugel verursacht – siehe Abb. 1.

Für die genaue Beschreibung dieser verborgenen Symmetrien, die durch ein solch kniffliges Rollen der Kugel geometrisch kodiert werden (Punkte mit ganzzahligen Koordinaten „sitzen“ an den Knoten des gezeichneten Gitters), sind die algebraischen Konstruktionen von Wiles erforderlich.

In der in Abb. 1 gezeigten geometrischen Interpretation „zählt“ die lineare Bewegung des Kugelmittelpunkts ganze Punkte auf der Ebene, und ihre Winkel- (oder Rotations-)Bewegung liefert die räumliche (oder vertikale) Komponente der Neuberechnung. Die Rotationsbewegung der Kugel lässt sich nicht unmittelbar am willkürlichen Rollen der Kugel entlang der Ebene „erkennen“. Es ist die Rotationsbewegung, die den oben erwähnten verborgenen Symmetrien des euklidischen Raums entspricht.

Die oben vorgestellte Frey-Kurve „kodiert“ präzise die ästhetisch schönste Neuberechnung ganzer Punkte im Raum, die an die Bewegung entlang einer Wendeltreppe erinnert. Wenn Sie tatsächlich der Kurve folgen, die ein bestimmter Punkt auf der Kugel in einer Periode durchläuft, werden Sie feststellen, dass unser markierter Punkt die in Abb. 2, ähnelt einer „doppelten räumlichen Sinuskurve“ – einem räumlichen Analogon des Graphen. Diese schöne Kurve kann als Darstellung des „Minimums“ der (d. h.) Frey-Kurve interpretiert werden. Dies ist der Zeitplan unserer Test-Neuberechnung.

Nachdem wir einige assoziative Wahrnehmungen dieses Bildes verbunden haben, werden wir zu unserer Überraschung feststellen, dass die von unserer Kurve begrenzte Oberfläche der Oberfläche des DNA-Moleküls – dem „Eckstein“ der Biologie – auffallend ähnlich ist! Es ist vielleicht kein Zufall, dass die Terminologie für DNA-kodierende Konstrukte aus Wiles' Beweis in Singhs Buch Fermat's Last Theorem verwendet wird.

Lassen Sie uns noch einmal betonen, dass der entscheidende Punkt unserer Interpretation die Tatsache ist, dass sich das Analogon des Erhaltungssatzes für den kleinen Satz von Fermat (sein Grad kann beliebig groß sein) genau im Fall als die Gleichung des großen Satzes von Fermat erweist. Es ist dieser Effekt der „Minimalität des Grades des Erhaltungssatzes für das Rollen einer Kugel auf einer Ebene“, der der Aussage von Fermats letztem Satz entspricht.

Es ist durchaus möglich, dass Fermat selbst diese geometrischen und physikalischen Bilder sah oder fühlte, sich aber nicht vorstellen konnte, dass sie mathematisch so schwer zu beschreiben waren. Darüber hinaus konnte er sich nicht vorstellen, dass zur Beschreibung einer solchen zwar nicht trivialen, aber dennoch recht transparenten Geometrie weitere dreihundertfünfzig Jahre Arbeit der mathematischen Gemeinschaft erforderlich sein würden.

Schlagen wir nun eine Brücke zur modernen Physik. Das hier vorgeschlagene geometrische Bild von Wiles‘ Beweis kommt der Geometrie der modernen Physik sehr nahe, die versucht, dem Geheimnis der Natur der Schwerkraft auf den Grund zu gehen – der allgemeinen Quantenrelativitätstheorie. Um diese auf den ersten Blick unerwartete Wechselwirkung zwischen Fermats letztem Satz und der Großen Physik zu bestätigen, stellen wir uns vor, dass die rollende Kugel massiv ist und die Ebene darunter „drückt“. Die Interpretation dieses „Schiebens“ in Abb. 3 erinnert auffallend an die bekannte geometrische Interpretation von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie, die genau die „Geometrie der Schwerkraft“ beschreibt.

Und wenn wir auch die gegenwärtige Diskretisierung unseres Bildes berücksichtigen, die durch ein diskretes ganzzahliges Gitter auf einer Ebene verkörpert wird, dann beobachten wir tatsächlich die „Quantengravitation“ mit eigenen Augen!

Mit dieser wichtigen „vereinenden“ physikalisch-mathematischen Note werden wir unseren „Kavallerie“-Versuch beenden, eine visuelle Interpretation von Wiles‘ „superabstraktem“ Beweis zu geben.

Nun sollte vielleicht betont werden, dass der korrekte Beweis des Satzes von Fermat in jedem Fall auf die eine oder andere Weise die Konstruktionen und die Logik des Beweises von Wiles verwenden muss. Aufgrund der erwähnten „Minimalitätseigenschaft“ der für den Beweis verwendeten mathematischen Werkzeuge von Wiles ist es einfach unmöglich, all dies zu umgehen. In unserer „geometrisch-dynamischen“ Interpretation dieses Beweises liefert diese „Minimalitätseigenschaft“ die „mindestens notwendigen Bedingungen“ für eine korrekte (d. h. „konvergente“) Konstruktion eines Testalgorithmus.

Einerseits ist dies eine große Enttäuschung für Hobbylandwirte (sofern sie es natürlich erfahren; wie sie sagen: „Je weniger man weiß, desto besser schläft man“). Andererseits erleichtert die natürliche „Unvereinfachung“ von Wiles‘ Beweis formal das Leben professioneller Mathematiker – sie lesen unter Umständen nicht regelmäßig aufkommende „elementare“ Beweise aus der Amateurmathematik und führen die mangelnde Übereinstimmung mit Wiles‘ Beweis an.

Die allgemeine Schlussfolgerung ist, dass beide diesen „wilden“ Beweis „anstrengen“ und verstehen müssen und im Wesentlichen „die gesamte Mathematik“ verstehen müssen.

Was darf man sonst noch nicht verpassen, wenn man diese einzigartige Geschichte zusammenfasst, die wir erlebt haben? Die Stärke von Wiles‘ Beweis liegt darin, dass es sich nicht einfach um ein formal-logisches Argument handelt, sondern eine umfassende und wirkungsvolle Methode darstellt. Bei dieser Kreation handelt es sich nicht um ein separates Werkzeug zum Nachweis eines einzelnen Ergebnisses, sondern um einen hervorragenden Satz sorgfältig ausgewählter Werkzeuge, mit denen Sie eine Vielzahl von Problemen „aufteilen“ können. Es ist auch von grundlegender Bedeutung, dass wir, wenn wir aus der Höhe des Wolkenkratzers auf Wiles‘ Beweis herabblicken, die gesamte vorherige Mathematik sehen werden. Das Pathos ist, dass es kein „Patchwork“, sondern eine Panoramavision sein wird. All dies spricht nicht nur für die wissenschaftliche, sondern auch für die methodische Kontinuität dieses wahrhaft magischen Beweises. Es bleibt nur „einfach nichts“ – einfach verstehen und anwenden lernen.

Ich frage mich, was unser zeitgenössischer Held Wiles heute macht? Es gibt keine besonderen Neuigkeiten über Andrew. Natürlich erhielt er verschiedene Auszeichnungen und Preise, darunter den berühmten deutschen Wolfskehl-Preis, der während des ersten Bürgerkriegs entwertet wurde. In der ganzen Zeit, die seit dem Siegeszug des Beweises von Fermats Problem bis heute vergangen ist, ist mir nur ein einziger, wenn auch wie immer umfangreicher Artikel in denselben „Annals“ (gemeinsam mit Skinner verfasst) aufgefallen. Vielleicht versteckt sich Andrew erneut in Erwartung eines neuen mathematischen Durchbruchs, zum Beispiel der sogenannten „abc“-Vermutung – kürzlich formuliert (von Masser und Oesterle im Jahr 1986) und gilt heute als das wichtigste Problem der Zahlentheorie (es ist die „ Problem des Jahrhunderts“ in den Worten von Serge Lang).

Viele weitere Informationen über Wiles‘ Co-Autor im letzten Teil des Beweises, Richard Taylor. Er war einer der vier Autoren des Beweises der vollständigen Taniyama-Shmura-Weil-Vermutung und war ein starker Anwärter auf die Fields-Medaille auf dem Chinesischen Mathematikkongress 2002. Er erhielt es jedoch nicht (damals erhielten es nur zwei Mathematiker – der russische Mathematiker aus Princeton Vladimir Voevodsky „für die Motivtheorie“ und der Franzose Laurent Laforgue „für einen wichtigen Teil des Langlands-Programms“). Taylor veröffentlichte in dieser Zeit eine beträchtliche Anzahl bemerkenswerter Werke. Und vor kurzem erzielte Richard einen neuen großen Erfolg – ​​er bewies eine sehr berühmte Vermutung – die Tate-Saito-Vermutung, die sich ebenfalls auf die arithmetische algebraische Geometrie und die Verallgemeinerung der Ergebnisse des Deutschen bezieht. Der Mathematiker G. Frobenius aus dem 19. Jahrhundert und der russische Mathematiker N. Chebotarev aus dem 20. Jahrhundert.

Lasst uns endlich ein wenig träumen. Vielleicht wird die Zeit kommen, in der Mathematikkurse an Universitäten und sogar in Schulen an die Beweismethoden von Wiles angepasst werden. Dies bedeutet, dass Fermats letzter Satz nicht nur zu einem mathematischen Modellproblem, sondern auch zu einem methodischen Modell für den Mathematikunterricht wird. Anhand ihres Beispiels können tatsächlich alle Hauptzweige der Mathematik studiert werden. Darüber hinaus werden sich die künftige Physik und vielleicht sogar die Biologie und die Wirtschaftswissenschaften auf diesen mathematischen Apparat stützen. Aber was wenn?

Die ersten Schritte in diese Richtung scheinen bereits getan zu sein. Dies wird beispielsweise durch die Tatsache belegt, dass der amerikanische Mathematiker Serge Lang die Hauptkonstruktionen von Wiles‘ Beweis in die dritte Auflage seines klassischen Handbuchs zur Algebra aufgenommen hat. Die Russen Yuri Manin und Alexey Panchishkin gehen in der bereits erwähnten Neuauflage ihrer „Modernen Zahlentheorie“ noch einen Schritt weiter und stellen den Beweis selbst detailliert im Kontext der modernen Mathematik dar.

Und wie kann man jetzt nicht ausrufen: Fermats großer Satz ist „tot“ – es lebe die Methode von Wiles!

Es wurde eine sensationelle Nachricht verbreitet, dass der Omsker Wissenschaftler Alexander Iljin einen einfachen Beweis für Fermats letzten Satz gefunden habe. Die Nachricht darüber gelangte sogar ins Fernsehen. Eine professionelle Analyse der Beweise ergab jedoch einen groben Fehler darin.

Der Satz wurde vom berühmten Mathematiker Pierre Fermat aus dem 17. Jahrhundert formuliert. Das ist die Gleichung

x n + y n = z n

Hat keine ganzzahligen Lösungen für N> 2. Am Rande des Buches hinterließ Fermat eine Notiz, dass er angeblich einen überraschend eleganten Beweis für diesen Satz gefunden habe. Über drei Jahrhunderte lang gelang es jedoch niemandem, diesen Beweis zu finden. Erst 1994 wurde der Große Satz vom englischen Mathematiker Andrew Wiles bewiesen, und der Beweis erforderte mehr als hundert Seiten mathematischer Berechnungen.

Wiles‘ Beweis nutzt mathematische Apparate, die erst im 20. Jahrhundert entwickelt wurden. Daher suchen viele Mathematikliebhaber weiterhin mit Hilfe der Grundschulmathematik nach dem legendären einfachen Beweis. Mit beneidenswerter Regelmäßigkeit gehen solche Beweise bei einer Vielzahl wissenschaftlicher Organisationen ein. Manchmal sind die Autoren dieser Werke nicht einmal mit den Grundlagen der mathematischen Kultur vertraut und vermischen mathematische Berechnungen mit langwierigen philosophischen Überlegungen. Experten nennen solche angehenden Mathematiker scherzhaft „Farmatisten“. Es gibt sogar ein Gedicht, das Versuchen gewidmet ist, Fermats letzten Satz zu beweisen.

Wie unterscheidet sich der aktuelle Fall von allen vorherigen? Die Tatsache, dass der elementare Beweis des Satzes von Fermat dieses Mal von einem prominenten Wissenschaftler veröffentlicht wurde, dem Akademiemitglied Iljin, dem ehemaligen Chefdesigner des Polet-Luft- und Raumfahrtverbandes. Medienberichten zufolge wurden seine Beweise von mehreren bekannten Wissenschaftlern, insbesondere dem Akademiker Leonid Gorynin und dem Professor Sergei Chukanov *), überprüft und kamen zu dem Schluss, dass sie keine Fehler in Iljins Argumentation fanden. Und obwohl weder der Autor noch die Rezensenten Experten auf dem Gebiet der Zahlentheorie sind, erlaubte der Status dem Akademiker Iljin, Pressekonferenzen in Omsk und Moskau einzuberufen, wo er Journalisten seine Beweise vorlegte.

Am 22. August wurden in der Nowaja Gaseta aufsehenerregende Beweise veröffentlicht. Auch im Fernsehen wurde darüber berichtet. Einige Medien (einschließlich Novaya Gazeta) berichteten, dass die Beweise eine unveränderliche Tatsache seien. Andere, wie die Analyseagentur Glavred, äußerten sich mit einiger Vorsicht. Allerdings wandte sich nur Radio Liberty an Mathematiker des Moskauer Zentrums für mathematische Weiterbildung mit der Bitte, die veröffentlichte Lösung des Satzes von Fermat zu studieren. Hier ist ein Zitat aus der erhaltenen Antwort:

Im Text von Alexander Iljins Beweis, der in der Nowaja Gaseta veröffentlicht wurde, gibt es mehrere Unklarheiten (möglicherweise vom Korrespondenten eingeführt: Die Formeln in der Abbildung in der Zeitung weichen von den im Text veröffentlichten ab). Der fatale Denkfehler liegt in folgender Passage:

„Jeder Zehntklässler mit einer Note über C in Mathematik wird Ihnen sofort die Formel für das Seitenverhältnis eines Dreiecks reproduzieren z 2 = X 2 + j 2 — 2xy weil( B). Schauen wir uns den Ausdruck an. Bei 60° ist b b) keine ganze Zahl. Und das bedeutet z Dies gilt zwangsläufig für ganzzahlige Werte X Und j».

Aus der Tatsache, dass cos( B) keine ganze Zahl ist, folgt daraus überhaupt nicht, dass das Produkt 2 eine solche ist xy weil( B). Sagen wir mal, wann B= arccos(1/4) (entspricht ungefähr 75 Grad, liegt also im erforderlichen Bereich von 60 bis 90 Grad) cos( B) = 1/4, und wenn mindestens eine der Zahlen X Und j sogar, dann 2 xy weil( B) wird eine ganze Zahl sein.

Sobald dieser Fehler entdeckt wird, wird er auf der Ebene eines schulischen Mathematikkurses deutlich. Laut professionellen Mathematikern kann dieser Fall als klares Beispiel dafür dienen, dass sensationelle Entdeckungen, die unter Umgehung des in der Wissenschaft eingeführten obligatorischen Peer-Review-Systems veröffentlicht wurden, sich am häufigsten als Missverständnisse herausstellen.

*) Am Morgen des 26. August erhielt die Redaktion einen Brief von Prof. Sergei Nikolaevich Chukanov mit der Bitte, es auf der Website zu veröffentlichen. Die Herausgeber kommen diesem Wunsch gerne nach.

Liebe Redakteure des Elements-Projekts!

Ich halte es für notwendig, die Botschaft von Alexander Sergeev „Die Sensation um Fermats Theorem erwies sich als Missverständnis“ vom 25. August 2005 auf Ihrer Website zu kommentieren: „Wie die Medien berichten, wurde sein Beweis von mehreren bekannten Wissenschaftlern überprüft: Professor.“ Sergei Chukanov, und sie gaben eine Schlussfolgerung darüber, was in Iljins Argumentation nicht zu finden war.“ Dieses Missverständnis wird dadurch verschärft, dass ich die „Beweise“ zum ersten Mal aus einem Artikel von Anna Melekhova auf der Website der National News Agency kennengelernt habe.

In dem Artikel basiert der „Beweis“ auf der Aussage: „seit cos A auf dem Intervall (11) nimmt nur irrationale Werte an“, was darauf hindeutet, dass dem Autor dieses „Beweises“ grundlegende mathematische Kenntnisse fehlen. Ich habe keine Beweise für Fermats letzten Satz von Alexander Iljin gefunden, die in von Experten begutachteten Publikationen veröffentlicht wurden.

Mit freundlichen Grüßen,
Sergej Nikolajewitsch Tschukanow

Wir bedauern, dass der Ruf von Prof. Chukanova könnte unter falschen Veröffentlichungen in den Medien gelitten haben, und wir teilen seine Verwirrung.