Folie 22

1. Lösung: b2=3q, b3=3q2, q=-5; -4; -3; -2; -13; -15; 75 3; -12; 48;… 3; -9; 27;… 3; -6; 12;… 3; -3; 3;... Antwort:

Folie 23

2. Drei Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Wenn Sie zur ersten Zahl 8 addieren, erhalten Sie eine geometrische Folge mit einer Termsumme von 26. Finden Sie diese Zahlen. Lösung: Antwort: -6; 6; 18 oder 10; 6; 2

Folie 24

3. Eine Gleichung hat Wurzeln, und eine Gleichung hat Wurzeln. Bestimmen Sie k und m, wenn die Zahlen aufeinanderfolgende Terme einer zunehmenden geometrischen Progression sind. Hinweis Lösung: - Geometrische Progression Antwort: k=2, m=32

Folie 25

Satz von Vieta: Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Folie 26

Literatur

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Abstrakt

MBOU „Woronesch Kadettenschule“

Schule benannt nach EIN V. Suworow“

Semyaninova E. N.

Problemlösung ist eine praktische Kunst,

ähnlich wie Schwimmen oder Skifahren, oder

Nachahmung ausgewählter Modelle und kontinuierliches Training.

Finden Sie die Summe von elf Termen einer arithmetischen Folge, deren erster Term gleich – 5 und der sechste gleich – 3,5 ist.

Antwort: 77dm

Antwort: 18 Tonnen

Antwort: 4 Sekunden

Schnecke

Meter. (Folie 12)

Antwort: 30 Tage

Antwort: 1900

Ein anderes Beispiel.

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Es ist nicht schwer herauszufinden:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

V. Kreuznummer. (Folie 19-20)

In Gruppen arbeiten.

Waagerecht:

;

127; -119; …;

Vertikal:

Gegeben sei eine geometrische Folge 3; b2; b3;…, dessen Nenner eine ganze Zahl ist. Finden Sie diesen Fortschritt, wenn

12q2 + 72q +35 =0

Also q=-5; -4; -3; -2; -1

Antwort: -6; 6; 18 oder 10; 6; 2

k Und M

Nach dem Satz von Vieta

Benötigte Zahlen: 1; 2; 4; 8.

Antwort: k= 2, m= 32

VII. Hausaufgaben.

Probleme lösen.

Literatur:

Algebra 9. Klasse. Aufgaben zum Lernen und zur Entwicklung von Studierenden / Komp. Belenkova E.Yu. „Intellekt – Zentrum“. 2005.

Bibliothek der Zeitschrift „Mathematik in der Schule“. Ausgabe 23. Mathematik in Rätseln, Kreuzworträtseln, Kettenworten, Kryptogrammen. Khudadatova S.S. Moskau. 2003.

Mathematik. Beilage zur Zeitung „Erster September“. 2000. Nr. 46.

Mehrstufige didaktische Materialien in Algebra für Klasse 9/Komp. DIESE. Bondarenko. Woronesch. 2001.

MBOU „Woronesch Kadettenschule“

Schule benannt nach EIN V. Suworow“

Semyaninova E. N.

Thema: Arithmetische und geometrische Folgen.

1) Informationen zu Fortschritten zusammenfassen; Verbessern Sie die Fähigkeiten, den n-ten Term und die Summe der ersten n Terme gegebener Progressionen mithilfe von Formeln zu finden. Lösen von Problemen, die beide Sequenzen verwenden;

2) die Ausbildung praktischer Fähigkeiten fortsetzen;

3) das kognitive Interesse der Schüler entwickeln und ihnen beibringen, den Zusammenhang zwischen Mathematik und dem Leben um sie herum zu erkennen.

Problemlösung ist eine praktische Kunst,

ähnlich wie Schwimmen oder Skifahren, oder

Klavier spielen; Das kann man nur lernen

Nachahmung ausgewählter Modelle und kontinuierliches Training.

I. Organisatorischer Moment. Erläuterung der Unterrichtsziele. (Folie 2)

II. Sich warm laufen. In der Welt der interessanten Dinge. (Folie 3-6)

Das französische Wort für Dessert bezieht sich auf süße Gerichte, die am Ende einer Mahlzeit serviert werden. Auch die Namen einiger Desserts, Kuchen und Eiscreme sind französischen Ursprungs. Das Eis „Plombier“ beispielsweise hat seinen Namen von der französischen Stadt Plombieres. Dort wurde es erstmals nach einem speziellen Rezept hergestellt.

Finden Sie anhand der gefundenen Antwort und der Tabellendaten heraus, wie das französische Wort „Baiser“ (ein leichter Kuchen aus geschlagenem Eiweiß und Zucker) übersetzt wird?

Finden Sie die Summe von elf Termen einer arithmetischen Folge, deren erster Term gleich – 5 und der sechste gleich – 3,5 ist.

Das französische Wort „Baiser“ bedeutet Kuss. Das zweite der vorgeschlagenen Wörter, „Lightning“, ist eine Übersetzung des französischen Wortes „éclair“ (ein Brandteiggebäck mit Sahne im Inneren).

III. Fortschritt im Leben und Alltag. (Folie 7)

Progressionsprobleme sind keine abstrakten Formeln. Sie stammen aus unserem Leben selbst, sind damit verbunden und helfen bei der Lösung einiger praktischer Probleme.

Die vertikalen Stäbe des Fachwerks haben folgende Länge: Der kleinste ist 5 dm und jeder nächste ist 2 dm länger. Finden Sie die Länge von sieben solcher Stäbe. (Folie 8)

Antwort: 77dm

Unter günstigen Bedingungen vermehrt sich das Bakterium so, dass es sich in 1 Sekunde in drei Teile teilt. Wie viele Bakterien befinden sich nach 5 Sekunden im Reagenzglas? (Folie 9)

Der LKW transportiert eine Ladung Schotter mit einem Gewicht von 210 Tonnen, wodurch sich die Transportleistung täglich um die gleiche Anzahl Tonnen erhöht. Es ist bekannt, dass am ersten Tag 2 Tonnen Schotter transportiert wurden. Bestimmen Sie, wie viele Tonnen Schotter am neunten Tag transportiert wurden, wenn alle Arbeiten in 14 Tagen abgeschlossen wurden. (Folie 10)

Antwort: 18 Tonnen

Ein Körper fällt von einem 6 m hohen Turm. In der ersten Sekunde legt er 2 m zurück, in jeder weiteren Sekunde legt er 3 m mehr zurück als in der vorherigen. Wie viele Sekunden braucht der Körper, um den Boden zu erreichen? (Folie 11)

Antwort: 4 Sekunden

Eine Schnecke kriecht von einem Baum zum anderen. Jeden Tag kriecht sie die gleiche Strecke weiter als am Vortag. Es ist bekannt, dass die Schnecke am ersten und letzten Tag insgesamt 10 Meter weit gekrochen ist. Bestimmen Sie, wie viele Tage die Schnecke auf der gesamten Reise verbracht hat, wenn der Abstand zwischen den Bäumen 150 beträgt

Meter. (Folie 12)

Antwort: 30 Tage

Ein LKW verlässt Punkt A mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h. Gleichzeitig fuhr ihm von Punkt B aus ein zweites Auto entgegen, das in der ersten Stunde 20 km zurücklegte, und jedes weitere Auto legte 5 km mehr zurück als das vorherige. Wie viele Stunden später werden sie sich treffen, wenn die Entfernung von A nach B 125 km beträgt? (Folie 13) Antwort: 2 Stunden

Das Amphitheater besteht aus 10 Reihen, wobei jede nächste Reihe 20 Sitzplätze mehr als die vorherige und die letzte Reihe 280 Sitzplätze hat. Für wie viele Personen bietet das Amphitheater Platz? (Folie 14)

Antwort: 1900

IV. Eine kleine Geschichte. (Folie 15-16)

Probleme zu geometrischen und arithmetischen Progressionen finden sich bei den Babyloniern, in ägyptischen Papyri und in der alten chinesischen Abhandlung „Mathematik in 9 Büchern“. Archimedes war offenbar der Erste, der auf den Zusammenhang zwischen Progressionen aufmerksam gemacht hat. Im Jahr 1544 erschien das Buch „Allgemeine Arithmetik“ des deutschen Mathematikers M. Stiefel. Stiefel hat die folgende Tabelle zusammengestellt (Folie 17):

In der oberen Zeile steht eine arithmetische Folge mit der Differenz 1. In der unteren Zeile steht eine geometrische Folge mit dem Nenner 2. Sie sind so angeordnet, dass der Nullpunkt der arithmetischen Folge der Einheit der geometrischen Folge entspricht. Das ist eine sehr wichtige Tatsache.

Stellen Sie sich nun vor, wir wüssten nicht, wie man multipliziert und dividiert. Es ist notwendig, beispielsweise mit 128 zu multiplizieren. In der obigen Tabelle steht -3 und über 128 steht 7. Addieren wir diese Zahlen. Es stellte sich heraus, 4. Unter 4 lesen wir 16. Dies ist das benötigte Produkt.

Ein anderes Beispiel.

Teilen Sie 64 durch. Wir machen das Gleiche:

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Das Endergebnis der Stiefel-Tabelle lässt sich wie folgt umschreiben:

2-4; 2-3; 2-2; 2-1; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27.

Es ist nicht schwer herauszufinden:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

Wir können sagen: Wenn die Exponenten eine arithmetische Folge bilden, bilden die Grade selbst eine geometrische Folge. (Folie 18)

V. Kreuznummer. (Folie 19-20)

In Gruppen arbeiten.

Kreuzzahlen ist eine der Arten von Zahlenrätseln. Aus dem Englischen übersetzt bedeutet das Wort „crossnumber“ „Kreuzzahl“. Beim Verfassen von Kreuzzahlen gilt das gleiche Prinzip wie beim Verfassen von Kreuzworträtseln: In jede Zelle passt ein Zeichen, das horizontal und vertikal „arbeitet“.

In jede Zelle des Zahlenkreuzes passt eine Zahl (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Und um Verwirrung zu vermeiden, werden die Aufgabennummern durch Buchstaben gekennzeichnet. Die zu erratenden Zahlen sind nur positive ganze Zahlen; Die Aufzeichnung solcher Zahlen kann nicht bei Null beginnen (d. h. 42 kann nicht als 042 geschrieben werden).

Einige Fragen mit Zahlenübergreifend können vage erscheinen und mehrere (und manchmal sehr viele) Antworten zulassen. Aber das ist der Stil von Crossnumbers. Wenn sie immer nur klare Antworten geben würden, wäre es kein Spiel.

Waagerecht:

a) die Anzahl der ungeraden Zahlen in der natürlichen Reihe, beginnend mit 13, deren Summe 3213 beträgt;

c) die Summe der ersten fünf Terme einer geometrischen Folge, deren vierter Term gleich 3 und der siebte gleich ist ;

e) die Summe der ersten sechs positiven Terme einer arithmetischen Folge

127; -119; …;

e) der dritte Term einer geometrischen Folge (bn), in der der erste Term gleich 5 und der Nenner g gleich 10 ist;

g) die Summe -13 + (-9) + (-5) + … + 63, wenn ihre Glieder aufeinanderfolgende Glieder einer arithmetischen Folge sind.

Vertikal:

A) die Summe aller zweistelligen Zahlen, die ein Vielfaches von neun sind;

B) das einundzwanzigste Glied einer arithmetischen Folge verdoppeln, wobei das erste Glied gleich -5 und die Differenz gleich 3 ist;

B) der sechste Term der Folge, der durch die Formel des n-ten Termes gegeben ist

D) die Differenz einer arithmetischen Folge, wenn.

VI. Lösung nicht standardmäßiger Probleme. (Folie 21)

Gegeben sei eine geometrische Folge 3; b2; b3;…, dessen Nenner eine ganze Zahl ist. Finden Sie diesen Fortschritt, wenn

Dann ist b2=3q, b3=3q2. Lasst uns die Ungleichung lösen.

12q2 + 72q +35 =0

Also q=-5; -4; -3; -2; -1

Gesuchte Sequenzen: 3; -15; 75;…

Drei Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Wenn Sie zur ersten Zahl 8 addieren, erhalten Sie eine geometrische Folge mit einer Termsumme von 26. Finden Sie diese Zahlen. (Folie 23).

B, c sind die erforderlichen Zahlen. Machen wir einen Tisch.

Gemäß der Bedingung ist die Summe der drei Zahlen, die eine geometrische Folge bilden, gleich 26, d.h. , в=6

Wir nutzen die Eigenschaft der Terme einer geometrischen Folge. Wir erhalten die Gleichung:

Antwort: -6; 6; 18 oder 10; 6; 2

Eine Gleichung hat Wurzeln, und eine Gleichung hat Wurzeln. Definieren k Und M, wenn die Zahlen aufeinanderfolgende Terme einer zunehmenden geometrischen Progression sind. (Folie 24-25)

Da die Zahlen eine geometrische Folge bilden, gilt:

Nach dem Satz von Vieta

Wir erhalten, da die Folge zunimmt.

Benötigte Zahlen: 1; 2; 4; 8.

Antwort: k= 2, m= 32

VII. Hausaufgaben.

Probleme lösen.

Finden Sie eine geometrische Folge, wenn die Summe ihrer ersten drei Terme 7 und ihr Produkt 8 ist.

Teilen Sie die Zahl 2912 in 6 Teile, sodass das Verhältnis jedes Teils zum nächsten gleich ist

In der arithmetischen Folge ist es und. Wie viele Terme dieser Folge müssen genommen werden, damit ihre Summe 104 ergibt?

Literatur:

Algebra 9. Klasse. Aufgaben zum Lernen und zur Entwicklung von Studierenden / Komp. Belenkova E.Yu. „Intellekt – Zentrum“. 2005.

Bibliothek der Zeitschrift „Mathematik in der Schule“. Ausgabe 23. Mathematik in Rätseln, Kreuzworträtseln, Kettenworten, Kryptogrammen. Khudadatova S.S. Moskau. 2003.

Mathematik. Beilage zur Zeitung „Erster September“. 2000. Nr. 46.

Mehrstufige didaktische Materialien in Algebra für Klasse 9/Komp. DIESE. Bondarenko. Woronesch. 2001.