Präsentation zur Mathematik „Numerische Ungleichungen und ihre Eigenschaften. Numerische Ungleichungen Eigenschaften numerischer Ungleichungen

Im Algebrakurs der 8. Klasse spielt das Thema „Ungleichungen“ eine wichtige Rolle. Daher ist seine eingehende Untersuchung äußerst wichtig. Auf der Grundlage dieser Theorie werden eine Reihe komplexer Probleme nicht nur in der Algebra, sondern auch in anderen Wissenschaften gelöst.

Ziel dieser Präsentation ist es, die Eigenschaften numerischer Ungleichungen zu untersuchen. Darüber hinaus sollte vor der Lektion, in der diese Präsentation besprochen wird, eine Lektion abgehalten werden, in der die Eigenschaften selbst angegeben werden. Dazu können Sie sich hier den Vortrag „Eigenschaften numerischer Ungleichungen“ ansehen. Teil 1“, in dem die gesamte Theorie zu diesem Thema gegeben wird. Hier finden Sie viele verschiedene Beispiele, bei denen die untersuchten Eigenschaften anwendbar sind. Also mehr Details.

Folien 1-2 (Präsentationsthema „Eigenschaften numerischer Ungleichungen. Teil 2“, Eigenschaft)

Das erste Beispiel zeigt, wie man eine Ungleichung anhand der Ungleichheitsdefinition und einiger Operationen mit Brüchen beweist.

Das folgende Beispiel zeigt auch einen etwas komplizierteren Ungleichheitsbeweis. Um eine Ungleichung zu beweisen, müssen Sie Kenntnisse und Fähigkeiten zur Addition von Brüchen und Zahlen anwenden. Das heißt, Sie müssen in der Lage sein, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren und zu addieren. Und wieder wird eine Definition verwendet, die besagt, dass man einen positiven Wert erhalten sollte, wenn man die rechte Seite von der linken Seite der Ungleichung am größeren Vorzeichen subtrahiert, wozu der Autor als Ergebnis kommt. Damit ist die Ungleichung bewiesen.

Folien 3-4 (Eigenschaften)

Im dritten Beispiel müssen Sie Schätzungen für Zahlen finden, von denen sieben angegeben sind, wenn bestimmte Bedingungen gegeben sind. Wenn Sie der Reihe nach vorgehen, werden Sie feststellen, dass beim Lösen dieser Beispiele mehrere Eigenschaften gleichzeitig angewendet werden. Dies ist die Eigenschaft, eine Ungleichung mit einer positiven und einer negativen Zahl zu multiplizieren, zwei Ungleichungen zu addieren und zu subtrahieren und sie zu potenzieren. Der Autor untersucht jedes Beispiel ausführlich, sodass Sie das vorgeschlagene Material gründlich verarbeiten und mit Beispielen untermauern können.

Folien 5-6 (Eigenschaften)

Das nächste, vierte Beispiel ist bereits komplizierter als die vorherigen. Hier handelt es sich um eine Quadratwurzel. Im Beweis verwendet der Autor erneut die Definition von Ungleichungen. Mit anderen Worten: Es ermittelt den Unterschied zwischen der linken und rechten Seite der Ungleichung und bestimmt das Vorzeichen. Wenn beim Beweis ein gemeinsamer Nenner gefunden wird, erzeugt der Zähler einen Ausdruck, der mithilfe der Formel für das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke reduziert werden kann.

Das Ergebnis ist ein positiver Ausdruck, der das Ungleichheitszeichen bestätigt. Aber hier ist das Vorzeichen nicht streng, daher prüft der Autor die Gleichheitsbedingung. Als Ergebnis stellt sich heraus, dass beide in der Bedingung angegebenen Zahlen gleich sein müssen, damit die Ausdrücke gleich sind, die Bedingung schreibt dies jedoch nicht vor. Daher hat die Ungleichung für unterschiedliche Werte der Zahlen a und b ein streng größeres Vorzeichen.

Folien 7-8 (Eigenschaften)

Darüber hinaus demonstriert der Autor dieses Beispiel anschaulich. Das heißt, die linke Seite dieser Ungleichung ist das arithmetische Mittel der gegebenen Zahlen und die rechte Seite ist das geometrische Mittel dieser gleichen Zahlen. Daraus folgt, dass das arithmetische Mittel zweier nicht negativer Zahlen nicht kleiner ist als ihr geometrisches Mittel. Und das ist Cauchys Ungleichung. An dieser Stelle weist der Autor auf die Bemerkung hin, die in der Abbildung dargestellt ist.

Im letzten, fünften Beispiel schlägt der Autor vor, Zahlen zu vergleichen. Aber diese Zahlen sind nicht einfach. Hier gibt es eine Summe, bei der einer der Terme die Quadratwurzel der Zahl ist. Daher gibt es keine Möglichkeit, auf Eigenschaften zur Erledigung der Aufgabe zu verzichten. In diesem Beispiel gibt es zwei Fälle. Im ersten Fall schlägt der Autor vor, beide Zahlen zu quadrieren, was aufgrund der zuvor untersuchten Eigenschaften zulässig ist. Dadurch entstehen neue Zahlen, die sich dadurch unterscheiden, dass zur gleichen Zahl 9 eine andere Zahl hinzugefügt wird. Es bleibt nur noch, diese beiden Zahlen zu vergleichen. Im zweiten Fall schlägt der Autor vor, die Terme paarweise auf beiden Seiten der Ungleichung zu vergleichen. Es stellt sich heraus, dass der erste und zweite Term der ersten Zahl jeweils kleiner sind als der erste und zweite Term der zweiten Zahl. Daher ist das Zeichen offensichtlich.

Folie 9 (Eigenschaften)

Die Präsentation kann in einer Lektion zum Erlernen neuer Materialien als Beispiel verwendet werden, in dem die erlernten Eigenschaften angewendet werden können. Die Präsentation eignet sich auch als Unterrichtseinheit, um den in der vorherigen Unterrichtsstunde gelernten Stoff zu vertiefen. Es eignet sich auch für eine Wahlfach- oder außerschulische Aktivität. Auf Wunsch des Lehrers kann die Präsentation ergänzt werden.

Unabhängige Arbeit Option 1 1. Definieren Sie, dass die Zahl a größer als die Zahl b ist 2. Vergleichen Sie: a) b) a und 8 a 3. Beweisen Sie die Ungleichung (a – 3)(a + 9)

Satz 1 Wenn a>b, dann b b, dann b b, dann b b, dann b b, dann b
4a" title="Wenn a und b positive Zahlen sind und a< b, то Пример 1 Оцените периметр квадрата со стороной a см, если известно, что 18,1 < a < 18,2 Пример 2 Доказать неравенство a 2 + 5 >4a" class="link_thumb"> 4 !} Wenn a und b positive Zahlen sind und a 4a 4a"> 4a"> 4a" title="Wenn a und b positive Zahlen sind und a 4a"> title="Wenn a und b positive Zahlen sind und a 4a"> !}

In Klasse (d) (c,d) d/z p (a,b)

B und b > c, dann a > c. Beispiel: 6 > 4 und 4 > -1, dann 6 > -1. Ebenso gilt, wenn c b, dann a + c > b + c. Wenn Sie auf beiden Seiten der Ungleichung die gleiche Zahl (positiv oder negativ) hinzufügen, dann kennen Sie" title="1. Wenn a > b und b > c, dann a > c. Beispiel: 6 > 4 und 4 > -1, dann 6 > -1. Wenn c b, dann a + c > b + c. Wenn Sie auf beiden Seiten der Ungleichung die gleiche Zahl (positiv oder negativ) hinzufügen" class="link_thumb"> 6 !} 1. Wenn a > b und b > c, dann ist a > c. Beispiel: 6 > 4 und 4 > -1, dann 6 > -1. Ebenso gilt, wenn c b, dann a + c > b + c. Wenn Sie auf beiden Seiten der Ungleichung dieselbe Zahl (positiv oder negativ) hinzufügen, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Zum Beispiel: 6 > 4, dann > Wenn a + c > b, dann a > b - c. Jeder Term kann von einem Teil der Ungleichung auf einen anderen übertragen werden, wodurch sich das Vorzeichen des Termes in das Gegenteil ändert. Zum Beispiel > 4, dann 5 > 4 – 10. b und b > c, dann a > c. Beispiel: 6 > 4 und 4 > -1, dann 6 > -1. Ebenso gilt, wenn c b, dann a + c > b + c. Wenn Sie auf beiden Seiten der Ungleichung die gleiche Zahl (positiv oder negativ) hinzufügen, dann ist zna "> b und b > c, dann a > c. Zum Beispiel 6 > 4 und 4 > -1, dann 6 > -1 . Wenn c b, dann a + c > b + c, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. dann 6 + 3 > 4 + 3 3. Wenn a + c > b, dann a > b - c Jeder Term kann von einem Teil der Ungleichung auf einen anderen übertragen werden, indem beispielsweise das Vorzeichen des Termes geändert wird , 5 + 10 > 4, dann 5 > 4 – 10 ."> b und b > c, dann a > c. Beispiel: 6 > 4 und 4 > -1, dann 6 > -1. Ebenso gilt, wenn c b, dann a + c > b + c. Wenn Sie auf beiden Seiten der Ungleichung die gleiche Zahl (positiv oder negativ) hinzufügen, dann kennen Sie" title="1. Wenn a > b und b > c, dann a > c. Beispiel: 6 > 4 und 4 > -1, dann 6 > -1. Wenn c b, dann a + c > b + c. Wenn Sie auf beiden Seiten der Ungleichung die gleiche Zahl (positiv oder negativ) hinzufügen"> title="1. Wenn a > b und b > c, dann ist a > c. Beispiel: 6 > 4 und 4 > -1, dann 6 > -1. Ebenso gilt, wenn c b, dann a + c > b + c. Wenn Sie auf beiden Seiten der Ungleichung die gleiche Zahl (positiv oder negativ) addieren, wissen Sie es"> !}

B und c > 0, dann ac > bc und. c Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Zum Beispiel: 3 > 1, dann 3 5 > 1 5. 7 b und c b und c > 0, dann ac > bc und. c Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Zum Beispiel: 3 > 1, dann 3 5 > 1 5. 7 b und c 7 a b 4. Wenn a > b und c > 0, dann ac > bc und. c Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Zum Beispiel 3 > 1, dann 3 5 > b und c 4, dann 9 (-2) b und c > 0, dann ac > bc und. c Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Zum Beispiel: 3 > 1, dann 3 5 > 1 5. 7 b und c b und c > 0, dann ac > bc und. c Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Zum Beispiel 3 > 1, dann 3 5 > 1 5. 7 b und c 4, dann 9 (-2) b und c > 0, dann ac > bc und. c Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Zum Beispiel: 3 > 1, dann 3 5 > 1 5. 7 b und c b und c > 0, dann ac > bc und. c Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Zum Beispiel: 3 > 1, dann 3 5 > 1 5. 7 b und c title="a b 4. Wenn a > b und c > 0, dann ac > bc und. c Wenn beide Seiten der Ungleichung werden mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert, dann ändert sich das Ungleichheitszeichen nicht. Zum Beispiel: 3 > 1, dann 3 5 > 1 5. 7 b und c

B und c > d, dann a + c > b + d. Addiert man Ungleichungen gleichen Vorzeichens, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens. Zum Beispiel 8 > 5 und 4 > 1, dann 8 + 4 > 5 + 1. 6. Wenn für positive Zahlen a, b, c, d: a > b und c > d, dann a c > b d. Beim Multiplizieren" title="5. Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d. Addiert man Ungleichungen gleichen Vorzeichens, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens. Zum Beispiel 8 > 5 und 4 > 1, dann 8 + 4 > 5 + 1. 6. Wenn für positive Zahlen a, b, c, d: a > b und c > d, dann a c > b d. Beim Multiplizieren" class="link_thumb"> 8 !} 5. Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d. Addiert man Ungleichungen gleichen Vorzeichens, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens. Zum Beispiel 8 > 5 und 4 > 1, dann > Wenn für positive Zahlen a, b, c, d: a > b und c > d, dann a c > b d. Wenn man Ungleichungen gleichen Vorzeichens multipliziert, deren linke und rechte Seite positiv sind, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens. Zum Beispiel 12 > 5 und 3 > 2, dann 12 3 > 5 2. b und c > d, dann a + c > b + d. Addiert man Ungleichungen gleichen Vorzeichens, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens. Zum Beispiel 8 > 5 und 4 > 1, dann 8 + 4 > 5 + 1. 6. Wenn für positive Zahlen a, b, c, d: a > b und c > d, dann a c > b d. Bei der Multiplikation von „> b und c > d, dann a + c > b + d. Beim Addieren von Ungleichungen gleichen Vorzeichens erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens. Zum Beispiel 8 > 5 und 4 > 1, dann 8 + 4 > 5 + 1. 6 . Wenn für positive Zahlen a, b, c, d: a > b und c > d, dann a c > b d, wenn Ungleichungen mit demselben Vorzeichen multipliziert werden, deren linke und rechte Seite positiv sind, Man erhält eine Ungleichung mit dem gleichen Vorzeichen, zum Beispiel 12 > 5 und 3 > 2, dann 12 3 > 5 2."> b und c > d, dann a + c > b + d. Addiert man Ungleichungen gleichen Vorzeichens, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens. Zum Beispiel 8 > 5 und 4 > 1, dann 8 + 4 > 5 + 1. 6. Wenn für positive Zahlen a, b, c, d: a > b und c > d, dann a c > b d. Beim Multiplizieren von" title="5. Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d. Wenn Ungleichungen mit demselben Vorzeichen addiert werden, erhält man eine Ungleichung mit demselben Vorzeichen. Zum Beispiel: 8 > 5 und 4 > 1, dann 8 + 4 > 5 + 1. 6. Wenn für positive Zahlen a, b, c, d: a > b und c > d, dann a c > b d"> title="5. Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d. Addiert man Ungleichungen gleichen Vorzeichens, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens. Zum Beispiel 8 > 5 und 4 > 1, dann 8 + 4 > 5 + 1. 6. Wenn für positive Zahlen a, b, c, d: a > b und c > d, dann a c > b d. Beim Multiplizieren"> !}

Mathematik kann nicht studiert werden

Aufpassen

wie es ein Nachbar tut.

A. Niven

Eigenschaften

numerisch

Ungleichheiten

(8. Klasse)

in, dann in a. Eigenschaft 2 Wenn a. Eigenschaft 3 Wenn a Eigenschaft 4 Wenn a Wenn alles. Folgerung: Wenn a und b positive Zahlen sind und a „ width="640"

Eigenschaften numerischer Ungleichungen

Eigentum 1 Wenn ein in, dann in a.

Eigentum 2 Wenn ein .

Eigentum 3 Wenn ein

Eigentum 4 Wenn ein

Wenn eine Sonne.

Folge: Wenn a und b positive Zahlen sind und a

p, n m, n Vergleiche: p und n, p und q, q und m. ð m n q p m Nr. 749 (b,d) b) a – 8 b – 8 und a b – 8, ab, weil a b und a dann a und b negative Zahlen sind d) - 2a -2c und c - - 2a - Dividiere 2c durch (-2) erhalten wir a a und c – negative Zahlen Nr. 750 (a, c) Nr. 751 (b, d, e) a) 18 -7, c) - 9 b) a 13 -12; -18 20,7 - 4,3; 9 -21; 3a 25 0. - 3 7. - 4.8a - 4.8c. Nr. 764 (zur Wiederholung) - = a) - = 2; = 0 32x² - 12 – 25 + 45x² = 40; 77x² = 77; x = ± 1 20 – 3x – 6 - x² + 4 = 0; Antwort: x = ±1 x² + 3x – 18 = 0, D = 81, X= x₁ = - 6; x₂ = 3. "width="640"

Hausaufgaben überprüfen

№ 747 m,n,p,q sind einige Zahlen.

Vergleiche: p und n, p und q, q und m.

№ 749 (b,d)

B) a – 8 b – 8 und a b – 8 , ab, weil a b und a

dann sind a und b negative Zahlen

G)- 2a -2b und c -

Teilen Sie 2a - 2c durch (-2), wir erhalten a

a und b sind negative Zahlen

№ 750(a, b) Nr. 751(b, d, d)

a) 18 -7, c) - 9 b) a

13 -12; -18

20,7 - 4,3; 9 -21; 3a

25 0. - 3 7. - 4,8a - 4,8b.

№ 764 (wiederholen)

32x² - 12 – 25 + 45x² = 40;

77x² = 77; x = ± 1 20 – 3x – 6 - x² + 4 = 0;

Antwort: x = ±1 x² + 3x – 18 = 0, D = 81,

x₁ = - 6; x₂ = 3.

0 Die Ungleichung gilt für jedes x " width="640"

Übung 1. Gilt die folgende Ungleichung für jedes x?

(6 + 2x) (6 – 2x)-x = 3 (2 x – 1)

x² + 6x + 9 – 6x + 3 = x² +120

Die Ungleichung gilt für jedes x

in, dann in in c 6. Wenn a und b positive Zahlen sind und a „width="640"

Aufgabe 2 Vervollständigen Sie die mathematischen Aussagen: 1. Wenn A in ist, dann ist in c 6. Wenn a und b positive Zahlen sind und a

Aufgabe 3 – Diktat. Es ist bekannt, dass A . Schreiben Sie anhand der Eigenschaften von Ungleichungen die korrekte Ungleichung auf, die sich ergibt, wenn:

Addiere auf beiden Seiten dieser Ungleichung die Zahl 8
Fügen Sie zu beiden Seiten dieser Ungleichung die Zahl -3,4 hinzu
Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Ungleichung mit 4
Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Ungleichung mit -4,7
Teilen Sie beide Seiten dieser Ungleichung durch 6
Teilen Sie beide Seiten dieser Ungleichung durch -2
Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Ungleichung mit 0,2 und subtrahieren Sie 8
Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Ungleichung mit - 6 und addieren Sie 5,2

-4,7 V; 0,2a - 8 - 6a + 5,2 - 6b + 5,2. "width="640"

Antworten

a + 8
a - 3.4
- 4,7a -4,7 V;
0,2a - 8
- 6a + 5,2 - 6b + 5,2.

d, -7c b) , nach Satz 4 c) 2c + 11 2d + 11, nach Satz 3.4. Nr. 752(a, b) a) a - 12,7c; b) Nr. 757(a, b, d) Gegeben: 3. Bewerten Sie die Bedeutung des Ausdrucks: a) 5a; b) –a; d) 5 – a. a) 15 b) - 3 -a -4 oder -4 d) -4 -a -3, (+5) 5-4 5-a 5-3 1 "width="640"

Lösung von Übungen