I. Lineare Gleichungen

II. Quadratische Gleichungen

Axt 2 + bx +C= 0, A≠ 0, sonst wird die Gleichung linear

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung können auf verschiedene Arten berechnet werden, zum Beispiel:

Wir sind gut darin, quadratische Gleichungen zu lösen. Viele Gleichungen höheren Grades lassen sich auf quadratische Gleichungen reduzieren.

III. Gleichungen auf quadratisch reduziert.

Änderung der Variablen: a) biquadratische Gleichung Axt 2n+ bx n+ C = 0,A ≠ 0,N ≥ 2

2) Symmetrische Gleichung vom Grad 3 – Gleichung der Form

3) Symmetrische Gleichung vom Grad 4 – Gleichung der Form

Axt 4 + bx 3 + cx 2 +bx + A = 0, A≠ 0, Koeffizienten a b c b a oder

Axt 4 + bx 3 + cx 2 –bx + A = 0, A≠ 0, Koeffizienten a b c (–b) a

Weil X= 0 ist keine Wurzel der Gleichung, dann ist es möglich, beide Seiten der Gleichung durch zu dividieren X 2, dann erhalten wir: .

Durch die Substitution lösen wir die quadratische Gleichung A(T 2 – 2) + BT + C = 0

Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichung lösen X 4 – 2X 3 – X 2 – 2X+ 1 = 0, beide Seiten durch teilen X 2 ,

, nach dem Ersetzen erhalten wir die Gleichung T 2 – 2T – 3 = 0

– Die Gleichung hat keine Wurzeln.

4) Gleichung der Form ( x–a)(x–b)(x–c)(x–d) = Axt 2, Koeffizienten ab = cd

Zum Beispiel, ( x+2)(x +3)(x+8)(x+12) = 4x 2. Durch Multiplikation von 1–4 und 2–3 Klammern erhalten wir ( X 2 + 14X+ 24)(X 2 +11X + 24) = 4X 2, dividiere beide Seiten der Gleichung durch X 2, wir erhalten:

Wir haben ( T+ 14)(T + 11) = 4.

5) Homogene Gleichung vom Grad 2 – eine Gleichung der Form P(x,y) = 0, wobei P(x,y) ein Polynom ist, dessen Term jeweils den Grad 2 hat.

Antwort: -2; -0,5; 0

IV. Alle oben genannten Gleichungen sind erkennbar und typisch, aber was ist mit Gleichungen beliebiger Form?

Gegeben sei ein Polynom P N ( X) = A N X n+ A n-1 X n-1 + ...+ A 1x+ A 0 , wo A n ≠ 0

Betrachten wir die Methode zur Reduzierung des Grades der Gleichung.

Es ist bekannt, dass wenn die Koeffizienten A sind ganze Zahlen und A n = 1, dann die ganzzahligen Wurzeln der Gleichung P N ( X) = 0 gehören zu den Teilern des freien Termes A 0 . Zum Beispiel, X 4 + 2X 3 – 2X 2 – 6X+ 5 = 0, Teiler der Zahl 5 sind die Zahlen 5; -5; 1; -1. Dann P 4 (1) = 0, d.h. X= 1 ist die Wurzel der Gleichung. Lassen Sie uns den Grad der Gleichung verringern P 4 (X) = 0, indem wir das Polynom mit einer „Ecke“ durch den Faktor x –1 dividieren, erhalten wir

P 4 (X) = (X – 1)(X 3 + 3X 2 + X – 5).

Ebenfalls, P 3 (1) = 0 also P 4 (X) = (X – 1)(X – 1)(X 2 + 4X+5), d.h. Die gleichung P 4 (x) = 0 hat Wurzeln X 1 = X 2 = 1. Lassen Sie uns eine kürzere Lösung dieser Gleichung zeigen (unter Verwendung des Horner-Schemas).

	1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

Bedeutet, X 1 = 1 bedeutet X 2 = 1.

Also, ( X– 1) 2 (X 2 + 4X + 5) = 0

Was haben wir getan? Wir haben den Grad der Gleichung gesenkt.

V. Betrachten Sie symmetrische Gleichungen vom Grad 3 und 5.

A) Axt 3 + bx 2 + bx + A= 0, offensichtlich X= –1 die Wurzel der Gleichung ist, dann verringern wir den Grad der Gleichung auf zwei.

B) Axt 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + A= 0, offensichtlich X= –1 die Wurzel der Gleichung ist, dann verringern wir den Grad der Gleichung auf zwei.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Lösung von Gleichung 2 zeigen X 5 + 3X 4 – 5X 3 – 5X 2 + 3X + = 0

	2	3	–5	–5	3	2
–1	2	1	–6	1	2	0
1	2	3	–3	–2	0
1	2	5	2	0

X = –1

Wir bekommen ( X – 1) 2 (X + 1)(2X 2 + 5X+ 2) = 0. Dies bedeutet, dass die Wurzeln der Gleichung sind: 1; 1; -1; –2; –0,5.

VI. Hier ist eine Liste verschiedener Gleichungen, die Sie im Unterricht und zu Hause lösen können.

Ich schlage vor, dass der Leser die Gleichungen 1–7 selbst löst und die Antworten erhält ...

( (3 * x – 1) = 0;

-(3 * x – 1) = 0;

Von hier aus sehen wir, dass es eine Gleichung 3 * x – 1 = 0 gibt.

Wir haben eine lineare Gleichung in der Form 3 * x – 1 = 0 erhalten

Um die Gleichung zu lösen, bestimmen wir, welche Eigenschaften die Gleichung hat:

• Die Gleichung ist linear und wird als a * x + b = 0 geschrieben, wobei a und b beliebige Zahlen sind;
• Wenn a = b = 0, hat die Gleichung unendlich viele Lösungen;
• Wenn a = 0, b ≠ 0, hat die Gleichung keine Lösung;
• Wenn a ≠ 0, b = 0, hat die Gleichung eine Lösung: x = 0;
• Wenn a und b beliebige Zahlen ungleich 0 sind, wird die Wurzel mithilfe der folgenden Formel ermittelt: x = - b/a.

Von hier aus erhalten wir a = 3, b = - 1, was bedeutet, dass die Gleichung eine Wurzel hat.

Überprüfung der Lösung der Gleichung

Ersetzen wir den gefundenen Wert x = 1/3 in den ursprünglichen Ausdruck |3 * x - 1| = 0, dann erhalten wir:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Um den Wert eines Ausdrucks zu ermitteln, berechnen wir zunächst nacheinander Multiplikationen oder Divisionen und addieren oder subtrahieren dann. Das heißt, wir erhalten:

Das bedeutet, dass x = 1/3 die Wurzel der Gleichung |3 * x - 1| ist = 0.

|3 * x - 1| = 0;

Das Modul wird mit einem Plus- und Minuszeichen geöffnet. Wir erhalten 2 Gleichungen:

1) 3 * x - 1 = 0;

Wir übertragen bekannte Werte auf die eine Seite und unbekannte Werte auf die andere Seite. Bei der Übertragung von Werten ändern sich deren Vorzeichen in das entgegengesetzte Vorzeichen. Das heißt, wir erhalten:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Öffnen der Klammern. Da vor den Klammern ein Minuszeichen steht, ändern sich beim Erweitern die Vorzeichen der Werte in das entgegengesetzte Vorzeichen. Das heißt, wir erhalten:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
x = 1/3;
Antwort: x = 1/3.

Betrachten wir die Gleichung x^2=a, wobei a eine beliebige Zahl sein kann. Es gibt drei Fälle zum Lösen dieser Gleichung, abhängig vom Wert, den die Zahl a (a0) annimmt.

Betrachten wir jeden Fall einzeln.

Beispiele für verschiedene Fälle der Gleichung x^2=a

x^2=a, für a<0

Da das Quadrat einer reellen Zahl keine negative Zahl sein kann, gilt die Gleichung x^2=a für a

x^2=a, mit a=0

In diesem Fall hat die Gleichung eine Wurzel. Diese Wurzel ist die Zahl 0. Da die Gleichung als x*x=0 umgeschrieben werden kann, wird manchmal auch gesagt, dass diese Gleichung zwei Wurzeln hat, die einander gleich und gleich 0 sind.

x^2=a, für a>0

In diesem Fall wird die Gleichung x^2=a für a wie folgt gelöst. Zuerst verschieben wir a auf die linke Seite.

Aus der Definition einer Quadratwurzel folgt, dass a in der folgenden Form geschrieben werden kann: a=(√a)^2. Dann kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

x^2 - (√a)^2 = 0.

Auf der linken Seite sehen wir die Formel für die Quadratdifferenz; erweitern wir sie.

(x+√a)*(x-√a)=0;

Das Produkt zweier Klammern ist gleich Null, wenn mindestens eine davon gleich Null ist. Somit,

Daher ist x1=√a x2=-√a.

Diese Lösung kann durch Zeichnen eines Diagramms überprüft werden.

Machen wir das zum Beispiel für die Gleichung x^2 = 4.

Dazu müssen Sie zwei Diagramme y=x^2 und y=4 erstellen. Und schauen Sie sich die x-Koordinaten ihrer Schnittpunkte an. Die Wurzeln sollten 2 und -2 sein. In der Abbildung ist alles deutlich zu erkennen.

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Vorheriges Thema:

Im Mathematikkurs der 7. Klasse begegnen wir zum ersten Mal Gleichungen mit zwei Variablen, aber sie werden nur im Kontext von Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten untersucht. Aus diesem Grund geraten eine ganze Reihe von Problemen außer Sicht, bei denen bestimmte Bedingungen an die Koeffizienten der Gleichung eingeführt werden, die sie begrenzen. Darüber hinaus werden auch Methoden zur Lösung von Problemen wie „Lösen Sie eine Gleichung in natürlichen oder ganzen Zahlen“ ignoriert, obwohl Probleme dieser Art immer häufiger in den Materialien zum Einheitlichen Staatsexamen und in Aufnahmeprüfungen zu finden sind.

Welche Gleichung wird als Gleichung mit zwei Variablen bezeichnet?

So sind beispielsweise die Gleichungen 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 oder xy = 12 Gleichungen in zwei Variablen.

Betrachten Sie die Gleichung 2x – y = 1. Sie wird wahr, wenn x = 2 und y = 3, sodass dieses Variablenwertpaar eine Lösung der betreffenden Gleichung ist.

Somit ist die Lösung jeder Gleichung mit zwei Variablen eine Menge geordneter Paare (x; y), Werte der Variablen, die diese Gleichung in eine echte numerische Gleichheit umwandeln.

Eine Gleichung mit zwei Unbekannten kann:

A) habe eine Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung x 2 + 5y 2 = 0 eine eindeutige Lösung (0; 0);

B) mehrere Lösungen haben. Zum Beispiel hat (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 Lösungen: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) habe keine Lösungen. Beispielsweise hat die Gleichung x 2 + y 2 + 1 = 0 keine Lösungen;

G) haben unendlich viele Lösungen. Zum Beispiel: x + y = 3. Die Lösungen dieser Gleichung sind Zahlen, deren Summe gleich 3 ist. Die Lösungsmenge dieser Gleichung kann in der Form (k; 3 – k) geschrieben werden, wobei k eine beliebige reelle Zahl ist Nummer.

Die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen sind Methoden, die auf der Faktorisierung von Ausdrücken, der Isolierung eines vollständigen Quadrats, der Verwendung der Eigenschaften einer quadratischen Gleichung, begrenzten Ausdrücken und Schätzmethoden basieren. Die Gleichung wird normalerweise in eine Form umgewandelt, aus der ein System zum Finden der Unbekannten abgeleitet werden kann.

Faktorisierung

Beispiel 1.

Lösen Sie die Gleichung: xy – 2 = 2x – y.

Lösung.

Wir gruppieren die Begriffe zum Zweck der Faktorisierung:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Aus jeder Klammer entnehmen wir einen gemeinsamen Faktor:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Wir haben:

y = 2, x – jede reelle Zahl oder x = -1, y – jede reelle Zahl.

Auf diese Weise, Die Antwort sind alle Paare der Form (x; 2), x € R und (-1; y), y € R.

Gleichheit nicht negativer Zahlen mit Null

Beispiel 2.

Lösen Sie die Gleichung: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Lösung.

Gruppierung:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nun kann jede Klammer mit der quadrierten Differenzformel gefaltet werden.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Die Summe zweier nichtnegativer Ausdrücke ist nur dann Null, wenn 3x – 2 = 0 und 2y – 3 = 0.

Das bedeutet x = 2/3 und y = 3/2.

Antwort: (2/3; 3/2).

Schätzmethode

Beispiel 3.

Lösen Sie die Gleichung: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Lösung.

In jeder Klammer wählen wir ein vollständiges Quadrat aus:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Lassen Sie uns schätzen die Bedeutung der Ausdrücke in Klammern.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 und (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, dann ist die linke Seite der Gleichung immer mindestens 2. Gleichheit ist möglich, wenn:

(x + 1) 2 + 1 = 1 und (y – 2) 2 + 2 = 2, was x = -1, y = 2 bedeutet.

Antwort: (-1; 2).

Machen wir uns mit einer anderen Methode zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen zweiten Grades vertraut. Diese Methode besteht darin, die Gleichung als zu behandeln Quadrat in Bezug auf eine Variable.

Beispiel 4.

Lösen Sie die Gleichung: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Lösung.

Lösen wir die Gleichung als quadratische Gleichung für x. Finden wir die Diskriminante:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Die Gleichung hat nur dann eine Lösung, wenn D = 0, also wenn y = 4. Wir setzen den Wert von y in die ursprüngliche Gleichung ein und stellen fest, dass x = 3.

Antwort: (3; 4).

Sie geben oft in Gleichungen mit zwei Unbekannten an Einschränkungen für Variablen.

Beispiel 5.

Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Lösung.

Schreiben wir die Gleichung in der Form x 2 = -5y 2 + 20x + 2 um. Die rechte Seite der resultierenden Gleichung ergibt bei Division durch 5 einen Rest von 2. Daher ist x 2 nicht durch 5 teilbar. Aber das Quadrat von a Eine Zahl, die nicht durch 5 teilbar ist, ergibt einen Rest von 1 oder 4. Daher ist Gleichheit unmöglich und es gibt keine Lösungen.

Antwort: keine Wurzeln.

Beispiel 6.

Lösen Sie die Gleichung: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Lösung.

Lassen Sie uns die vollständigen Quadrate in jeder Klammer hervorheben:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Die linke Seite der Gleichung ist immer größer oder gleich 3. Gleichheit ist möglich, vorausgesetzt |x| – 2 = 0 und y + 3 = 0. Somit ist x = ± 2, y = -3.

Antwort: (2; -3) und (-2; -3).

Beispiel 7.

Für jedes Paar negativer Ganzzahlen (x;y), die die Gleichung erfüllen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, berechne die Summe (x + y). Bitte geben Sie in Ihrer Antwort den kleinsten Betrag an.

Lösung.

Wählen wir vollständige Quadrate aus:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Da x und y ganze Zahlen sind, sind auch ihre Quadrate ganze Zahlen. Wir erhalten die Summe der Quadrate zweier ganzen Zahlen gleich 37, wenn wir 1 + 36 addieren. Daher:

(x – y) 2 = 36 und (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 und (y + 2) 2 = 36.

Wenn wir diese Systeme lösen und berücksichtigen, dass x und y negativ sind, finden wir Lösungen: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Antwort: -17.

Verzweifeln Sie nicht, wenn Sie Schwierigkeiten haben, Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen. Mit ein wenig Übung können Sie mit jeder Gleichung umgehen.

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