Der Umfang ist die Summe aller Seiten einer Figur. Diese Eigenschaft ist neben der Fläche bei allen Figuren gleichermaßen gefragt. Die Formel für den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks ergibt sich logisch aus seinen Eigenschaften, ist aber nicht so kompliziert wie der Erwerb und die Festigung praktischer Fähigkeiten.

Formel zur Berechnung des Umfangs

Die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks sind einander gleich. Dies ergibt sich aus der Definition und ist bereits aus dem Namen der Figur deutlich ersichtlich. Aus dieser Eigenschaft leitet sich die Umfangsformel ab:

P=2a+b, wobei b die Basis des Dreiecks und a der Seitenwert ist.

Reis. 1. Gleichschenkliges Dreieck

Aus der Formel geht hervor, dass es ausreicht, die Größe der Basis und einer der Seiten zu kennen, um den Umfang zu ermitteln. Betrachten Sie mehrere Probleme, um den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks zu ermitteln. Wir werden Probleme lösen, deren Komplexität zunimmt. Dies wird es uns ermöglichen, die Denkweise besser zu verstehen, die zur Ermittlung des Umfangs befolgt werden muss.

Problem 1

• In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Basis 6 und die zu dieser Basis gezeichnete Höhe beträgt 4. Es ist notwendig, den Umfang der Figur zu ermitteln.

Reis. 2. Zeichnen für Aufgabe 1

Die Höhe eines zur Basis gezogenen gleichschenkligen Dreiecks ist gleichzeitig der Mittelwert und die Höhe. Diese Eigenschaft wird sehr häufig bei der Lösung von Problemen mit gleichschenkligen Dreiecken verwendet.

Das Dreieck ABC mit der Höhe BM ist in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt: ABM und BCM. Im Dreieck ABM ist der Schenkel BM bekannt, der Schenkel AM ist gleich der halben Basis des Dreiecks ABC, da BM die mittlere Winkelhalbierende und Höhe ist. Mit dem Satz des Pythagoras ermitteln wir den Wert der Hypotenuse AB.

$$АВ^2=AM^2+BM^2$$

$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Finden wir den Umfang: P=AC+AB*2=6+5*2=16

Problem 2

• In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Höhe zur Basis 10 und der spitze Winkel an der Basis 30 Grad. Sie müssen den Umfang des Dreiecks ermitteln.

Reis. 3. Zeichnen für Aufgabe 2

Diese Aufgabe wird durch das Fehlen von Informationen über die Seiten des Dreiecks erschwert, aber wenn Sie den Wert der Höhe und des Winkels kennen, können Sie im rechtwinkligen Dreieck ABH das Bein AH finden, und dann folgt die Lösung dem gleichen Szenario wie in Problem 1.

Finden wir AH durch den Wert des Sinus:

$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ – der Sinus von 30 Grad ist ein Tabellenwert.

Lassen Sie uns die gewünschte Seite ausdrücken:

$$AB=((BH\over (1\over 2))) =BH*2=10*2=20$$

Mithilfe des Kotangens ermitteln wir den Wert von AH:

$$ctg(BAH)=(AH\over BH)=(1\over\sqrt(3))$$

$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17.32$$ – Runden Sie den resultierenden Wert auf das nächste Hundertstel.

Finden wir die Basis:

AC=AH*2=17,32*2=34,64

Nachdem nun alle erforderlichen Werte gefunden wurden, bestimmen wir den Umfang:

P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64

Problem 3

• Das gleichschenklige Dreieck ABC hat eine Fläche von $$16\over\sqrt(3)$$ und einen spitzen Winkel an der Basis von 30 Grad. Finden Sie den Umfang des Dreiecks.

Die Werte in der Bedingung werden oft als Produkt aus Wurzel und Zahl angegeben. Dies geschieht, um die spätere Lösung so weit wie möglich vor Fehlern zu schützen. Es ist besser, das Ergebnis am Ende der Berechnungen zu runden

Bei dieser Formulierung des Problems scheint es, als gäbe es keine Lösungen, da es schwierig ist, eine der Seiten oder die Höhe anhand der verfügbaren Daten auszudrücken. Versuchen wir es anders zu lösen.

Bezeichnen wir die Höhe und die Hälfte der Basis mit lateinischen Buchstaben: BH=h und AH=a

Dann ist die Basis gleich: AC=AH+HC=AH*2=2a

Fläche: $$S=(1\over 2)*AC*BH=(1\over 2)*2a*h=ah$$

Andererseits kann der Wert von h aus dem Dreieck ABH als Tangens des spitzen Winkels ausgedrückt werden. Warum Tangente? Denn im Dreieck ABH haben wir bereits zwei Schenkel a und h bezeichnet. Das eine muss durch das andere ausgedrückt werden. Zwei Beine verbinden miteinander Tangens und Kotangens. Traditionell werden Kotangens und Kosinus nur verwendet, wenn Tangens oder Sinus nicht passen. Dies ist keine Regel, Sie können entscheiden, wie es Ihnen passt, es wird einfach akzeptiert.

$$tg(BAH)=(h\over(a))=(1\over\sqrt(3))$$

$$h=(a\over\sqrt(3))$$

Setzen wir den resultierenden Wert in die Flächenformel ein.

$$S=a*h=a*(a\over\sqrt(3))=((a^2)\over\sqrt(3))$$

Lassen Sie uns Folgendes ausdrücken:

$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$

Setzen Sie den Wert von a in die Flächenformel ein und bestimmen Sie den Wert der Höhe:

$$S=a*h=(16\over\sqrt(3))$$

$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2.31$$- erhaltener Wert Lassen Sie uns runden auf das nächste Hundertstel.

Mit dem Satz des Pythagoras ermitteln wir die Seitenseite des Dreiecks:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2.31^2)=4.62$$

Setzen wir die Werte in die Umfangsformel ein:

P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24

Was haben wir gelernt?

Wir haben alle Feinheiten der Bestimmung des Umfangs eines gleichschenkligen Dreiecks im Detail verstanden. Wir haben drei Probleme unterschiedlicher Komplexität gelöst und anhand eines Beispiels gezeigt, wie typische Probleme zur Lösung eines gleichschenkligen Dreiecks gelöst werden.

Test zum Thema

Artikelbewertung

Durchschnittliche Bewertung: 4.4. Insgesamt erhaltene Bewertungen: 83.

Umfang eines Dreiecks, wie bei jeder Figur, wird die Summe der Längen aller Seiten genannt. Sehr oft hilft dieser Wert, die Fläche zu finden oder wird zur Berechnung anderer Parameter der Figur verwendet.
Die Formel für den Umfang eines Dreiecks sieht folgendermaßen aus:

Ein Beispiel für die Berechnung des Umfangs eines Dreiecks. Gegeben sei ein Dreieck mit den Seiten a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Setze die Daten in die Formel ein: cm

Formel zur Berechnung des Umfangs gleichschenkligen Dreiecks wird so aussehen:

Formel zur Berechnung des Umfangs gleichseitiges Dreieck:

Ein Beispiel für die Berechnung des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks. Wenn alle Seiten einer Figur gleich sind, können sie einfach mit drei multipliziert werden. Angenommen, wir erhalten ein regelmäßiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 5 cm, in diesem Fall: cm

Wenn alle Seiten angegeben sind, ist es im Allgemeinen recht einfach, den Umfang zu ermitteln. In anderen Situationen müssen Sie die Größe der fehlenden Seite ermitteln. In einem rechtwinkligen Dreieck finden Sie die dritte Seite Satz des Pythagoras. Wenn beispielsweise die Länge der Beine bekannt ist, können Sie die Hypotenuse mithilfe der Formel ermitteln:

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung des Umfangs eines gleichschenkligen Dreiecks, vorausgesetzt, wir kennen die Länge der Schenkel in einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck.
Gegeben sei ein Dreieck mit den Beinen a =b =5 cm. Finden Sie den Umfang. Suchen wir zunächst die fehlende Seite c. cm
Berechnen wir nun den Umfang: cm
Der Umfang eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks beträgt 17 cm.

Wenn die Hypotenuse und die Länge eines Beins bekannt sind, können Sie die fehlende Hypotenuse mit der Formel finden:
Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse und einer der spitzen Winkel bekannt sind, dann wird die fehlende Seite mit der Formel ermittelt.

Jedes Dreieck ist gleich der Summe der Längen seiner drei Seiten. Allgemeine Formel zum Ermitteln des Umfangs von Dreiecken:

P = A + B + C

Wo P ist der Umfang des Dreiecks, A, B Und C- seine Seiten.

Sie finden es, indem Sie nacheinander die Längen seiner Seiten addieren oder indem Sie die Länge der Seite mit 2 multiplizieren und die Länge der Basis zum Produkt addieren. Die allgemeine Formel zum Ermitteln des Umfangs gleichschenkliger Dreiecke sieht folgendermaßen aus:

P = 2A + B

Wo P ist der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, A- eine der Seiten, B- Basis.

Sie können ihn finden, indem Sie die Längen seiner Seiten nacheinander addieren oder indem Sie die Länge einer seiner Seiten mit 3 multiplizieren. Die allgemeine Formel zum Ermitteln des Umfangs gleichseitiger Dreiecke sieht folgendermaßen aus:

P = 3A

Wo P ist der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks, A- jede seiner Seiten.

Quadrat

Um die Fläche eines Dreiecks zu messen, können Sie es mit einem Parallelogramm vergleichen. Betrachten Sie ein Dreieck ABC:

Wenn Sie ein gleichwertiges Dreieck nehmen und es so platzieren, dass ein Parallelogramm entsteht, erhalten Sie ein Parallelogramm mit derselben Höhe und Grundfläche wie das gegebene Dreieck:

In diesem Fall ist die gemeinsame Seite der zusammengefalteten Dreiecke die Diagonale des gebildeten Parallelogramms. Aus den Eigenschaften von Parallelogrammen ist bekannt, dass die Diagonale das Parallelogramm immer in zwei gleiche Dreiecke teilt, was bedeutet, dass die Fläche jedes Dreiecks gleich der Hälfte der Fläche des Parallelogramms ist.

Da die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt aus seiner Grundfläche und seiner Höhe ist, entspricht die Fläche des Dreiecks der Hälfte dieses Produkts. Also für Δ ABC Die Fläche wird gleich sein

Betrachten Sie nun ein rechtwinkliges Dreieck:

Zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke können zu einem Rechteck gefaltet werden, indem man ihre Hypotenuse aneinander legt. Da die Fläche eines Rechtecks ​​gleich dem Produkt seiner angrenzenden Seiten ist, beträgt die Fläche eines gegebenen Dreiecks:

Daraus können wir schließen, dass die Fläche jedes rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Produkt der Schenkel dividiert durch 2 ist.

Aus diesen Beispielen können wir das schließen Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem Produkt aus der Länge der Grundfläche und der Höhe der Grundfläche dividiert durch 2. Die allgemeine Formel zum Ermitteln der Fläche von Dreiecken sieht folgendermaßen aus:

S =	ah a
	2

Wo S ist die Fläche des Dreiecks, A- sein Fundament, h a- Höhe auf die Basis abgesenkt A.

Vorabinformationen

Der Umfang einer flachen geometrischen Figur auf einer Ebene ist definiert als die Summe der Längen aller ihrer Seiten. Das Dreieck ist hier keine Ausnahme. Zunächst stellen wir das Konzept eines Dreiecks sowie die Dreieckstypen in Abhängigkeit von den Seiten vor.

Definition 1

Wir nennen ein Dreieck eine geometrische Figur, die aus drei Punkten besteht, die durch Segmente miteinander verbunden sind (Abb. 1).

Definition 2

Im Rahmen der Definition 1 nennen wir die Punkte die Eckpunkte des Dreiecks.

Definition 3

Im Rahmen der Definition 1 werden die Segmente Seiten des Dreiecks genannt.

Offensichtlich hat jedes Dreieck drei Eckpunkte und drei Seiten.

Abhängig vom Verhältnis der Seiten zueinander werden Dreiecke in ungleichseitige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke unterteilt.

Definition 4

Wir nennen ein Dreieck skalenförmig, wenn keine seiner Seiten einer anderen gleich ist.

Definition 5

Wir nennen ein Dreieck gleichschenklig, wenn zwei seiner Seiten einander gleich sind, aber nicht gleich der dritten Seite.

Definition 6

Wir nennen ein Dreieck gleichseitig, wenn alle seine Seiten einander gleich sind.

Sie können alle Arten dieser Dreiecke in Abbildung 2 sehen.

Wie finde ich den Umfang eines ungleichseitigen Dreiecks?

Gegeben sei ein ungleichseitiges Dreieck, dessen Seitenlängen gleich $α$, $β$ und $γ$ sind.

Abschluss: Um den Umfang eines ungleichseitigen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie alle Längen seiner Seiten addieren.

Beispiel 1

Finden Sie den Umfang des ungleichseitigen Dreiecks, der $34$ cm, $12$ cm und $11$ cm entspricht.

$P=34+12+11=57$cm

Antwort: 57 $ cm.

Beispiel 2

Finden Sie den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Schenkel 6$ und 8$ cm lang sind.

Lassen Sie uns zunächst die Länge der Hypotenusen dieses Dreiecks mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln. Bezeichnen wir es also mit $α$

$α=10$ Gemäß der Regel zur Berechnung des Umfangs eines ungleichseitigen Dreiecks erhalten wir

$P=10+8+6=24$ cm

Antwort: $24$ siehe.

Wie finde ich den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks?

Nehmen wir ein gleichschenkliges Dreieck, die Seitenlängen betragen $α$ und die Grundlänge beträgt $β$.

Das erhalten wir, indem wir den Umfang einer flachen geometrischen Figur bestimmen

$P=α+α+β=2α+β$

Abschluss: Um den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks zu ermitteln, addieren Sie die doppelte Länge seiner Seiten zur Länge seiner Grundfläche.

Beispiel 3

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Seiten 12 cm und dessen Grundfläche 11 cm betragen.

Anhand des oben besprochenen Beispiels sehen wir das

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Antwort: 35 $ cm.

Beispiel 4

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn seine Höhe zur Basis $8$ cm beträgt und die Basis $12$ cm beträgt.

Schauen wir uns die Zeichnung entsprechend den Problembedingungen an:

Da das Dreieck gleichschenklig ist, ist $BD$ auch der Median, also $AD=6$ cm.

Mit dem Satz des Pythagoras ermitteln wir aus dem Dreieck $ADB$ die laterale Seite. Bezeichnen wir es also mit $α$

Nach der Regel zur Berechnung des Umfangs eines gleichschenkligen Dreiecks erhalten wir

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Antwort: $32$ siehe.

Wie finde ich den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks?

Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck, dessen Längen aller Seiten gleich $α$ sind.

Das erhalten wir, indem wir den Umfang einer flachen geometrischen Figur bestimmen

$P=α+α+α=3α$

Abschluss: Um den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks zu ermitteln, multiplizieren Sie die Seitenlänge des Dreiecks mit $3$.

Beispiel 5

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Seitenlänge $12$ cm beträgt.

Anhand des oben besprochenen Beispiels sehen wir das

$P=3\cdot 12=36$ cm

Vorabinformationen

Der Umfang einer flachen geometrischen Figur auf einer Ebene ist definiert als die Summe der Längen aller ihrer Seiten. Das Dreieck ist hier keine Ausnahme. Zunächst stellen wir das Konzept eines Dreiecks sowie die Dreieckstypen in Abhängigkeit von den Seiten vor.

Definition 1

Wir nennen ein Dreieck eine geometrische Figur, die aus drei Punkten besteht, die durch Segmente miteinander verbunden sind (Abb. 1).

Definition 2

Im Rahmen der Definition 1 nennen wir die Punkte die Eckpunkte des Dreiecks.

Definition 3

Im Rahmen der Definition 1 werden die Segmente Seiten des Dreiecks genannt.

Offensichtlich hat jedes Dreieck drei Eckpunkte und drei Seiten.

Abhängig vom Verhältnis der Seiten zueinander werden Dreiecke in ungleichseitige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke unterteilt.

Definition 4

Wir nennen ein Dreieck skalenförmig, wenn keine seiner Seiten einer anderen gleich ist.

Definition 5

Wir nennen ein Dreieck gleichschenklig, wenn zwei seiner Seiten einander gleich sind, aber nicht gleich der dritten Seite.

Definition 6

Wir nennen ein Dreieck gleichseitig, wenn alle seine Seiten einander gleich sind.

Sie können alle Arten dieser Dreiecke in Abbildung 2 sehen.

Wie finde ich den Umfang eines ungleichseitigen Dreiecks?

Gegeben sei ein ungleichseitiges Dreieck, dessen Seitenlängen gleich $α$, $β$ und $γ$ sind.

Abschluss: Um den Umfang eines ungleichseitigen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie alle Längen seiner Seiten addieren.

Beispiel 1

Finden Sie den Umfang des ungleichseitigen Dreiecks, der $34$ cm, $12$ cm und $11$ cm entspricht.

$P=34+12+11=57$cm

Antwort: 57 $ cm.

Beispiel 2

Finden Sie den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Schenkel 6$ und 8$ cm lang sind.

Lassen Sie uns zunächst die Länge der Hypotenusen dieses Dreiecks mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln. Bezeichnen wir es also mit $α$

$α=10$ Gemäß der Regel zur Berechnung des Umfangs eines ungleichseitigen Dreiecks erhalten wir

$P=10+8+6=24$ cm

Antwort: $24$ siehe.

Wie finde ich den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks?

Nehmen wir ein gleichschenkliges Dreieck, die Seitenlängen betragen $α$ und die Grundlänge beträgt $β$.

Das erhalten wir, indem wir den Umfang einer flachen geometrischen Figur bestimmen

$P=α+α+β=2α+β$

Abschluss: Um den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks zu ermitteln, addieren Sie die doppelte Länge seiner Seiten zur Länge seiner Grundfläche.

Beispiel 3

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Seiten 12 cm und dessen Grundfläche 11 cm betragen.

Anhand des oben besprochenen Beispiels sehen wir das

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Antwort: 35 $ cm.

Beispiel 4

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn seine Höhe zur Basis $8$ cm beträgt und die Basis $12$ cm beträgt.

Schauen wir uns die Zeichnung entsprechend den Problembedingungen an:

Da das Dreieck gleichschenklig ist, ist $BD$ auch der Median, also $AD=6$ cm.

Mit dem Satz des Pythagoras ermitteln wir aus dem Dreieck $ADB$ die laterale Seite. Bezeichnen wir es also mit $α$

Nach der Regel zur Berechnung des Umfangs eines gleichschenkligen Dreiecks erhalten wir

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Antwort: $32$ siehe.

Wie finde ich den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks?

Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck, dessen Längen aller Seiten gleich $α$ sind.

Das erhalten wir, indem wir den Umfang einer flachen geometrischen Figur bestimmen

$P=α+α+α=3α$

Abschluss: Um den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks zu ermitteln, multiplizieren Sie die Seitenlänge des Dreiecks mit $3$.

Beispiel 5

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Seitenlänge $12$ cm beträgt.

Anhand des oben besprochenen Beispiels sehen wir das

$P=3\cdot 12=36$ cm