Dispersion. Die kontinuierliche Zufallsvariable X, die möglichen Werte, deren der gesamten Achse OH gehören, wird von der Gleichheit bestimmt: 
Ernennung des Dienstes.. Online-Rechner soll Probleme lösen, in denen entweder vertriebsdichte f (x) oder die Verteilungsfunktion f (x) (siehe Beispiel). In der Regel in solchen Aufgaben, die Sie finden möchten mathematische Erwartung, sekundäre quadratische Abweichung, Baudiagramme der Funktionen F (x) und f (x).
Anweisung. Wählen Sie den Typ der Quelldaten aus: Distributionsdichte F (x) oder F (x) Verteilungsfunktion.
Die Dichte der Verteilung f (x) ist angegeben: 
Die Verteilungsfunktion F (x) ist angegeben: 
Kontinuierlicher zufälliger Wert wird durch Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben 
(Das Gesetz des Relais wird im Funktechnik angewendet). Finden Sie m (x), d (x).
Casual-Wert X angerufen kontinuierlich.
Wenn seine Funktion der Verteilung f (x) \u003d p (x< x) непрерывна и имеет производную.
Die Funktion der Verteilung einer kontinuierlichen zufälligen Variablen wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeiten der ankommenden zufälligen Varianz mit einem bestimmten Lücken zu berechnen:
P (α.< X < β)=F(β) - F(α)
darüber hinaus ist es für eine kontinuierliche Zufallsvariable keine Rolle, es wird während dieses Intervalls seiner Grenze eingeschaltet oder nicht:
P (α.< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Vertriebsdichte
Kontinuierliche Zufallsvariable namens Funktion
f (x) \u003d f '(x), abgeleitet aus der Verteilungsfunktion.
Verteilungsdichteeigenschaften
1. Die Dichte der Verteilung einer zufälligen Variablen ist für alle X-Werte nicht negativ (f (x) ≥ 0).2. Normaler Zustand:
Die geometrische Bedeutung der Normalisierungsbedingungen: Der Bereich unter der Verteilungsdichtekurve ist eins.
Die Wahrscheinlichkeit einer ankommenden zufälligen Abweichung x in den Spalt von α bis β kann durch die Formel berechnet werden
Die geometrische Wahrscheinlichkeit, die kontinuierliche Zufallsgröße x in den Spalt (α, β) in den Spalt (α, β) zu kontaktieren, ist gleich dem Bereich der curvilinearen Trapez unter der Verteilungsdichtekurve, basierend auf dieser Spalt.
4. Die Verteilungsfunktion wird durch die Dichte wie folgt ausgedrückt:
Der Wert der Verteilungsdichte an Punkt X ist nicht gleich der Wahrscheinlichkeit, diesen Wert zu nehmen, für eine kontinuierliche zufällige Variable, kann es nur um die Wahrscheinlichkeit, dass das angegebene Intervall eintritt. Let (\\ displaystyle m [x]) oder E [x] (\\ displaystyle \\ mathbb (e) [x]). M [x] \u003d ∫ ω x (ω) p (d ω). (\\ Displaystyle m [x] \u003d \\ int \\ limits _ (\\ omega) \\! X (\\ \\ \\ \\ omga) \\, \\ mathbb (p) (d \\ omega).)
Hauptformeln für mathematische Erwartungen
M [x] \u003d ∫ - ∞ ∞ x d f x (x); X ∈ R (\\ DisplayStyle M [X] \u003d \\ Int \\ Limits _ (\\ \\ fashy) ^ (\\ fashty) \\! X \\, DF_ (X) (X); X \\ In \\ MathBB (R)).
Mathematisches Warten auf diskrete Verteilung
P (x \u003d xi) \u003d pi, Σ i \u003d 1 ∞ pi \u003d 1 (\\ displaystyle \\ mathbb (p) (x \u003d x_ (i)) \u003d p_ (i), \\; \\ sum \\ limits _ (i \u003d 1 ) ^ (\\ flyy) p_ (i) \u003d 1),dann folgt dann direkt von der Bestimmung des Leboret-Integrals
M [x] \u003d Σ i \u003d 1 ∞ i p i (\\ displaystyle m [x] \u003d \\ sum \\ limits _ (i \u003d 1) ^ (\\ fashty) x_ (i) \\, p_ (i)).Mathematische Erwartung eines ganzzahligen Wertes
P (x \u003d j) \u003d p j, j \u003d 0, 1 ,. . . ; Σ j \u003d 0 ∞ pj \u003d 1 (\\ displaystyle \\ mathbb (p) (x \u003d j) \u003d p_ (j), \\; j \u003d 0,1, ...; \\ quad \\ sum \\ limits _ (j \u003d 0) ^ (\\ fashty) p_ (j) \u003d 1)es kann durch seine mathematische Erwartung durch eine sequenzherstellende Funktion ausgedrückt werden. (P i) (\\ displaystyle \\ (p_ (i) \\))
P (s) \u003d Σ k \u003d 0 ∞ p k s k (\\ displaystyle p (s) \u003d \\ sum _ (k \u003d 0) ^ (\\ fashty) \\; p_ (k) s ^ (k))wie der Wert des ersten Derivats in einem: M [x] \u003d p '(1) (\\ displaystyle m [x] \u003d p "(1)). Wenn mathematische Erwartung X (\\ displaystyle x) Unendlich, T. LIM S → 1 P '(S) \u003d ∞ (\\ displaystyle \\ lim _ (s \\ to 1) p "(s \\ to 1) p" (s \\ t) \u003d \\ fanty) Und wir werden schreiben P '(1) \u003d m [x] \u003d ∞ (\\ displaystyle p "(1) \u003d m [x] \u003d \\ flyy)
Jetzt nehmen wir eine Produktionsfunktion Q (s) (\\ displaystyle q (s)) Sequenzen der Verteilung "Tailings" (q k) (\\ displaystyle \\ (q_ (k) \\))
q k \u003d p (x\u003e k) \u003d σ j \u003d k + 1 ∞ p j; Q (s) \u003d Σ k \u003d 0 ∞ q k k. (\\ displaystyle q_ (k) \u003d \\ mathbb (p) (x\u003e k) \u003d \\ sum _ (j \u003d k + 1) ^ (\\ fashty) (p_ (j)); \\ Quad q (s) \u003d \\ sum _ (k \u003d 0) ^ (\\ fmty) \\; q_ (k) s ^ (k).)Diese Produktionsfunktion ist einer zuvor definierten Funktion zugeordnet. P (s) (\\ displaystyle p (s)) Eigentum: Q (s) \u003d 1 - P (s) 1 - s (\\ displaystyle q (s) \u003d (\\ frac (1-p (s)) (1-s))) zum | S |< 1 {\displaystyle |s|<1} . Daraus im Durchschnitts-Satz folgt, dass die mathematische Erwartung gleichermaßen die Bedeutung dieser Funktion in einem ist:
M [x] \u003d p '(1) \u003d q (1) (\\ displaystyle m [x] \u003d p "(1) \u003d q (1))Mathematische Erwartung der absolut kontinuierlichen Verteilung
M [x] \u003d ∫ - ∞ ∞ ∞ xf x (x) dx (\\ displaystyle m [x] \u003d \\ int \\ limits _ (- \\ fashty) ^ (\\ fashty) \\! Xf_ (x) (x) \\, dx ).Mathematische Erwartung eines zufälligen Vektors
Lassen X \u003d (x 1, ..., xn) ⊤: ω → R n (\\ displaystyle x \u003d (x_ (1), \\ dots, x_ (n)) \\ (\\ top) \\ colon \\ omega \\ to \\ mathbb (R) ^ (n)) - Casual Vector. Dann per Definition.
M [x] \u003d (m [x 1], ..., m [x n]) ⊤ (\\ displaystyle m [x] \u003d (m, \\ dots, m) ^ (\\ top)),das heißt, die mathematische Erwartung des Vektors wird vom Pomoponent bestimmt.
Mathematische Erwartung einer zufälligen variablen Konvertierung
Lassen G: R → R (\\ DisplayStyle G \\ Colon \\ MathBB (R) \\ to \\ MathBB (R)) - Borel-Funktion, so dass zufällig Y \u003d g (x) (\\ displaystyle y \u003d g (x)) Es hat eine endliche mathematische Erwartung. Dann ist die Formel für ihn fair
M [g (x)] \u003d Σ i \u003d 1 ∞ g (xi) pi, (\\ displaystyle m \\ linde \u003d \\ sum \\ limits _ (i \u003d 1) ^ (\\ fashty) g (x_ (i)) p_ ( ich),)wenn ein X (\\ displaystyle x) hat eine diskrete Verteilung;
M [g (x)] \u003d ∫ - ∞ ∞ g (x) f x (x) dx, (\\ displaystyle m \\ linde \u003d \\ int \\ limits _ (- \\ fashty) ^ (\\ flyy) \\! G (x) F_ (x) (x) \\, dx,)wenn ein X (\\ displaystyle x) Es hat absolut kontinuierliche Verteilung.
Wenn die Verteilung P x (\\ displaystyle \\ mathbb (p) ^ (x)) Zufällige Variable X (\\ displaystyle x) Allgemeine Form, dann
M [g (x)] \u003d ∫ - ∞ ∞ g (x) p x (d x). (\\ DisplayStyle m \\ linsen \u003d \\ int \\ limits _ (- \\ inmTy) ^ (\\ fashty) \\! g (x) \\, \\ mathbb (p) ^ ^ (x) (dx).)In einem Sonderfall, wenn G (x) \u003d x k (\\ displaystyle g (x) \u003d x ^ (k)), erwarteter Wert M [g (x)] \u003d m [x k] (\\ displaystyle m \u003d m) namens K (\\ displaystyle k)- Moment der zufälligen Variablen.
Die einfachsten Eigenschaften der mathematischen Erwartung
- Die mathematische Erwartung der Zahl ist die Nummer.
- Mathematische Erwartung linear, das ist
Es gibt Aufgaben für eine unabhängige Lösung, auf die Sie die Antworten sehen können.
Mathematische Erwartung und Dispersion - meist angewandte numerische Eigenschaften einer zufälligen Variablen. Sie charakterisieren die wichtigsten Verteilungsmerkmale: seine Position und der Dispergiergrad. Die mathematische Erwartung wird oft als einfacher mittlerer Wert bezeichnet. zufällige Variable. Zufällige Varianz - Dispersionsmerkmale, zufällige Varianz In der Nähe ihrer mathematischen Erwartung.
In vielen Aufgaben ist die Praxis abgeschlossen, ein umfassendes Merkmal einer zufälligen Variablen - das Verteilungsgesetz - oder kann nicht erhalten werden oder überhaupt nicht erforderlich. In diesen Fällen begrenzt durch eine ungefähre Beschreibung einer zufälligen Variablen mit numerischen Eigenschaften.
Mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen
Kommen wir zum Konzept der mathematischen Erwartung. Lassen Sie die Masse einiger Substanz zwischen den Abszisse-Achsenpunkten verteilt x.1 , x.2 , ..., x.n.. In diesem Fall hat jeder Materialpunkt eine entsprechende Masse mit einer Wahrscheinlichkeit von p.1 , p.2 , ..., p.n.. Es ist erforderlich, einen Punkt auf der ABScissa-Achse auszuwählen, der die Position des gesamten Materials von Materialpunkten charakterisiert, wobei ihre Massen berücksichtigt werden. Nutzen Sie natürlich als solcher Punkt die Mitte des Massensystems von Materialpunkten. Dies ist der durchschnittliche gewichtete Wert einer zufälligen Variablen. X.Welches ist die Abszisse von jedem Punkt? x.iCH. Es tritt in das "Gewicht" ein, das der entsprechenden Wahrscheinlichkeit entspricht. Der durchschnittliche Wert der so erhaltenen Zufallsvariablen X. Es heißt seine mathematische Erwartung.
Die mathematische Erwartung der diskreten Zufallsvariablen ist der Betrag von Werken aller möglichen Werte über die Wahrscheinlichkeit dieser Werte:
Beispiel 1. Eine Win-Win-Lotterie ist organisiert. Es gibt 1000 Gewinne, von denen 400 10 Rubel sind. 300 - 20 Rubel. 200 - 100 Rubel. und 100 - 200 Rubel. Was ist die durchschnittliche Win-Größe für ein Ticket für ein Ticket?
Entscheidung. Die durchschnittlichen Gewinne finden wir, wenn die Gesamtbetrag der Gewinne, die gleich 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 \u003d 50.000 Rubel sind, von 1000 (Gesamtgewinne) teilen. Dann erhalten wir 50000/1000 \u003d 50 Rubel. Der Ausdruck für die durchschnittliche Gewinnberechnung kann jedoch wie folgt dargestellt werden:
Andererseits ist in diesen Bedingungen die Gewinnmenge ein zufälliger Wert, der Werte 10, 20, 100 und 200 Rubel dauern kann. mit Wahrscheinlichkeiten gleich 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Folglich ist die erwarteten durchschnittlichen Gewinne gleich der Menge der Produktgröße der Gewinne auf der Wahrscheinlichkeit ihrer Quittung.
Beispiel 2. Der Herausgeber beschloss, ein neues Buch zu veröffentlichen. Es wird das Buch für 280 Rubel verkaufen, von dem sich 200 erhielt, 50 - Buchhandlung und 30 Autor. Die Tabelle enthält Informationen über die Kosten für die Veröffentlichung eines Buches und der Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Kopien des Buches zu verkaufen.
Finden Sie den erwarteten Gewinnverlag.
Entscheidung. Zufällige Größenordnung "Gewinn" entspricht dem Umsatzunterschied aus dem Verkauf und den Kostenkosten. Wenn zum Beispiel 500 Kopien des Buches verkauft werden, beträgt die Erträge aus dem Verkauf 200 * 500 \u003d 100000, und die Auflagekosten beträgt 225.000 Rubel. So droht der Herausgeber einen Verlust von 125.000 Rubel. Die folgende Tabelle fasst die erwarteten Werte der Zufallsvariablen zusammen - Gewinne:
| Nummer | Profitieren x.iCH. | Wahrscheinlichkeit p.iCH. | x.iCH. p.iCH. |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Gesamt: | 1,00 | 25000 |
So erhalten wir eine mathematische Erwartung der Gewinne des Herausgebers:
.
Beispiel 3. Wahrscheinlichkeit, einen Schuss zu treffen p. \u003d 0,2. Bestimmen Sie die Fließgebühren, die eine mathematische Erwartung der Anzahl von Treffern entsprechen, gleich 5.
Entscheidung. Von derselben Formel für die Erwartung, die wir bisher benutzt haben, drücken x. - Verbrauch von Muscheln:
.
Beispiel 4. Bestimmen Sie die mathematische Erwartung einer zufälligen Variablen x. die Anzahl der Treffer an drei Schüssen, wenn die Wahrscheinlichkeit, jeden Schuss zu treffen p. = 0,4 .
Tipp: Die Wahrscheinlichkeit von zufälligen Werten zu finden bernoulli-Formel. .
Eigenschaften der mathematischen Erwartung
Betrachten Sie die Eigenschaften der mathematischen Erwartung.
Eigentum 1.Die mathematische Erwartung eines permanenten Wertes ist gleich dieser Konstante:
Eigenschaft 2.Ein dauerhafter Multiplizierer kann für ein Zeichen der mathematischen Erwartung erfolgen:
Eigenschaft 3.Die mathematische Erwartung des Betrags (Differenz) von zufälligen Variablen entspricht dem Betrag (Differenz) ihrer mathematischen Erwartungen:
Eigentum 4.Die mathematische Erwartung der Arbeit von zufälligen Variablen entspricht dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:
Eigenschaft 5.Wenn alle Werte der Zufallsvariablen X. Reduzieren (vergrößern) auf der gleichen Nummer VONEs wird seine mathematische Erwartung reduzieren (wird auf derselben Nummer erhöht werden:
Wenn Sie nicht auf die mathematische Erwartung beschränkt sein können
In den meisten Fällen kann nur eine mathematische Erwartung keinen zufälligen Betrag ausreichend charakterisieren.
Lass zufällige Variablen X. und Y. Angegeben durch folgende Vertriebsgesetze:
| Wert X. | Wahrscheinlichkeit |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Wert Y. | Wahrscheinlichkeit |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Die mathematischen Erwartungen dieser Werte sind gleich - Null ist gleich:
Die Art der Verteilung ist jedoch anders. Zufälliger Wert X. kann nur Werte nehmen, die wenig von der mathematischen Erwartung abweichen, sondern ein Zufallswert Y. Kann Werte erheblich von der mathematischen Erwartung abweichen. Ein ähnliches Beispiel: Durchschnittsgehalt ermöglicht es nicht, das spezifische Gewicht von hochbeschichteten Arbeitnehmern zu beurteilen. Mit anderen Worten, nach der mathematischen Erwartung ist es unmöglich, nicht zu beurteilen, welche Abweichungen von ihm zumindest im Durchschnitt möglich sind. Dazu müssen Sie eine Dispersion einer Zufallsvariablen finden.
Dispersion diskrete Zufallsvariable
Dispersion. diskrete Zufallsvariable X. Es heißt die mathematische Erwartung des Quadrats seiner Abweichung von der mathematischen Erwartung:
Durchschnittliche quadratische Abweichung der Zufallsvariablen X. Es wird als arithmetischer Wert der Quadratwurzel seiner Dispersion genannt:
.
Beispiel 5Berechnen Sie Dispersionen und mittlere quadratische Abweichungen von zufälligen Variablen X. und Y., deren Vertriebsgesetze in den oben genannten Tabellen gezeigt werden.
Entscheidung. Mathematische Erwartungen an zufällige Variablen X. und Y.Wie wurde oben gefunden, ist Null. Entsprechend der Dispersionsformel E.(h.)=E.(y.) \u003d 0 GET:
Dann die durchschnittlichen quadratischen Abweichungen von zufälligen Variablen X. und Y. bilden
.
Somit mit den gleichen mathematischen Erwartungen an die Dispersion der zufälligen Variablen X. Sehr klein, aber eine zufällige Variable Y. - Von Bedeutung. Dies ist eine Folge von Unterschieden in ihrer Verteilung.
Beispiel 6. Investor verfügt über 4 alternative Anlageprojekt. Die Tabelle fasst die Daten zum erwarteten Gewinn in diesen Projekten mit einer angemessenen Wahrscheinlichkeit zusammen.
| Projekt 1. | Projekt 2. | Projekt 3. | Projekt 4 |
| 500, P.=1 | 1000, P.=0,5 | 500, P.=0,5 | 500, P.=0,5 |
| 0, P.=0,5 | 1000, P.=0,25 | 10500, P.=0,25 | |
| 0, P.=0,25 | 9500, P.=0,25 |
Finden Sie für jede alternative mathematische Erwartung, Dispersion und sekundäre quadratische Abweichung.
Entscheidung. Wir zeigen, wie diese Werte für die dritte Alternative berechnet werden:
Die Tabelle fasst die gefundenen Werte für alle Alternativen zusammen.
Alle Alternativen sind die gleichen mathematischen Erwartungen. Dies bedeutet, dass in der Langzeitzeit jeder das gleiche Einkommen hat. Die Standardabweichung kann als Risikomesseinheit interpretiert werden - als mehr, desto größer ist das Risiko von Investitionen. Ein Investor, der kein großes Risiko möchte, wählt ein Projekt 1, da er die kleinste Standardabweichung (0) hat. Wenn der Anleger in kurzer Zeit das Risiko und den größeren Umsatz bevorzugt, wird er das Projekt mit dem größten Standardabweichung - Projekt 4 auswählen.
Eigenschaften der Dispersion.
Wir geben die Eigenschaften der Dispersion.
Eigentum 1.Die Dispersion eines konstanten Wertes ist Null:
Eigenschaft 2.Ein dauerhafter Multiplizierer kann für ein Dispersionszeichen vorgenommen werden, während er ihn auf dem Platz einsetzt:
.
Eigenschaft 3.Die Dispersion einer zufälligen Variablen ist gleich der mathematischen Erwartung des Quadrats dieses Werts, von der das Quadrat der mathematischen Erwartung des Wertes abgezogen wird:
,
wo 
.
Eigentum 4.Die Dispersion des Betrags (Differenz) von zufälligen Variablen entspricht dem Betrag (Differenz) ihrer Dispersionen:
Beispiel 7. Es ist bekannt, dass diskreter Zufallswert X. Es dauert nur zwei Werte: -3 und 7. Darüber hinaus ist eine mathematische Erwartung bekannt: E.(X.) \u003d 4. Dispersion einer diskreten Zufallsvariablen finden.
Entscheidung. Bezeichnen mit p. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Zufallswert den Wert ergreift x.1 = −3 . Dann die Wahrscheinlichkeit der Bedeutung x.2 = 7 wird 1 sein - p. . Wir leiten eine Gleichung zur mathematischen Erwartung ab:
E.(X.) = x.1 p. + x.2 (1 − p.) = −3p. + 7(1 − p.) = 4 ,
wo bekommst du Wahrscheinlichkeiten: p. \u003d 0,3 und 1 - p. = 0,7 .
Das Gesetz der Verteilung der zufälligen Variablen:
| X. | −3 | 7 |
| p. | 0,3 | 0,7 |
Die Dispersion dieser Zufallsvariablen wird von der Formel von den Dispersionseigenschaften 3 berechnet:
D.(X.) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Finden Sie eine mathematische Erwartung einer zufälligen Variablen selbst und sehen Sie dann die Entscheidung
Beispiel 8. Diskrete zufällige Variabilität. X. Dauert nur zwei Werte. Mehr von den Werten 3 dauert eine Wahrscheinlichkeit von 0,4. Darüber hinaus ist die Dispersion einer Zufallsgröße bekannt. D.(X.) \u003d 6. Finden Sie eine mathematische Erwartung einer zufälligen Variablen.
Beispiel 9. In der URN von 6 Weißen und 4 schwarzen Bällen. Aus den URNs werden 3 Bälle herausgenommen. Die Anzahl der weißen Kugeln zwischen den Kugeln der Kugeln ist eine diskrete Zufallsvariable X. . Finden Sie eine mathematische Erwartung und Dispersion dieser Zufallsvariablen.
Entscheidung. Zufälliger Wert X. Die Werte 0, 1, 2, 3 nehmen, die ihnen entsprechende Wahrscheinlichkeit kann berechnet werden die Regel der Wahrscheinlichkeitsmultiplikation . Das Gesetz der Verteilung der zufälligen Variablen:
| X. | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p. | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Daher die mathematische Erwartung dieser zufälligen Variablen:
M.(X.) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Dispersion dieser zufälligen Variablen:
D.(X.) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Mathematische Erwartung und Dispersion einer kontinuierlichen zufälligen Variablen
Für eine kontinuierliche zufällige Variable wird die mechanische Interpretation der mathematischen Erwartung dieselbe Bedeutung behalten: der Massenmitte für eine einzelne Masse, die kontinuierlich auf der Abszisse-Achse mit Dichte verteilt ist f.(x.). Im Gegensatz zu einem diskreten Zufallswert, der eine Argumentfunktion hat x.iCH. Es ändert sich in einer kontinuierlichen Zufallsvariablen, ändert sich das Argument kontinuierlich. Die mathematische Erwartung einer kontinuierlichen zufälligen Variablen ist jedoch auch mit seinem Durchschnittswert verbunden.
Um eine mathematische Erwartung und Dispersion einer ständigen Zufallsvariablen zu finden, müssen Sie bestimmte Integrale finden. . Wenn die Dichtefunktion eine kontinuierliche zufällige Variable erhält, gibt es direkt in den Integrand ein. Wenn die Wahrscangegeben ist, müssen Sie die Dichtefunktion differenzieren.
Der arithmetische Durchschnitt aller möglichen Werte der kontinuierlichen zufälligen Variablen wird aufgerufen. mathematische Erwartung.bezeichnet oder.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und in vielen ihrer Anwendungen haben verschiedene numerische Eigenschaften von zufälligen Variablen große Bedeutung. Die wichtigsten sind mathematische Erwartungen und Dispersion.
1. Die mathematische Erwartung der Zufallsvariablen und ihrer Eigenschaften.
Betrachten Sie das folgende Beispiel zuerst. Lassen Sie die Fabrik eine Partei erhielt, die aus besteht N. Lager. Dabei:
m 1. x 1,
m 2. - Anzahl der Lager mit einem Außendurchmesser x 2.,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n. - Anzahl der Lager mit einem Außendurchmesser x n.,
Hier m 1 + m 2 + ... + m n \u003d n. Wir finden den arithmetischen Durchschnitt x vgl. Außenlagerdurchmesser. Offensichtlich
Der Außendurchmesser der resultierenden Wirkung des Lagers kann als zufälliger Wert betrachtet werden, der Werte macht x 1, x 2., ..., x n., C angemessene Wahrscheinlichkeiten p 1 \u003d m 1 / n, p 2 \u003d m 2 / n, ..., p n \u003d m n / nseit der Wahrscheinlichkeit. p I. Das Erscheinungsbild des Lagers mit einem Außendurchmesser x I. gleich mINDEST. Somit arithmetische Bedeutung x vgl. Der Außendurchmesser des Lagers kann durch Relation bestimmt werden 
Sei - ein diskreter Zufallswert mit einem bestimmten Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung
Werte
x 1
x 2.
. . .
x n.
Wahrscheinlichkeit
p 1.
p 2.
. . .
p n
Mathematische Erwartung. diskrete Zufallsvariable Die Menge an gepaarter Werke aller möglichen Werte der zufälligen Varianz der ihnen entsprechenden Wahrscheinlichkeit, d. H. *
Es wird davon ausgegangen, dass das unverkennbare Integral, das im rechten Teil der Gleichstellung (40) steht.
Betrachten Sie die Eigenschaften der mathematischen Erwartung. Gleichzeitig beschränken wir uns auf den Beweis nur den ersten beiden Eigenschaften, die für diskrete Zufallsvariablen durchführen werden.
1 °. Mathematische Erwartung konstant mit dieser Konstante.
Beweise. Dauerhaft C. kann als zufälliger Wert betrachtet werden, der nur einen Wert dauern kann C. Mit einer Wahrscheinlichkeit der gleichen Einheit. deshalb 
2 °. Der dauerhafte Multiplizierer kann für ein Zeichen der mathematischen Erwartung erfolgen.. 
Beweise. Verwenden des Verhältnisses (39) haben wir 
3 °. Die mathematische Erwartung der Summe mehrerer zufälliger Variablen entspricht der Summe der mathematischen Erwartungen dieser Werte:
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