Здравствуйте, уважаемые читатели блога сайт. Одним из понятий геометрии, с которым знакомятся еще в начальной школе, является отрезок. Уйма задач по математике и геометрии строится на понятиях отрезка и прямой.

Понимание, что такое отрезок, поможет решать всевозможные задачи и примеры на уроках математики как в школе, так и в высших учебных заведениях.

Отрезок - это геометрическая фигура

Согласно определению в словаре, отрезком называют часть прямой , ограниченную двумя точками, находящимися на ней. Именно по обозначениям этих точек и дается название отрезка.

На рисунке, изображенном ниже, показан отрезок AB. Точки A и B являются концами отрезка. Длиной отрезка называют расстояние между его концами.

В математике принято обозначать точки, и соответственно отрезки, большими буквами латинского алфавита. Если нужно нарисовать отрезок, чаще всего его изображают без прямой, а лишь от одного конца до другого.

Также можно сказать, что отрезок - это совокупность всех точек , которые лежат на одной прямой и находятся между двумя заданными точками, которые являются концами данного отрезка.

Если на отрезке между его концами отметить еще одну точку, она разделит данный отрезок на два. Длину отрезка АВ можно посчитать, просуммировав длины отрезков АС и СВ.

Разница между отрезком, лучом и прямой

Школьники иногда путают понятия прямой, луча и отрезка. И вправду, эти понятия очень схожи между собой, однако имеют принципиальное различие:

1. Прямой называется линия, которая не искривляется, а также не имеет начала и конца.
2. Луч - это часть прямой, ограниченная одной точкой. Он имеет начало и не имеет конца.
3. ограничивается двумя точками. Он имеет и начало, и конец.

Точка, находящаяся на прямой, делит ее на два луча. Количество же отрезков на одной прямой может быть бесконечным.

Чтобы различать эти фигуры на рисунке, в начале и конце рисуемой линии ставятся или не ставятся точки. Рисуя луч, точка ставится в одном конце, а изображая отрезок - в обоих концах. Прямая не имеет концов, поэтому точки в конце линии не ставятся.

Направленный отрезок - это вектор

Отрезки бывают двух видов:

1. Ненаправленные.
2. Направленные.

Для ненаправленных отрезков, АВ и ВА - одинаковые отрезки, так как направление не имеет значения.

Если же говорить о направленных отрезках, порядок перечисления его концов имеет решающее значение. В таком случае, АВ ➜ и ВА ➜ - разные отрезки, так как они противоположно направленные.

Направленные отрезки называются векторами . Векторы могут обозначаться как двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелочкой над ними, так и одной маленькой буквой со стрелочкой.

Модулем вектора называется длина направленного отрезка. Обозначается как АВ ➜ . Модули векторов АВ ➜ и ВА ➜ равны.

Векторы часто рассматривают в системе координат. Модуль вектора равен квадратному корню суммы квадратов координат концов вектора.

Коллинеарными векторами называются те, что лежат на одной или на параллельных прямых.

Ломаная линия - это множество соединенных отрезков

Ломаная линия состоит из множества отрезков, которые называются ее звеньями. Эти отрезки соединены друг с другом своими концами и не расположены под углом 180°.

Вершинами ломаной являются следующие точки:

1. Точка, с которой началась ломаная.
2. Точка, которой ломаная закончилась.
3. Точки, в которых соединяются смежные звенья (отрезки ломаной).

Число вершин ломаной всегда на один больше, чем количество ее звеньев. Обозначается ломаная перечислением всех ее вершин начиная с одного конца и заканчивая другим.

Например, ломаная ABCDEF состоит из отрезков AB, BC, CD, DE и EF и вершин A, B, C, D, E и F. Звенья AB и BC являются смежными, так как имеют общий конец - точку В. Длина ломаной вычисляется как сумма длин всех ее звеньев.

Любая замкнутая ломаная является геометрической фигурой - многоугольником.

Сумма углов многоугольника кратна 180° и вычисляется по следующей формуле 180*(n-2), где n - количество углов или отрезков, составляющих данную фигуру.

Отрезок времени

Интересно, что слово отрезок применимо не только к геометрическим понятиям, но и как временной термин.

Отрезком времени называют период между двумя событиями, датами. Он может измеряться как секундами или минутами, так и годами или даже десятилетиями.

Время в целом в таком случае определяется как временная прямая.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога сайт

Вам может быть интересно

Биссектриса - это луч разрезающий угол пополам, а также отрезок в треугольнике обладающий рядом свойств Радиус - это важнейший элемент окружности Медиана - это золотое сечение треугольника Трапеция – это стол, который стал геометрической фигурой Средняя линия трапеции Прямоугольник - это одна из основ геометрии Диаметр - это золотое сечение окружности Окружность - это базовая фигура геометрии Ромб – между параллелограммом и квадратом Что такое постулат - просто о сложном Что такое тангенс угла и как его найти Длина окружности

>>Математика 7 класс. Полные уроки >>Геометрия: Отрезок. Полные уроки

Отрезок

Отрезком называется часть прямой, которая содержит две разные точки A и B этой прямой (концы отрезка) и все точки прямой, которые лежат между ними (внутренние точки отрезка).

Отрезок прямой - это множество (часть прямой), состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними. Отрезок прямой, соединяющий две точки A и B (которые называются концами отрезка), обозначается следующим образом - . Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезок AB». Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают как |AB|.

Для обозначения отрезка с концами в точках A и B будем использовать символ .

О точке C, принадлежащей отрезку AB, говорят также, что точка C лежит между точками A и B (если C – внутренняя точка отрезка), а также, что отрезок AB содержит точку C.

Свойство отрезка задается аксиомой:

Аксиома:
Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равняется сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой. AB = AC + CB.

Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка AB.
При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю.
Два отрезка называются равными, если равны их длины.

Отрезок АС=DE, CB=EF иАВ=DF

На рисунке 1 изображена прямая a и 3 точки на этой прямой: A, B, C. Точка B лежит между точками A и C, можно сказать, она разделяет точки A и C. Точки A и C лежат по разные стороны от точки B. Точки B и C расположены по одну сторону от точки A, точки A и B лежат по одну сторону от точки C.

рисунок 1

Отрезок – часть прямой, который состоит из всех точек этой прямой, лежащих между данными точками, которые называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его конечных точек. Когда говорят отрезок AB, т подразумевают отрезок с концами в точках A и B.

На данном рисунке 2 мы видим отрезок AB, он является частью прямой. Точка X лежит между точками A и B, поэтому она принадлежит отрезку AB, точка Y не лежит между точками A и B, поэтому она не принадлежит отрезку AB.

рисунок 2

Основное свойство расположения точек на прямой – из трех точек на прямой только одна лежит между двумя точками.

Точка А лежит между X и Y.

Точка X разделяет отрезок AB.

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB и BA представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление , то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, выше указанные направленные отрезки не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет - то, что у отрезка важно его направление обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора - класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Кроссворд

1. Едет ручка вдоль листа. По линеечке, по краю. Получается черта, называется …
2. Древнегреческий ученый.
3. Результат мгновенного касания.
4. Учебная книга, состоящая из 13 томов, которая в течение многих веков являлась основным руководством по геометрии.
5. Древнегреческий ученый, автор собирательного труда «Начала».
6. Единица измерения длины.
7. Часть прямой, ограниченная двумя точками.
8. Единица измерения длины в Древнем Египте.
9. Древнегреческий математик, доказавший теорему, которая носит его имя.
10. Є математический знак.
11. Раздел геометрии.

Интересный факт:

В геометрии бумагу применяют для того чтобы: писать, рисовать; резать; сгибать. Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным.

Круги на полях – межгалактический язык общения инопланетных разумных существ
Круги на полях... Сколько разных мнений, сколько гаданий, сколько гипотез, но вразумительных объяснений, что это такое, не существует.
Круги на полях... Они завораживают людей своей лаконичной красотой, они раздражают нас непонятливостью происхождения и назначения.

Вопросы:

1) Что такое отрезок?

2) Чему равняется длина отрезка?

3) Разница между отрезком и вектором?

Список использованных источников:

1. Программа для общеобразовательных учреждений. Математика. Министерство образования Российской Федерации.
2. Федеральный общеобразовательный стандарт. Вестник образования. №12,2004.
3. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Авторы: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.
4. Киселев А.П. "Геометрия" (планиметрия, стереометрия)

Отредактировано и выслано Потурнаком С.А.

Слово отрезок мы слышим, как правило, когда речь идет о геометрии или математическом анализе. И в той, и в другой области данное слово обозначает весьма схожие понятия, а именно часть прямой, которая ограничена двумя точками.

Отрезок в быту

Конечно, слово "отрезок" нам приходится слышать не только при обсуждении математических вопросов, применяется оно и в повседневной речи. Так что такое отрезок в бытовом смысле этого слова? Как правило, произнося слово "отрезок", человек имеет в виду кусочек того или иного материала, который нужно от чего-то отрезать. Например, нам может потребоваться отрезок ткани, отрезок скотча, отрезок ленты и много чего еще.

Отрезок в математике

Как мы уже говорили выше, в математике отрезок - это часть прямой, ограниченной двумя точками, однако иногда можно встретить и такой термин - множество чисел или точек на прямой между двумя числами или точками. Он звучит гораздо более научно и сложно, однако, если подумать, и то, и другое определения подразумевают одно и то же.

Другие значения

Слово "отрезок" произносят и тогда, когда хотят обозначить прохождение определенного этапа, например, "отрезок пути" или "отрезок времени". Вам, наверняка, приходилось видеть такие фразы в книгах.

Кроме того, отрезком после отмены крепостного права в России назывались земельные участки, которые захватывали помещики у крестьян.

Вот такие определения у слова "отрезок". Узнавайте значения новых слов в разделе .

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник.

1. В этом параграфе вы познакомитесь с некоторыми понятиями геометрии. Геометрия - наука об "измерении земли". Это слово происходит от латинских слов: geo - земля и metr - мера, мерить. В геометрии изучаются различные геометрические объекты , их свойства, их связи с окружающим миром. Простейшие геометрические объекты - это точка, линия, поверхность. Более сложные геометрические объекты, например, геометрические фигуры и тела, образованы из простейших.

Если приложить к двум точкам А и В линейку и вдоль нее провести линию, соединяющую эти точки, то мы получим отрезок, который называют АВ или ВА (читаем: «а - бэ», «бэ- а»). Точки А и В называются концами отрезка (рисунок 1). Расстояние между концами отрезка, измеренное в единицах длины, называется длиной отрез ка .

Единицы длины: м - метр, см - сантиметр, дм - дециметр, мм - миллиметр, км - километр и др. (1 км = 1000 м; 1м =10 дм; 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм). Для измерения длины отрезков используют линейку, рулетку. Измерить длину отрезка, значит, выяснить, сколько раз в нем укладывается та или иная мера длины.

Равными называются два отрезка, которые можно совместить, наложив один на другой (рисунок 2). Например, можно вырезать реально или мысленно один из отрезков и приложить к другому так, чтобы совпали их концы. Если отрезки АВ и СК равны, то пишут АВ = СК. Равные отрезки имеют равные длины. Верно обратное: два отрезка, имеющие равные длины, равны. Если два отрезка имеют различные длины, то они не равны. Из двух неравных отрезков меньше тот, который составляет часть другого отрезка. Сравнивать отрезки наложением можно, используя циркуль.

Если мысленно продлить отрезок АВ в обе стороны до бесконечности, то мы получим представление о прямой АВ (рисунок 3). Любая точка, лежащая на прямой, разбивает ее на два луча (рисунок 4). Точка С разбивает прямую АВ на два луча СА и СВ. Тоска С называется началом луча .

2. Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, то получим фигуру, называемую треугольником. Данные точки называются вершинами треугольника, а отрезки, их соединяющие, сторонами треугольника (рисунок 5). FNM - треугольник, отрезки FN, NM, FM - стороны треугольника, точки F, N, M - вершины треугольника. Стороны всех треугольников обладают следующим свойством: длина любой из сторон треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

Если мысленно продлить во все стороны, например, поверхность крышки стола, то получим представление о плоскости . Точки, отрезки, прямые, лучи располагаются на плоскости (рисунок 6).

Блок 1. Дополнительный

Мир, в котором мы живем, все, что нас окружает, древние называли природой или космосом. Пространство, в котором мы живем, считается трехмерным, т.е. имеет три измерения. Их часто называют: длина, ширина и высота (например, длина комнаты 4 м, ширина комнаты 2 м и высота 3 м).

Представление о геометрической (математической) точке дает нам звезда на ночном небе, точка в конце этого предложения, след от иглы и т.д. Однако все перечисленные объекты имеют размеры, в отличие от них размеры геометрической точки считаются равными нулю (её измерения равны нулю). Поэтому реальную математическую точку можно лишь мысленно представить. Можно также сказать, в каком месте она находится. Поставив авторучкой в тетради точку, мы не изобразим геометрическую точку, но будем считать, что построенный объект есть геометрическая точка (рисунок 6). Точки обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A , B , C , D , (читают «точка а, точка бэ, точка цэ, точка дэ» ) (рисунок 7).

Провода, висящие на столбах, видимая линия горизонта (граница между небом и землей или водой), русло реки, изображенное на карте, гимнастический обруч, струя воды, бьющая из фонтана дают нам представление о линиях.

Различают замкнутые и незамкнутые линии, гладкие и негладкие линии, линии с самопересечением и без самопересечения (рисунки 8 и 9).

Лист бумаги, лазерный диск, оболочка футбольного мяча, картон упаковочной коробки, новогодняя пластиковая маска и т.д. дают нам представление о поверхностях (рисунок 10). Когда красят пол комнаты или автомобиль, то покрывают краской именно поверхность пола или автомобиля.

Тело человека, камень, кирпич, головка сыра, мяч, ледяная сосулька и т.д. дают нам представление о геометрических телах (рисунок 11).

Наиболее простая из всех линий - это прямая . Приложим к листу бумаги линейку и проведем карандашом вдоль неё прямую линию. Мысленно продолжив эту линию до бесконечности в обе стороны, мы получим представление о прямой. Считают, что прямая имеет одно измерение - длину, а два других ее измерения равны нулю (рисунок 12).

При решении задач прямую изображают в виде линии, которую проводят вдоль линейки карандашом или мелом. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, n, m (рисунок 13). Можно обозначать прямую также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую n на рисунке 13 можно обозначить: АВ или ВА, А D или D А, D В или В D .

Точки могут лежать на прямой (принадлежать прямой) и не лежать на прямой (не принадлежать прямой). На рисунке 13 изображены точки A, D, B, лежащие на прямой AB (принадлежащие прямой AB). При этом пишут. Читают: точка A принадлежит прямой AB, точка В принадлежит AB, точка D принадлежит АВ. Точка D принадлежит также и прямой m, ее называют общей точкой. В точке D прямые AB и m пересекаются. Точки P и R не принадлежат прямым AB и m:

Через любые две точки всегда можно провести прямую и причем только одну .

Из всех видов линий, соединяющих любые две точки, наименьшую длину имеет отрезок, концами которого служат данные точки (рисунок 14).

Фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков называется ломаной (рисунок 15). Отрезки, образующие ломаную, называются звеньями ломаной, а их концы - вершинами ломаной. Называют (обозначают) ломаную, перечисляя по порядку все ее вершины, например, ломаная ABCDEFG. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев. Значит, длина ломаной ABCDEFG равна сумме: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Замкнутая ломаная называется многоугольником , ее вершины называются вершинами многоугольника , а ее звенья сторонами многоугольника (рисунок 16). Называют (обозначают) многоугольник, перечисляя по порядку все его вершины, начиная с любой, например, многоугольник (семиугольник) ABCDEFG , многоугольник (пятиугольник) RTPKL:

Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника и обозначается латинской буквой p (читаем: пэ ). Периметры многоугольников на рисунке 13:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Мысленно продлив поверхность крышки стола или оконного стекла до бесконечности во все стороны, получим представление о поверхности, которая называется плоскостью (рисунок 17). Обозначают плоскости малыми буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ, … (читаем: плоскость альфа, бетта, гамма, дельта, и т.д. ).

Блок 2. Словарь.

Составьте словарь новых терминов и определений из §2. Для этого в пустые строки таблицы впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице 2 укажите номера терминов в соответствии с номерами строк. Рекомендуется перед заполнением словаря еще раз внимательно просмотреть §2 и блок 2.1.

Блок 3. Установите соответствие (УС).

Геометрические фигуры.

Блок 4. Самопроверка.

Измерение отрезка с помощью линейки.

Напомним, что измерить отрезок АВ в сантиметрах, значит, сравнить его с отрезком длиной 1см и узнать, сколько таких отрезков по 1см помещается в отрезке АВ. Чтобы измерить отрезок в других единицах длины, поступают подобным же образом.

Для выполнения заданий работайте по плану, приведенному в левой колонке таблицы. При этом правую колонку рекомендуем закрыть листом бумаги. Затем вы сможете сопоставить свои выводы с решениями, приведенными в таблице справа.

Блок 5. Установление последовательности действий (УП).

Построение отрезка заданной длины.

Вариант 1 . В таблице записан перепутанный алгоритм (перепутанный порядок действий) построения отрезка заданной длины (например, построим отрезок ВС = 7см). В левом столбце указание к действию в правом результат выполнения этого действия. Переставьте строки таблицы так, чтобы получился верный алгоритм построения отрезка заданной длины. Запишите верную последовательность действий.

Вариант 2. В следующей таблице приведен алгоритм построения отрезка КМ = n см, где вместо n можно подставить любое число. В этом варианте нет соответствия между действием и результатом. Поэтому необходимо установить последовательность действий, затем для каждого действия выбрать его результат. Ответ запишите в виде: 2а, 1в, 4б и т.д.

Вариант 3. Используя алгоритм варианта 2, постройте в тетради отрезки при n = 3 см, n = 10 см, n = 12 см.

Блок 6. Фасетный тест.

Отрезок, луч, прямая, плоскость.

В задачах фасетного теста используются рисунки и записи под номерами 1 - 12, приведённые в таблице 1. Из них формируются данные задач. Затем к ним добавляются требования задач, которые в тесте помещены после соединительного слова «ТО». Ответы к задачам помещены после слова «РАВНО». Набор задач приведён в таблице 2. Например, задача 6.15.19 составляется следующим образом: «ЕСЛИ в задаче используется рисунок 6, з атем к нему добавляется условие под номером 15, требование задачи стоит под номером 19.»

13) построить четыре точки так, чтобы каждые три из них не лежали на одной прямой;

14) провести через каждые две точки прямую;

15) каждую из поверхностей коробки продлить мысленно во все стороны до бесконечности;

16) количество различных отрезков на рисунке;

17) количество различных лучей на рисунке;

18) количество различных прямых на рисунке;

19) количество получившихся различных плоскостей;

20) длина отрезка АС в сантиметрах;

21) длина отрезка АВ в километрах;

22) длина отрезка DC в метрах;

23) периметр треугольника PRQ;

24) длина ломаной QPRMN;

25) частное периметров треугольников RMN и PRQ;

26) длина отрезка ED;

27) длина отрезка BE;

28) количество получившихся точек пересечения прямых;

29) количество получившихся треугольников;

30) количество частей, на которые оказалась разделена плоскость;

31) периметр многоугольника, выраженный в метрах;

32) периметр многоугольника, выраженный в дециметрах;

33) периметр многоугольника, выраженный в сантиметрах;

34) периметр многоугольника, выраженный в миллиметрах;

35) периметр многоугольника, выраженный в километрах;

РАВНО (равна, имеет вид):

а) 70; б) 4; в) 217; г) 8; д) 20; е) 10; ж) 8∙b; з) 800∙b; и) 8000∙b; к) 80∙b; л) 63000; м) 63; н) 63000000; о) 3; п) 6; р) 630000; с) 6300000; т) 7; у) 5; ф) 22; х) 28

Блок 7. Давай поиграем.

7.1. Математический лабиринт.

Лабиринт состоит из десяти комнат с тремя дверьми каждая. В каждой из комнат находится по одному геометрическому объекту (он нарисован на стене комнаты). Сведения об этом объекте находятся в «путеводителе» по лабиринту. Читая его, надо переходить в ту комнату, о которой написано в путеводителе. Проходя по комнатам лабиринта, рисуйте свой маршрут. В двух последних комнатах имеются выходы.

Путеводитель по лабиринту

1. Войти в лабиринт надо через комнату, где находится геометрический объект, у которого нет начала, но есть два конца.
2. Геометрический объект этой комнаты не имеет размеров, он подобен далёкой звезде на ночном небе.
3. Геометрический объект этой комнаты составлен из четырёх отрезков, имеющих три общие точки.
4. Этот геометрический объект состоит из четырёх отрезков с четырьмя общими точками.
5. В этой комнате находятся геометрические объекты, каждый из которых имеет начало, но не имеет конца.
6. Здесь два геометрических объекта, не имеющих ни начала, ни конца, но с одной общей точкой.

1. Представление об этом геометрическом объекте даёт полет артиллерийских снарядов

(траектория движения).

1. В этой комнате находится геометрический объект с тремя вершинами, но это не горные

1. Об этом геометрическом объекте даёт представление полёт бумеранга (охотничье

оружие коренных жителей Австралии). В физике эту линию называют траекторией

движения тела.

1. Представление об этом геометрическом объекте даёт поверхность озера в

безветренную погоду.

Теперь можете выходить из лабиринта.

В лабиринте находятся геометрические объекты: плоскость, незамкнутая линия, прямая, треугольник, точка, замкнутая линия, ломаная, отрезок, луч, четырёхугольник.

7.2. Периметр геометрических фигур.

В рисунках выделите геометрические фигуры: треугольники, четырёхугольники, пяти - и шестиугольники. С помощью линейки (в миллиметрах) определите периметры некоторых из них.

7.3. Эстафета геометрических объектов.

В заданиях эстафеты есть пустые рамки. В них запишите пропущенное слово. Затем перенесите это слово в другую рамку, куда показывает стрелка. При этом можно изменять падеж этого слова. Проходя по этапам эстафеты, выполняйте требуемые построения. Если эстафету пройдёте правильно, то в конце получите слово: периметр .

7.4. Крепость геометрических объектов.

Прочитайте § 2, выпишите из его текста названия геометрических объектов. Затем впишите эти слова в пустые клетки «крепости».

Прямая

Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.

Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины (рис. 1).

Полученную линию мы и будем называть прямой . Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Всю же прямую построить не имеется возможным, она является бесконечной на обоих своих концах.

Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 2).

Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:

Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.

Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.

Аксиома 3: Через $2$ произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.

Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

1. Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
2. Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
3. Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

В этой статье мы не будем подробно останавливаться на этих понятиях.

Отрезок

Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда

Определение 1

Отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками.

Определение 2

Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1 называются концами этого отрезка.

Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках (рис. 3).

Сравнение отрезков

Рассмотрим два произвольных отрезка. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными. Чтобы разобраться в этом, нам нужна следующая аксиома геометрии.

Аксиома 4: Если оба конца двух различных отрезков совпадут при их наложении, то такие отрезки будут равными.

Итак, для сравнения выбранных нами отрезков (обозначим их отрезок 1 и отрезок 2) наложим конец отрезка 1 на конец отрезка 2, так, чтобы, отрезки оставались по одну сторону от этих концов. После такого наложения возможны два следующих случая:

Длина отрезка

Помимо сравнения одних отрезков с другими также часто необходимо измерение отрезков. Измерить отрезок означает найти его длину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» отрезок, который мы будем принимать за единицу (к примеру отрезок, длина которого равняется 1 сантиметру). После выбора такого отрезка мы проводим с ним сравнение отрезков, длину которого нужно найти. Рассмотрим пример.

Пример 1

Найти длину следующего отрезка

если следующий отрезок равняется 1

Для его измерения возьмем за эталон отрезок $$. Будем откладывать его на отрезок $$. Получим:

Ответ: $6$ см.

Понятие длины отрезка связаны со следующими аксиомами геометрии:

Аксиома 5: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, длина любого отрезка будет положительна.

Аксиома 6: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, мы можем для любого положительного числа найти отрезок, у которого длина равняется данному числу.

После определения длины отрезков у нас появляется второй способ для сравнения отрезков. Если при одном и том же выборе единицы длины отрезок $1$ и отрезок $2$ будут иметь одинаковую длину, то такие отрезки будут называться равными. Если же, без ограничения общности, отрезок 1 будет иметь длину по числовому значению меньше длины отрезка $2$, то отрезок $1$ будет меньше отрезка $2$.

Самым простым способом измерения длины отрезков является измерение, с помощью линейки.

Пример 2

Записать длины следующих отрезков:

Измерим их с помощью линейки:

1. $4$ см.
2. $10$ см.
3. $5$ см.
4. $8$ см.