Колебательный контур — один из основных элементов радиотехнических систем. Различают линейные и нелинейные колебательные контуры . Параметры R , L и С линейного колебательного контура не зависят от интенсивности колебаний, а период колебаний не зависит от амплитуды.
При отсутствии потерь (R = 0 ) в линейном колебательном контуре происходят свободные гармонические колебания .
Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предвари-тельно заряжают от батареи аккумуляторов, сообщив ему энергию W p , и переводят переключатель в положение 2.
После замыкания цепи конденсатор начнет разряжаться через катушку индуктивности, теряя энергию. В цепи появится ток, вызывающий переменное магнитное поле . Переменное магнитное поле, в свою очередь приводит к созданию вихревого электрического поля, пре-пятствующего току, в результате чего изменение тока происходит постепенно. По мере увеличения тока через катушку возрастает энергия магнитного поля W м . Полная энергия W электромагнитного поля контура остается постоянной (при отсутствии сопротивления) и равной сумме энергий магнитного и электрического полей. Пол-ная энергия, в силу закона сохранения энергии , равна максимальной энергии электрического или магнитного поля:
,
где L — индуктивность катушки, I и I m — сила тока и ее максимальное значение, q и q m — заряд конденсатора и его максимальное значение, С — емкость конденсатора .
Процесс перекачки энергии в колебательном контуре между электрическим полем конденса-тора при его разрядке и магнитным полем, сосредоточенным в катушке, полностью аналогичен процессу превращения потенциальной энергии растянутой пружины или поднятого груза матема-тического маятника в кинетическую энергию при механических колебаниях последних.
Ниже приводится соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах.
Дифференциальное уравнение , описывающее процессы в колебательном контуре, можно получить, приравняв производную по полной энергии контура к нулю (поскольку полная энергия постоянна) и заменив в полученном уравнении ток на производную заряда по времени. В окончательном виде уравнение выглядит так:
.
Как видно, уравнение ничем не отличается по форме от соответствующего дифференциального уравнения 
для свободных механических колебаний шарика на пружине. Заменив механические параметры системы на электрические с помощью приведенной выше таблицы, мы в точности получим уравнение .
По аналогии с решением дифференциального уравнения для механической колебательной системы циклическая частота свободных электрических колебаний равна:
.
Период свободных колебаний в контуре равен:
.
Формула называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее вывел.
Увеличение периода свободных колебаний с возрастанием L и С объясняется тем, что при увеличении индуктивности ток медленнее нарастает и медленнее падает до нуля, а чем больше емкость, тем больше времени требуется для перезарядки конденсатора.
Гармонические колебания заряда и тока описываются теми же уравнениями, что и их механические аналоги:
q = q m cos ω 0 t,
i = q" = - ω 0 q m sin ω 0 t = I m cos (ω 0 t + π/2),
где q m — амплитуда колебаний заряда, I m = ω 0 q m — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе на π/2 колебания заряда.
В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания .
Электромагнитными колебаниями называют периодические взаимосвязанные изменения заряда, силы тока и напряжения.
Свободными колебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.
Вынужденными называются колебания в цепи под действием внешней периодической электродвижущей силы
Свободные электромагнитные колебания – это периодически повторяющиеся изменения электромагнитных величин (q – электрический заряд, I – сила тока, U – разность потенциалов), происходящие без потребления энергии от внешних источников.
Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур или колебательный контур .
Колебательный контур – это система, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости C , катушки индуктивности L и проводника с сопротивлением R
Рассмотрим закрытый колебательный контур, состоящий из индуктивности L и емкости С.
Чтобы возбудить колебания в этом контуре, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд от источника ε . Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения. После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L . При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер
Свободные электромагнитные колебания можно наблюдать на экране осциллографа.
Как видно из графика колебаний, полученного на осцилографе, свободные электромагнитные колебания являются затухающими , т.е.их амплитуда уменьшается с течением времени. Это происходит потому, что часть электрической энергии на активном сопротивлении R превращается во внутреннюю энерги. проводника (проводник нагревается при прохождении по нему электрического тока).
Рассмотрим, как происходят колебания в колебательном контуре и какие изменения энергии при этом происходят. Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0).
Если зарядить конденсатор до напряжения U 0 то в начальный момент времени t 1 =0 на обкладках конденсатора установятся амплитудные значения напряжения U 0 и заряда q 0 = CU 0 .
Полная энергия W системы равна энергии электрического поля W эл:
Если цепь замыкают, то начинает течь ток. В контуре возникает э.д.с. самоиндукции
Вследствие самоиндукции в катушке конденсатор разряжается не мгновенно, а постепенно (так как, согламно правилу Ленца, возникающий индукционный ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван. Т.е. магнитное поле индукционного тока не дает мгновенно увеличиться магнитному потоку тока в контуре). При этом ток увеличивается постепенно, достигая своего максимального значения I 0 в момент времени t 2 =T/4, а заряд на конденсаторе становится равным нулю.
По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля. Полная энергия контура после разрядки конденсатора равна энергии магнитного поля W м:
В следующий момент времени ток течет в том же направлении, уменьшаясь до нуля, что вызывает перезарядку конденсатора. Ток не прекращается мгновенно после разрядки конденсатора вследствии самоиндукции (теперь магнитное поле индукционного тока не дает магнитному потоку тока в контуре мгновенно уменьшиться). В момент времени t 3 =T/2 заряд конденсатора опять максимален и равен первоначальному заряду q = q 0 , напряжение тоже равно первоначальному U = U 0 , а ток в контуре равен нулю I = 0.
Затем конденсатор снова разряжается, ток через индуктивность течёт в обратном направлении. Через промежуток времени Т система приходит в исходное состояние. Завершается полное колебание, процесс повторяется.
График изменения заряда и силы тока при свободных электромагнитных колебаниях в контуре показывает, что колебания силы тока отстают от колебаний заряда на π/2.
В любой момент времени полная энергия:
При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается постоянной.
Свободные электрические колебания аналогичны механическим колебаниям. На рисунке приведены графики изменения заряда q (t ) конденсатора и смещения x (t ) груза от положения равновесия, а также графики тока I (t ) и скорости груза υ(t ) за один период колебаний.
В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими , то есть происходят по закону
q (t ) = q 0 cos(ωt + φ 0)
Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний и период колебаний - формула Томпсона
Амплитуда q 0 и начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями , то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия.
Для колебаний заряда, напряжения и силы тока получаются формулы:
Для конденсатора:
q (t ) = q 0 cosω 0 t
U (t ) = U 0 cosω 0 t
Для катушки индуктивности:
i (t ) = I 0 cos(ω 0 t + π/2)
U (t ) = U 0 cos(ω 0 t + π)
Вспомомним основные характеристики колебательного движения :
q 0, U 0 , I 0 - амплитуда – модуль наибольшего значения колеблющейся величины
Т - период – минимальный промежуток времени через который процесс полностью повторяется
ν - Частота – число колебаний в единицу времени
ω - Циклическая частота – число колебаний за 2п секунд
φ - фаза колебаний - величина стоящая под знаком косинуса (синуса) и характеризующая состояние системы в любой момент времени.
Электромагнитные колебания
Электромагнитные колебания можно изобразить в виде самораспространяющихся поперечных колебаний электрического и магнитного полей. На рисунке - плоскополяризованная волна, распространяющаяся справа налево. Колебания электрического поля изображены в вертикальной плоскости, а колебания магнитного поля - в горизонтальной.
Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения напряженности Е и индукции В.
Электромагнитными колебаниями являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи.
Вывод формулы
Электромагнитные волны как универсальное явление были предсказаны классическими законами электричества и магнетизма, известными как уравнения Максвелла . Если вы внимательно посмотрите на уравнение Максвелла в отсутствие источников (зарядов или токов), то обнаружите, что вместе с возможностью, что ничего не случится, теория к тому же допускает нетривиальные решения изменения электрического и магнитного полей. Начнем с уравнений Максвелла для вакуума::
где - векторный дифференциальный оператор (набла).Одно из решений,
,Самое простейшее.
Чтобы найти другое, более интересное решение, мы воспользуемся векторным тождеством, которое справедливо для любого вектора, в виде:
Чтобы посмотреть как мы можем использовать его, возьмем операцию вихря от выражения (2):
Левая часть эквивалентна:
где мы упрощаем, используя выше приведенное уравнение (1).Правая часть эквивалентна:
Уравнения (6) и (7) равны, таким образом эти результаты в векторнозначном дифференциальном уравнении для электрического поля, а именно
Эти дифференциальные уравнения эквивалентны волновому уравнению:
где c 0 - скорость волны в вакууме; f - описывает смещение.Или еще проще:
где - оператор Д’Аламбера :Заметьте, что в случае электрического и магнитного полей скорость:
Которая, как выясняется есть скорость света в вакууме. Уравнения Максвелла объединили диэлектрическую проницаемость вакуума ε 0 , магнитную проницаемость вакуума μ 0 и непосредственно скорость света c 0 . До этого вывода не было известно, что была такая строгая связь между светом, электричеством и магнетизмом.
Но имеются только два уравнения, а мы начали с четырех, поэтому имеется еще больше информации относительно волн, спрятанных в уравнениях Максвелла. Давайте рассмотрим типичную векторную волну для электрического поля.
Здесь - постоянная амплитуда колебаний, - любая мгновенная дифференцируемая функция, - единичный вектор в направлении распространения, а i- радиус-вектор. Мы замечаем, что - общее решение волнового уравнения. Другими словами
,для типичной волны, распространяющейся в направлении.
Эта форма будет удовлетворять волновому уравнению, но будет ли она удовлетворять всем уравнениям Максвелла, и с чем соответствуется магнитное поле?
Первое уравнение Максвелла подразумевает, что электрическое поле ортогонально (перпендикулярно) направлению распространению волны.
Второе уравнение Максвелла порождает магнитное поле. Оставшиеся уравнения будут удовлетворяться выбором .
Мало того, что волны электрического и магнитного полей распространяются со скоростью света, но они имеют ограниченную ориентацию и пропорциональную величину, , которую можно сразу же заметить из вектора Пойнтинга. Электрическое поле, магнитное поле и направление распространения волны все являются ортогональными, и распространение волны в том же направлении как вектор .
С точки зрения электромагнитной волны, перемещающейся прямолинейно, электрическое поле может колебаться вверх и вниз, в то время как магнитное поле может колебаться вправо и влево, но эта картина может чередоваться с электрическим полем, колеблющемся вправо и влево, и магнитным полем, колеблющимся вверх и вниз. Эта произвольность в ориентации с предпочтением к направлению распространения известно как поляризация.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Лон Чейни младший
- Крамер, Йозеф
Смотреть что такое "Электромагнитные колебания" в других словарях:
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ - взаимосвязанные колебания электрич. (E) и магн. (Н)полей, составляющих единое эл. магн. поле. Распространение Э. к. происходит в виде эл. магн. волн. Э. к. представляют собой дискретную совокупность фотонов, и только при очень большом числе… … Физическая энциклопедия
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ - взаимосвязанные колебания электрич. (E) и магн. (Н) полей, составляющих единое электромагнитное поле. Распространение Э. к. происходит в виде электромагнитных волн. Э. к. представляют собой совокупность фотонов, и только при очень большом числе… … Физическая энциклопедия
электромагнитные колебания - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN electromagnetic oscillations … Справочник технического переводчика
электромагнитные колебания - elektromagnetiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. electromagnetic oscillations vok. elektromagnetische Schwingungen, f rus. электромагнитные колебания, n pranc. oscillations électromagnétiques, f … Fizikos terminų žodynas
Электромагнитные колебания - взаимосвязанные колебания электрического (Е) и магнитного (Н) полей, составляющих единое Электромагнитное поле. Распространение Э. к. происходит в виде электромагнитных волн (См. Электромагнитные волны), скорость которых в вакууме равна… …
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ - электромагнитные колебания, распространяющиеся в пр ве с конечной скоростью. Существование Э. в. было предсказано англ. физиком М. Фарадеем в 1832. Англ. физик Дж. Максвелл в 1865 теоретически показал, что эл. магн. колебания распространяются в… … Физическая энциклопедия
Электромагнитные волны - Электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью. Существование Э. в. было предсказано М. Фарадеем (См. Фарадей) в 1832. Дж. Максвелл в 1865 теоретически показал, что электромагнитные колебания не… … Большая советская энциклопедия
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ - электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью. Существование Э. в. было предсказано М. Фа радеем (М. Faraday) в 1832. Дж. Максвелл (J. Maxwell) в 1865 теоретически показал, что эл. магн. колебания… … Физическая энциклопедия
КОЛЕБАНИЯ - движения (изменения состояния), обладающие той или иной степенью повторяемости. Наиболее распространены:1) механические колебания: колебания маятника, моста, корабля на волне, струны, колебания плотности и давления воздуха при распространении… … Большой Энциклопедический словарь
электромагнитные волны - электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. В вакууме скорость распространения электромагнитной волны с≈300 000 км/с (см. Скорость света). В однородных изотропных средах направления… … Энциклопедический словарь
Под электрическими колебаниями понимают периодические изменения заряда, силы тока и напряжения. Простейшая система, в которой возможны свободные электрические колебания, - это так называемый колебательный контур. Это устройство, состоящее из соединенных между собой конденсатора и катушки. Будем полагать, что активное сопротивление катушки отсутствует, в этом случае контур называют идеальным. При сообщении этой системе энергии в ней будут происходить незатухающие гармонические колебания заряда на конденсаторе, напряжения и тока.
Сообщить колебательному контуру энергию можно разными способами. Например, зарядив конденсатор от источника постоянного тока или возбудив ток в катушке индуктивности. В первом случае энергией обладает электрическое поле между обкладками конденсатора. Во втором, энергия заключена в магнитном поле тока, текущего по цепи.
§1 Уравнение колебаний в контуре
Докажем, что при сообщении контуру энергии в нем будут происходить незатухающие гармонические колебания. Для этого необходимо получить дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида .
Допустим, конденсатор зарядили и замкнули на катушку. Конденсатор начнет разряжаться, по катушке потечет ток. Согласно второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС в этом контуре .
В нашем случае падение напряжения поскольку контур идеальный. Конденсатор в цепи ведет себя как источник тока, в качестве ЭДС выступает разность потенциалов между обкладками конденсатора , где - заряд на конденсаторе, - электроемкость конденсатора. Кроме того, при протекании через катушку изменяющегося тока в ней возникает ЭДС самоиндукции , где - индуктивность катушки, - скорость изменения тока в катушке. Поскольку ЭДС самоиндукции препятствует процессу разрядки конденсатора второй закон Кирхгофа принимает вид
Но ток в контуре – это ток разрядки или зарядки конденсатора, следовательно . Тогда
Дифференциальное уравнение преобразуется к виду
Введя обозначение , получим известное нам дифференциальное уравнение гармонических колебаний .
Это означает, что заряд на конденсаторе в колебательном контуре будет изменяться по гармоническому закону
где - максимальное значение заряда на конденсаторе, - циклическая частота, - начальная фаза колебаний.
Период колебаний заряда . Это выражение носит название формулы Томпсона.
Напряжение на конденсаторе
Ток в цепи
Видим, что кроме заряда на конденсаторе по гармоническому закону будут изменять еще ток в контуре и напряжение на конденсаторе. Напряжение колеблется в одной фазе с зарядом, а сила тока опережает заряд по
фазе на .
Энергия электрического поля конденсатора
Энергия магнитного поля тока
Таким образом, энергии электрического и магнитного полей тоже изменяются по гармоническому закону, но с удвоенной частотой.
Подведем итог
Под электрическими колебаниями следует понимать периодические изменения заряда, напряжения, силы тока, энергии электрического поля, энергии магнитного поля. Эти колебания, как и механические, могут быть как свободными, так и вынужденными, гармоническим и негармоническим. Свободные гармонические электрические колебания возможны в идеальном колебательном контуре.
§2 Процессы, происходящие в колебательном контуре
Мы математически доказали факт существования свободных гармонических колебаний в колебательном контуре. Однако, остается неясным, почему такой процесс возможен. Что является причиной возникновения колебаний в контуре?
В случае свободных механических колебаний такая причина была найдена – это внутренняя сила, возникающая при выведении системы из по- ложения равновесия. Эта сила в любой момент направлена к положению равновесия и пропорциональна координате тела (со знаком «минус»). Попробуем найти аналогичную причину возникновения колебаний в колебательном контуре.
Пусть колебания в контуре возбуждают, зарядив конденсатор и замкнув его на катушку.
В начальный момент времени заряд на конденсаторе максимален. Следовательно, напряжение и энергия электрического поля конденсатора тоже максимальны.
Ток в контуре отсутствует, энергия магнитного поля тока равна нулю.
Первая четверть периода – разрядка конденсатора.
Обкладки конденсатора, имеющие разные потенциалы, соединили проводником, поэтому конденсатор начинает разряжаться через катушку. Заряд, напряжение на конденсаторе и энергия электрического поля убывают.
Ток, появившийся в цепи, нарастает, однако, его нарастанию препятствует ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке. Энергия магнитного поля тока увеличивается.
Прошла четверть периода - конденсатор разрядился.
Конденсатор разрядился, напряжение на нем стало равным нулю. Энергия электрического поля в этот момент тоже равна нулю. По закону сохранения энергии исчезнуть она не могла. Энергия поля конденсатора полностью перешла в энергию магнитного поля катушки, которая в этот момент достигает своего максимального значения. Максимален ток в цепи.
Казалось бы, в этот момент ток в цепи должен прекратиться, ибо исчезла причина возникновения тока – электрическое поле. Однако, исчезновению тока опять таки препятствует ЭДС самоиндукции в катушке. Теперь она будет поддерживать убывающий ток, и он будет продолжать течь в прежнем направлении, заряжая конденсатор. Начинается вторая четверть периода.
Вторая четверть периода – перезарядка конденсатора.
Ток, поддерживаемый ЭДС самоиндукции, продолжает течь в прежнем направлении, постепенно уменьшаясь. Этот ток заряжает конденсатор в противоположной полярности. Заряд и напряжение на конденсаторе увеличиваются.
Энергия магнитного поля тока, убывая, переходит в энергию электрического поля конденсатора.
Прошла вторая четверть периода – конденсатор перезарядился.
Конденсатор перезаряжается до тех пор, пока существует ток. Поэтому в тот момент, когда ток прекращается, заряд и напряжение на конденсаторе принимают максимальное значение.
Энергия магнитного поля в этот момент полностью перешла в энергию электрического поля конденсатора.
Ситуация в контуре в этот момент, эквивалентна исходной. Процессы в контуре повторятся, но в обратном направлении. Одно полное колебание в контуре, длящееся в течение периода, закончится, когда система вернется в исходное состояние, то есть когда конденсатор перезарядится в первоначальной полярности.
Нетрудно видеть, что причиной возникновения колебаний в контуре служит явление самоиндукции. ЭДС самоиндукции препятствует изменению тока: она не дает ему мгновенно нарастать и мгновенно исчезать.
Кстати, будет не лишним сопоставить выражения для расчета квазиупругой силы в механической колебательной системе и ЭДС самоиндукции в контуре:
Ранее были получены дифференциальные уравнения для механической и электрической колебательной систем:
Несмотря на принципиальные отличия физических процессов к механических и электрических колебательных системах, явно просматривается математическая тождественность уравнений, описывающих процессы в этих системах. Об этом следует поговорить подробнее.
§3 Аналогия между электрическими и механическими колебаниями
Внимательный анализ дифференциальных уравнений для пружинного маятника и колебательного контура, а так же формул, связывающих величины, характеризующих процессы в этих системах, позволяет выявить, какие величины ведут себя одинаково (таблица 2).
| Пружинный маятник | Колебательный контур |
| Координата тела () | Заряд на конденсаторе () |
| Скорость тела | Сила тока в контуре |
| Потенциальная энергия упруго деформированной пружины | Энергия электрического поля конденсатора |
| Кинетическая энергия груза | Энергия магнитного поля катушки с током |
| Величина, обратная жесткости пружины | Емкость конденсатора |
| Масса груза | Индуктивность катушки |
| Сила упругости | ЭДС самоиндукции, равная напряжению на конденсаторе |
Таблица 2
Важно не просто формальное сходство между величинами, описывающими процессы колебания маятника и процессы в контуре. Тождественны сами процессы!
Крайние положения маятника эквивалентны состоянию контура, когда заряд на конденсаторе максимален.
Положение равновесия маятника эквивалентно состоянию контура, когда конденсатор разряжен. В этот момент сила упругости обращается в ноль, а в контуре отсутствует напряжение на конденсаторе. Скорость маятника и сила тока в контуре максимальны. Потенциальная энергия упругой деформации пружины и энергия электрического поля конденсатора равны нулю. Энергия системы состоит из кинетической энергии груза или из энергии магнитного поля тока.
Разрядка конденсатора протекает аналогично движению маятника из крайнего положения в положение равновесия. Процесс перезарядки конденсатора тождественен процессу удаления груза из положения равновесия в крайнее положение.
Полная энергия колебательной системы или остается неизменной с течением времени.
Подобная аналогия может быть прослежена не только между пружинным маятником и колебательным контуром. Всеобщи закономерности свободных колебаний любой природы! Эти закономерности, проиллюстрированные на примере двух колебательных систем (пружинном маятнике и колебательном контуре) не просто можно, а нужно видеть в колебаниях любой системы.
В принципе, можно решить задачу о любом колебательном процессе, заменив его колебаниями мятника. Для этого достаточно грамотно построить эквивалентную механическую систему, решить механическую задачу и провести замену величин в окончательном результате. Например, нужно найти период колебаний в контуре, содержащем конденсатор и две катушки, соединенные параллельно.
Колебательный контур содержит один конденсатор и две катушки. Поскольку катушка ведет себя как груз пружинного маятника, а конденсатор как пружина, то эквивалентная механическая система должна содержать одну пружину и два груза. Вся проблема в том, как грузы прикреплены к пружине. Возможны два случая: один конец пружины закреплен, а к свободному концу прикреплен один груз, второй находится на первом или грузы прикреплены к разным концам пружины.
При параллельном соединении катушек разной индуктивности токи по ним текут разные. Следовательно, скорости грузов в тождественной механической системе тоже должны быть разными. Очевидно, это возможно лишь во втором случае.
Период этой колебательной системы нами уже найден. Он равен . Заменяя массы грузов на индуктивности катушек, а величину, обратную жесткости пружины, на емкость конденсатора, получаем .
§4 Колебательный контур с источником постоянного тока
Рассмотрим колебательный контур, содержащий источник постоянного тока. Пусть конденсатор первоначально не заряжен. Что будет происходить в системе после замыкания ключа К? Будут ли в этом случае наблюдаться колебания и какова их частота и амплитуда?
Очевидно, после замыкания ключа конденсатор начнет заряжаться. Записываем второй закон Кирхгофа:
Ток в контуре – это ток зарядки конденсатора, следовательно . Тогда . Дифференциальное уравнение преобразуется к виду
*Решаем уравнение заменой переменных.
Обозначим . Дифференцируем дважды и с учетом того, что , получаем . Дифференциальное уравнение приобретает вид
Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, его решением является функция
где - циклическая частота, константы интегрирования и находятся из начальных условий.
Заряд на конденсаторе меняется по закону
Сразу после замыкания ключа заряд на конденсаторе равен нулю и ток в контуре отсутствует . С учетом начальных условий получаем систему уравнений:
Решая систему, получаем и . После замыкания ключа заряд на конденсаторе изменяется по закону .
Нетрудно видеть, что в контуре происходят гармонические колебания. Наличие в контуре источника постоянного тока не повлияло на частоту колебаний, она осталась равной . Изменилось «положение равновесия» - в тот момент, когда ток в цепи максимален, конденсатор заряжен. Амплитуда колебаний заряда на конденсаторе равна Cε.
Этот же результат можно получить проще, используя аналогию между колебаниями в контуре и колебаниями пружинного маятника. Источник постоянного тока эквивалентен постоянному силовому полю, в которое помещен пружинный маятник, например, полю тяготения. Отсутствие заряда на конденсаторе в момент замыкания цепи тождественно отсутствию деформации пружины в момент приведения маятника в колебательное движение.
В постоянном силовом поле период колебаний пружинного маятника не изменяется. Период колебаний в контуре ведет себя так же – он остается неизменным при введении в контур источника постоянного тока .
В положении равновесия, когда скорость груза максимальна, пружина деформирована:
Когда ток в колебательном контуре максимален . Второй закон Кирхгофа запишется следующим образом
В этот момент заряд на конденсаторе равен Этот же результат можно было получить на основании выражения (*), выполнив замену
§5 Примеры решения задач
Задача 1 Закон сохранения энергии
L = 0,5 мкГн и конденсатора емкостью С = 20 пФ происходят электрические колебания. Чему равно максимальное напряжение на конденсаторе, если амплитуда тока в контуре 1 мА? Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
Решение:
2 В тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально (максимален заряд на конденсаторе), ток в цепи отсутствует. Полная энергия системы состоит только из энергии электрического поля конденсатора
3 В момент, когда ток в цепи максимален, конденсатор полностью разряжен. Полная энергия системы состоит только из энергии магнитного поля катушки
4 На основании выражений (1), (2), (3) получаем равенство . Максимальное напряжение на конденсаторе равно
Задача 2 Закон сохранения энергии
В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С, происходят электрические колебания с периодом Т = 1 мкс. Максимальное значение заряда . Чему равен ток в контуре в тот момент, когда заряд на конденсаторе равен ? Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
Решение:
1 Поскольку активным сопротивлением катушки можно пренебречь, полная энергия системы, состоящая из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки, остается неизменной с течением времени:
2 В тот момент, когда заряд на конденсаторе максимален, ток в цепи отсутствует. Полная энергия системы состоит только из энергии электрического поля конденсатора
3 На основании (1) и (2) получаем равенство . Ток в контуре равен .
4 Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона . Отсюда . Тогда для тока в контуре получаем
Задача 3 Колебательный контур с двумя параллельно соединенными конденсаторами
В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С, происходят электрические колебания с амплитудой заряда . В тот момент, когда заряд на конденсаторе максимален, замыкают ключ К. Каким станет период колебаний в контуре после замыкания ключа? Чему равна амплитуда тока в контуре после замыкания ключ? Омическим сопротивлением контура пренебречь.
Решение:
1 Замыкание ключа приводит к появлению в контуре еще одного конденсатора, подключенного параллельно первому. Общая емкость двух параллельно соединенных конденсаторов равна .
Период колебаний в контуре зависит только от его параметров и не зависит от того, как в системе возбудили колебания и какую энергию сооб- щили системе для этого. Согласно формуле Томсона .
2 Для нахождения амплитуды тока выясним, какие процессы происходят в контуре после замыкания ключа.
Второй конденсатор подключили в тот момент, когда заряд на первом конденсаторе был максимален, следовательно, ток в контуре отсутствовал.
Контурный конденсатор должен начать разряжаться. Ток разрядки, дойдя до узла, должен бы разделиться на две части. Однако, в ветви с катушкой, возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая нарастанию тока разрядки. По этой причине весь ток разрядки потечет в ветвь с конденсатором, омическое сопротивление которой равно нулю. Ток прекратится, как только сравняются напряжения на конденсаторах, при этом первоначальный заряд конденсатора перераспределится между двумя конденсаторами. Время перераспределения заряда между двумя конденсаторами ничтожно мало вследствие отсутствия омического сопротивления в ветвях с конденсаторами. За это время ток в ветви с катушкой возникнуть не успеет. Колебания в новой системе продолжатся уже после перераспределения заряда между конденсаторами.
Важно понять, что в процессе перераспределения заряда между двумя конденсаторами энергия системы не сохраняется! До замыкания ключа энергией обладал один конденсатор, контурный:
После перераспределения заряда энергией обладает батарея конденсаторов:
Нетрудно видеть, что энергия системы уменьшилась!
3 Новую амплитуду тока найдем, воспользовавшись законом сохранения энергии. В процессе колебаний энергия батареи конденсаторов переходит в энергию магнитного поля тока:
Обратите внимание, закон сохранения энергии начинает «работать» только после завершения перераспределения заряда между конденсаторами.
Задача 4 Колебательный контур с двумя последовательно соединенными конденсаторами
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L и двух последовательно соединенных конденсаторов С и 4С. Конденсатор емкостью С заряжен до напряжения , конденсатор емкостью 4С не заряжен. После замыкания ключа в контуре начинаются колебания. Чему равен период этих колебаний? Определите амплитуду тока, максимальное и минимальное значения напряжения на каждом конденсаторе.
Решение:
1 В момент, когда ток в цепи максимален, ЭДС самоиндукции в катушке отсутствует . Записываем для этого момента второй закон Кирхгофа
Видим, что в тот момент, когда ток в контуре максимален, конденсаторы заряжены до одинакового напряжения, но в противоположной полярности:
2 До замыкания ключа полная энергия системы состояла только из энергии электрического поля конденсатора С:
В момент, когда ток в цепи максимален, энергия системы складывается из энергии магнитного поля тока и энергии двух заряженных до одинакового напряжения конденсаторов:
Согласно закону сохранения энергии
Для нахождения напряжения на конденсаторах воспользуемся законом сохранения заряда – заряд нижней обкладки конденсатора С частично перешел на верхнюю обкладку конденсатора 4С:
Подставляем найденное значение напряжения в закон сохранения энергии и находим амплитуду тока в контуре:
3 Найдем, в каких пределах изменяется напряжение на конденсаторах в процессе колебаний.
Понятно, что в момент замыкания цепи на конденсаторе С было максимальное напряжение . Конденсатор 4С был не заряжен, следовательно, .
После замыкания ключа конденсатор С начинает разряжаться, а конденсатор емкостью 4С – заряжаться. Процесс разрядки первого и зарядки второго конденсаторов заканчивается, как только прекращается ток в цепи. Это произойдет через половину периода. Согласно законам сохранения энергии и электрического заряда:
Решая систему, находим:
Знак «минус» означает, что через полпериода конденсатор емкости С заряжен в полярности, обратной первоначальной.
Задача 5 Колебательный контур с двумя последовательно соединенным катушками
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С и двух катушек индуктивностью L 1 и L 2 . В тот момент, когда ток в контуре принял максимальное значение , в первую катушку быстро (по сравнению с периодом колебаний) вносят железный сердечник, что приводи к увеличению ее индуктивности в μ раз. Чему равна амплитуда напряжения в процессе дальнейших колебаний в контуре?
Решение:
1 При быстром внесении сердечника в катушку должен сохраниться магнитный поток (явление электромагнитной индукции). Поэтому быстрое изменение индуктивности одной из катушек приведет к быстрому изменению тока в контуре.
2 За время внесения сердечника в катушку заряд на конденсаторе измениться не успел, он остался незаряженным (сердечник вносили в тот момент, когда ток в цепи был максимален). Через четверть периода энергия магнитного поля тока перейдет в энергию заряженного конденсатора:
Подставляем в полученное выражение значение тока I и находим амплитуду напряжения на конденсаторе:
Задача 6 Колебательный контур с двумя параллельно соединенным катушками
Катушки индуктивности L 1 и L 2 подключены через ключи К1 и К2 к конденсатору емкостью С. В начальный момент оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности потенциалов . Сначала замыкают ключ К1 и, когда напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают К2. Определите максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания К2. Сопротивлениями катушек пренебречь.
Решение:
1 При разомкнутом ключе К2 в контуре, состоящем из конденсатора и первой катушки, происходят колебания. К моменту замыкания К2 энергия конденсатора перешла в энергию магнитного поля тока в первой катушке :
2 После замыкания К2 в колебательном контуре оказываются две катушки, соединенные параллельно.
Ток в первой катушке не может прекратиться вследствие явления самоиндукции. В узле он делится: одна часть тока идет во вторую катушку, а другая заряжает конденсатор .
3 Напряжение на конденсаторе станет максимальным, когда прекратится ток I , заряжающий конденсатор. Очевидно, что в этот момент токи в катушках сравняются .
:Маятник двигается поступательно со скоростью центра масс и совершает колебания относительно центра масс.
Сила упругости максимальна в момент максимальной деформации пружины. Очевидно, в этот момент относительная скорость грузов становится равной нулю, а относительно стола грузы двигаются со скоростью центра масс. Записываем закон сохранения энергии:
Решая систему, находим
Производим замену
и получаем для максимального напряжения найденное ранее значение
§6 Задания для самостоятельного решения
Упражнение1 Расчет периода и частоты собственных колебаний
1 В колебательный контур входят катушка переменной индуктивности, изменяющаяся в пределах L 1 = 0,5 мкГн до L 2 = 10 мкГн, и конденсатор, емкость которого может изменяться в пределах от С 1 = 10 пФ до
С 2 =500 пФ. Какой диапазон частот можно охватить настройкой этого контура?
2 Во сколько раз изменится частота собственных колебаний в контуре, если его индуктивность увеличить в 10 раз, а емкость уменьшить в 2,5 раза?
3 Колебательный контур с конденсатором емкость 1 мкФ настроен на частоту 400 Гц. Если подключить к нему параллельно второй конденсатор, то частота колебаний в контуре становится равной 200 Гц. Определите емкость второго конденсатора.
4 Колебательный контур состоит из катушки и конденсатора. Во сколько раз изменится частота собственных колебаний в контуре, если в контур последовательно включить второй конденсатор, емкость которого в 3 раза меньше емкости первого?
5 Определите период колебаний контура, в состав которого входит катушка (без сердечника) длины в = 50 см м площади поперечного сечения
S = 3 cм 2 , имеющая N = 1000 витков, и конденсатора емкости С = 0,5 мкФ.
6 В состав колебательного контура входит катушка индуктивности L = 1,0 мкГн и воздушный конденсатор, площади пластин которого S = 100 cм 2 . Контур настроен на частоту 30 МГц. Определите расстояние между пластинами. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
