Курс рассчитан в основном на студентов, рассчитывающих в дальнейшем профессионально заниматься теоретической физикой. Он посвящен решению задач по квантовой механике и детальному изучению используемых при этом методов. Особое внимание уделяется тем подходам и задачам, которые не включены (или мало затронуты) в общем курсе теоретической физики МФТИ, как, например, адиабатическое приближение, интегралы по траекториям и топологические свойства фазы Берри. Дополнительной целью курса является подготовка к сдаче экзамена теоретического минимума по квантовой механике, необходимого для учебы на кафедре «Проблемы теоретической физики».

Курс — годовой, читается в течение двух семестров.

Программа

1. Введение в квантовую механику:
   • Операторы и наблюдаемые
   • Уравнение Шрёдингера
   • Двухуровневая система, осцилляции Раби
2. Одномерное движение. Связанные состояния:
   • Общие свойства стационарных состояний
   • Осцилляторная теорема
   • Состояния в мелких потенциальных ямах
   • Квантовый гармонический осциллятор, лестничные операторы
3. Одномерное движение. Непрерывный спектр:
   • Плотность потока вероятности
   • Одномерная задача рассеяния
   • Эволюция волновых пакетов
4. Точно решаемые задачи
   • Двумерные осесимметричные задачи
   • Применение гипергеометрической функции для решения потенциалов специального вида
   • Гармонический осциллятор
5. Теория возмущений:
   • Поправки к энергиям и волновым функциям
   • Секулярное уравнение, эффективный гамильтониан для почти вырожденной задачи
   • Нестационарная теория возмущений
   • Золотое правило Ферми
6. Адиабатическое приближение:
   • Медленно меняющийся во времени гамильтониан, адиабатический анзац
   • Фаза Берри
   • Стационарное адиабатическое приближение, «быстрая» и «медленная» подсистемы
7. Квазиклассическое приближение. Часть 1:
   • Квазиклассическая волновая функция
   • Граничные условия и правило Бора-Зоммерфельда
   • Туннелирование
8. Квазиклассическое приближение. Часть 2:
   • Условия сшивки квазиклассических функций в матричном виде
   • Туннельное расщепление в двухъямном потенциале
   • Распад метастабильного состояния
   • Связь с адиабатикой и задача Ландау-Зенера
9. Математические методы квантовой механики:
   • Метод Лапласа на примере движения частицы в постоянном электрическом поле
   • Метод перевала
   • Точное решение задачи Ландау-Зенера
10. Теория рассеяния. Одночастичная функция Грина:
    • Постановка задачи рассеяния, сечение рассеяния
    • Теория возмущений для функции Грина
    • Формула Борна
    • Рассеяние на малые углы
    • Рассеяние медленных частицы
11. Теория рассеяния. Фазовая теория:
    • Общие свойства свободного движения в сферически симметричных потенциалах
    • Фазовые сдвиги
    • Разложение плоской волны
    • Фазовая теория рассеяния
    • Применение квазиклассического приближения для вычисления фазовых сдвигов
12. Матрица плотности:
    • Общие свойства и аппарат матриц плотности
    • «Чистые» и «смешанные» состояния
    • Редуцированная матрица плотности, запутанность
    • Эволюция матрицы плотности
13. Открытые двухуровневые системы:
    • Спин-бозонная модель
    • Уравнение Линдблада на редуцированную матрицу плотности в приближении Борна-Маркова
    • Времена релаксации и дефазировки
    • Подавление туннелирования за счёт взаимодействия с окружающей средой
14. Частица, взаимодействующая с окружающей средой:
    • Диссипативная квантовая механика
    • Модель Калдейры-Леггетта
15. Топологические явления в квантовой механике:
    • Модель SSH
    • Топологические фазы
    • Топологически защищённые краевые состояния
    • Состояния Jackiw-Rebby
16. Связь фазы Берри и топологии:
    • Топологические изоляторы
    • Кривизна Берри
    • Квантование холловской проводимости, её связь с кривизной Берри
17. Интеграл по траекториям для квантовой частицы:
    • Выражение для запаздывающего пропагатора квантовой частицы через функциональный интеграл
    • Пропагатор свободной частицы
    • Гауссовы функциональные интегралы. Пропагатор квантового гармонического осциллятора
    • Эквивалентность формулировки через интеграл по траекториям и уравнения Шрёдингера
18. Инстантоны. Часть 1:
    • Двухъямный потенциал
    • Виковский поворот
    • Метод перевала в функциональном интеграле
    • Вычисление флуктуационного детерминанта через точную диагонализацию
    • Нулевые моды
19. Инстантоны. Часть 2:
    • Суммирование «разреженного инстантонного газа»
    • Формализм Гельфанда-Яглома для вычисления функциональных детерминантов
20. Надбарьерное отражение:
    • Квазиклассическое приближение в комплексной плоскости
    • Явление Стокса
    • Комплексные точки поворота

Литература

1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц "Квантовая механика (нерелятивистская теория)", М., Наука, 1989
2. В.М.Галицкий, Б.М.Карнаков, В.И.Коган "Задачи по квантовой механике", М., Наука, 1992
3. З.Флюгге "Задачи по квантовой механике (в 2 томах)", Мир, 1974
4. Р.Фейнман, А.Хибс "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

На субатомном уровне частицы описываются волновыми функциями.

Слово «квант» происходит от латинского quantum («сколько, как много») и английского quantum («количество, порция, квант»). «Механикой» издавна принято называть науку о движении материи. Соответственно, термин «квантовая механика» означает науку о движении материи порциями (или, выражаясь современным научным языком науку о движении квантующейся материи). Термин «квант» ввел в обиход немецкий физик Макс Планк (см. Постоянная Планка) для описания взаимодействия света с атомами.

Квантовая механика часто противоречит нашим понятиям о здравом смысле. А всё потому, что здравый смысл подсказывает нам вещи, которые берутся из повседневного опыта, а в своем повседневном опыте нам приходится иметь дело только с крупными объектами и явлениями макромира, а на атомарном и субатомном уровне материальные частицы ведут себя совсем иначе. Принцип неопределенности Гейзенберга как раз и очерчивает смысл этих различий. В макромире мы можем достоверно и однозначно определить местонахождение (пространственные координаты) любого объекта (например, этой книги). Не важно, используем ли мы линейку, радар, сонар, фотометрию или любой другой метод измерения, результаты замеров будут объективными и не зависящими от положения книги (конечно, при условии вашей аккуратности в процессе замера). То есть некоторая неопределенность и неточность возможны - но лишь в силу ограниченных возможностей измерительных приборов и погрешностей наблюдения. Чтобы получить более точные и достоверные результаты, нам достаточно взять более точный измерительный прибор и постараться воспользоваться им без ошибок.

Теперь если вместо координат книги нам нужно измерить координаты микрочастицы, например электрона, то мы уже не можем пренебречь взаимодействиями между измерительным прибором и объектом измерения. Сила воздействия линейки или другого измерительного прибора на книгу пренебрежимо мала и не сказывается на результатах измерений, но чтобы измерить пространственные координаты электрона, нам нужно запустить в его направлении фотон, другой электрон или другую элементарную частицу сопоставимых с измеряемым электроном энергий и замерить ее отклонение. Но при этом сам электрон, являющийся объектом измерения, в результате взаимодействия с этой частицей изменит свое положение в пространстве. Таким образом, сам акт замера приводит к изменению положения измеряемого объекта, и неточность измерения обусловливается самим фактом проведения измерения, а не степенью точности используемого измерительного прибора. Вот с какой ситуацией мы вынуждены мириться в микромире. Измерение невозможно без взаимодействия, а взаимодействие - без воздействия на измеряемый объект и, как следствие, искажения результатов измерения.

О результатах этого взаимодействия можно утверждать лишь одно:

неопределенность пространственных координат × неопределенность скорости частицы > h /m ,

или, говоря математическим языком:

Δx × Δv > h /m

где Δx и Δv - неопределенность пространственного положения и скорости частицы соответственно, h - постоянная Планка, а m - масса частицы.

Соответственно, неопределенность возникает при определении пространственных координат не только электрона, но и любой субатомной частицы, да и не только координат, но и других свойств частиц - таких как скорость. Аналогичным образом определяется и погрешность измерения любой такой пары взаимно увязанных характеристик частиц (пример другой пары - энергия, излучаемая электроном, и отрезок времени, за который она испускается). То есть если нам, например, удалось с высокой точностью измерили пространственное положение электрона, значит мы в этот же момент времени имеем лишь самое смутное представление о его скорости, и наоборот. Естественно, при реальных измерениях до этих двух крайностей не доходит, и ситуация всегда находится где-то посередине. То есть если нам удалось, например, измерить положение электрона с точностью до 10 –6 м, значит мы одновременно можем измерить его скорость, в лучшем случае, с точностью до 650 м/с.

Из-за принципа неопределенности описание объектов квантового микромира носит иной характер, нежели привычное описание объектов ньютоновского макромира. Вместо пространственных координат и скорости, которыми мы привыкли описывать механическое движение, например шара по бильярдному столу, в квантовой механике объекты описываются так называемой волновой функцией. Гребень «волны» соответствует максимальной вероятности нахождения частицы в пространстве в момент измерения. Движение такой волны описывается уравнением Шрёдингера, которое и говорит нам о том, как изменяется со временем состояние квантовой системы.

Картина квантовых событий в микромире, рисуемая уравнением Шрёдингера, такова, что частицы уподобляются отдельным приливным волнам, распространяющимся по поверхности океана-пространства. Со временем гребень волны (соответствующий пику вероятности нахождения частицы, например электрона, в пространстве) перемещается в пространстве в соответствии с волновой функцией, являющейся решением этого дифференциального уравнения. Соответственно, то, что нам традиционно представляется частицей, на квантовом уровне проявляет ряд характеристик, свойственных волнам.

Согласование волновых и корпускулярных свойств объектов микромира (см. Соотношение де Бройля) стало возможным после того, как физики условились считать объекты квантового мира не частицами и не волнами, а чем-то промежуточным и обладающим как волновыми, так и корпускулярными свойствами; в ньютоновской механике аналогов таким объектам нет. Хотя и при таком решении парадоксов в квантовой механике всё равно хватает (см. Теорема Белла), лучшей модели для описания процессов, происходящих в микромире, никто до сих пор не предложил.

Программа

Тема 1. Резольвента (функция Грина) Гамильтониана в квантовой механике. T-матрица. Уравнение Липпмана-Швингера. Связь Т-матрицы с амплитудой рассеяния. Графическое представление уравнения Липпмана-Швингера. Борновское приближение. Примеры. Спектральное представление Т- матрицы

Тема 2. Аналитическое выражение амплитуды рассеяния для сепарабельного потенциала. Предельный случай потенциала нулевого радиуса. Борновские амплитуды для сингулярных потенциалов. Тождество Гильберта. Условие унитарности. Условие унитарности для парциальных амплитуд. Диаграммы Аргана. Фазы рассеяния. Аналитические свойства амплитуды рассеяния. Классификация полюсов амплитуды рассеяния (связанные состояния, виртуальные состояния, Брейт-Вигнеровские полюса).

Тема 3. Пороговые значения парциальных амплитуд. Длина рассеяния и эффективный радиус. Cвязанные состояния с малой энергией связи. Рассеяние на жёсткой сфере при малых энергиях.

Тема 4. Функции Иоста и S-матрица. Аналитические свойства функций Иоста. Теорема Левинсона. Аналитические примеры: потенциала прямоугольной ямы и потенциал Хюльтена. Предельный переход к кулоновскому потенциалу.

Тема 5. Нуклон-нуклонные потенциалы: центральный, тензорный и спин-орбитальный потенциалы. Вывод аналитического выражения для потенциала Юкавы. Потенциалы 1-бозонного обмена. Приближение нулевого радиуса сил. Условие существования связанного состояния np системы. Отсутствие возбужденных состояний дейтрона.

Тема 6. Триплетные и синглетные состояния в системе 2-х нуклонов. Проекционные операторы. D-волна в дейтроне. Тензорный оператор. Формула Рариты-Швингера. Статические электромагнитные моменты ядер.

Тема 7. Квадрупольный момент дейтрона. Магнитный момент дейтрона. Фоторасщепление дейтрона. Обменные токи в дейтроне. Электромагниный форм фактор.

Тема 8. Классификация мезонных состояний в кварковой модели. Корнельский потенциал. Представления группы SU(3) для барионов. Потенциал типа string junction. Гипер-радиальное приближение. Квазиклассическая оценка масс лёгких и тяжёлых барионов.

Тема 9. Спиновые функции трёх фермионов и представления группы перестановок S 3 . Схемы Юнга. Вычисление сверхтонких поправок к массам N, и барионов.

Тема 10. Приближение эйконала. Представление прицельного параметра. Рассеяние на жёсткой сфере при больших энергиях. Потенциальное и теневое рассеяние.

Тема 11. Не зависящая от времени теория возмущений. Невырожденный случай. 2-уровневая проблема. Перенормировка волновой функции. Примеры; гармонический осциллятор и квадратичный эфеект Штарка.

Тема 12. Линейный эффект Штарка Эффект Зеемана в атоме водорода. Силы Ван дер Ваальса. Вариационные методы.

Тема 13. Зависящие от времени потенциалы. Представление взаимодействия. Ядерный магнитный резонанс. Спиновый магнитный резонанс.

Тема 14. Ряд Дайсона. Вероятность перехода. Примеры: постоянное возмущение, гармоническое возмущение

Тема 15. Пропагатор как амплитуда перехода. Фейнмановская формулировка интеграла по траекториям. Оператор эволюции и его матричные элементы в координатном представлении. Вычисление оператора эволюции для свободной частицы

Тема 16. Гравитация в квантовой механике. Квантовая интерференция индуцированная гравитацией. Градиентные преобразования в электромагнетизме. Эффект Бома-Ааронова и интеграл по путям. Магнитные монополи и квантование заряда.

Литература

Основная

1. Л.Д. Дандау и E. M. Лифшиц, Квантовая механика, нерелятивистская теория, Физматлит, 2008
2. Л.Д. Дандау и E. M. Лифшиц, Релятивистская квантовая механика, Физматлит, 2008
3. Ф.Дайсон, Релятивистская квантовая механика, ИКС 2009

Дополнительная

J.J Sakurai, Modern Quantum Mechanics, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. 1985

Р. Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц (Мир, 1969)

L.P.Kok, J.Visser, Quantum Mecanics. Problems and their solutions, Coulomb Press, Leiden 1987