Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ:

Александрина Людмила Владимировна

ГБПОУ «Муравленковский колледж»

ЯНАО, г. Муравленко

Цель урока:

- Дать определение логарифма и его свойств, основного логарифмического тождества

- Показать полезность применения логарифмов;

- Научить видеть знакомое в незнакомом, развить интерес к истории математики и её приложениям.

Найдите положительный корень уравнения

х 2 = 9 ответ: х=3

х 3 = 8 ответ х=2

х 4 = 81 ответ: х=3

Решите уравнение

2 х =8 ответ: х=3

3 х =27 ответ: х=3

5 х =7 ответ: ?

0 и а 1 называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b . = х Логарифм с произвольным основанием." width="640"

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию а0 и а 1 называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b .

Логарифм с произвольным основанием.

Логарифмы с основанием 10, называются десятичными.

Обозначение:Lg

Например: Lg100=2

Логарифмы с основанием е = 2.718 … называются натуральными.

Обозначение: Ln

Основное логарифмическое тождество

Действие нахождения логарифма числа называется логарифмированием

Вычислите

loq 3 27=

loq 5 125=

loq 2 2=

loq 8 1=

loq 2 16=

loq 3 9=

3 loq 3 18 =

loq 0,5 0,25=

loq 2 х= 3

7 loq 7 3 =

Вычислите

loq 4 1=

loq 13 13=

loq 3 х=2

6 loq 6 12 =

loq 4 х=2

loq 2 х=5

loq 13 13=

loq 3 х=2

5 loq 5 12 =

loq 9 1=

Вычислите самостоятельно

loq 3 3=

loq 2 16=

loq 2 х=3

3 loq 3 18 =

loq 2 2=

loq 2 64=

loq 15 15=

loq 3 х=2

4 loq 4 12 =

loq 9 1=

Логарифмическая разминка «Немного истории».

Логари́фм - от греч. λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число», «показатель»

Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Уже прошло четыре столетия с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогли астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняли жизнь вычислителям».

Логарифмическая разминка «Немного истории».

Параллельно с Непером над составлением

таблицы логарифмов работал другой

любитель математики - Йост Бюрги.

Он был швейцарским часовщиком и

мастером астрономических приборов.

Бюрги составил таблицы логарифмов

раньше, но только в 1620 году издал свою

книгу "Таблицы арифметической и

геометрической прогрессии с обстоятельным

наставлением, как пользоваться ими при

всякого рода вычислениях".

Логарифмическая разминка «Немного истории».

В 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания

первых таблиц, английским математиком Эдмундом

Гантером была изобретена первая логарифмическая

линейка, ставшая рабочим инструментом для многих

поколений вплоть до появления ЭВМ.

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом »

Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, которая называется полюсом спирали.

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»

цветки в соцветиях подсолнечника

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»

По логарифмическим спиралям выстраиваются

рога многих животных

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении.

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»

По логарифмической спирали свёрнуты раковины

многих улиток и моллюсков.

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»

По логарифмической спирали формируется тело циклона

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»

Даже пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали.

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»

Улитка является органом, воспринимающим звук, в котором самой природой заложена

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ!

Человеческое ухо – это маленькое чудо !

!

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»

Траектории насекомых

летящих на свет также описывают логарифмическую спираль.

Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других.

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»

По логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.

Звезды, шум и логарифмы

Этот заголовок связывает столь, казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.

Радиоактивный распад Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле N= N0 2-t/T,где N0- масса вещества в момент времени t, T- некоторая константа, смысл которой мы сейчас выясним. Вычислим значение N, при t=T. Так, N(T)=N0*2^-1=N0/2.Это означает, что через время Т после начального момента масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Поэтому число Т называют периодом полураспада. Период полурараспада радия равен 1600 лет, урана,5 миллиардов лет, цезия год, йода суток. Закон радиоактивного распада часто записывают в стандартном виде N= No L- t \ T.Связь константы Т с периодом полураспада нетрудно найти: L-t\T=2 –t\ T= -t\T ln2=T\ ln2~ 1.45 Т.

Барометрическая формула Давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону. P=Po L- h\H, где р-давление на уровне h, Н- некоторая константа, зависящая от температуры. Для температуры 20, величина Н~7.7 километров. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле: D=A log Po\P, где Po- давление звука до поглощения,Р- давление звука, прошедшего через стену, А- некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 ДБ. Если коэффициент звукоизоляции Д равен, например,20 ДБ, то это означает, что Log Po\ P=1 и Po=10p, т. е. стена снижает давление звука в 10 раз (такую звукоизоляцию имеет деревянная дверь).

Формула Циолковского. Эта формула,связывающая скорость ракеты V с её массой m, таковы: V=Vr ln m o \m, где Vr- скорость вылетающих газов,m o -стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива V r- невелика (в настоящее время) она меньше или равна 2 км\с. Логарифмический расчет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение m o \m т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.

Логарифм числа. Свойства логарифмов.
ГБОУ ЦО № 173 Попова Л.А.
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию a, а>0,a≠1, называется показатель степени в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
Десятичный логарифм - это логарифм по основанию Обозначение:
Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е (е - иррациональное число, приближенное значение которого: е=2,7.Обозначение:
Основное логарифмическое тождество
, где
Свойства логарифмов
Логарифм единицы
Логарифм произведения положительных чисел
Логарифм частного положительных чисел
Логарифм степени положительных чисел
Формула перехода от одного основания логарифма к другому
Следствия
Вычислите:
log 464=
52 5log53=
lg1=
lg0,1 =
log381=
lоg77 =
log1/216=
log12√ 144
lg3√100=
log1/31/81=
log1/21/32=
lоg5125
log23√2=
log1/749
lg0,001 =
log2 log 381=
lg10000=
log2 log 5625=
Устный счет
Формула перехода к десятичным и натуральным логарифмам
Замените данный логарифм логарифмом по основанию 3:
1.
2.
.3
4.
5.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ «Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической форме, показательной форме и обратно»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯпо предмету: Элементы высшей математики (ЕН 01) по теме:«Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Переход от алгебраической формы...

Методические рекомендации по оказанию помощи в обеспечении жильем детей-сирот, детей, оставшихся без попечения родителей, и лиц из их числа (лицам из числа детей-сирот, социальным педагогам, педагогическим работникам, воспитателям, родителям (законным

Целью урока является повторение понятия логарифм. Научить студентов использовать свойства логарифма при вычислении значении логарифмических выражении. Ознакомитьстудентов исторической справкой изобрет...

Корень n-й степени из действительного числа и его свойства

Цели урока: Образовательная: формирование у учащихся целосного представления о корне n-ой степени....

ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)

Шотландский математик –

изобретатель логарифмов.

В 1590-х годах пришел к идее

логарифмических вычислений

и составил первые таблицы

логарифмов, однако свой знаменитый

труд “Описание удивительных таблиц логарифмов” опубликовал лишь в 1614 году.

Ему принадлежит определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов, синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов в сферической тригонометрии.

Из истории логарифмов

• Логарифмы появились 350 лет назад в связи с потребностями вычислительной практики.

• В те времена для решения задач астрономии и мореплавания приходилось производить весьма громоздкие вычисления.

• Известный астроном Иоганн Кеплер первым ввел в1624 году знак логарифма – log. Он применил логарифмы для нахождения орбиты Марса.

• Слово « логарифм» - греческого происхождения, что в переводе означает – отношение чисел

0, а ≠1 называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b. " width="640"

Определение

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где а0, а ≠1 называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

Вычислить:

log 2 16; log 2 64; log 2 2;

log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

log 3 27; log 3 81; log 3 3;

log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Основное логарифмическое тождество

По определению логарифма

Вычислите:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .

3 X X X R Не существует ни при каком х " width="640"

При каких значениях х существует логарифм

Не существует ни при

каком х

1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

log a (bc) = log a b + log a c

( b

c )

a log a (bc) =

a log a b

= a log a b + log a c

a log a c

a log a b

a log a c

1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. log a (bc) = log a b + log a c

Пример:

log a

= log a b - log a c

= a log a b - log a c

a log a b

a log a

a log a c

b = a log a b

c = a log a c

0; a ≠ 1; b 0; c 0. Пример: 1 " width="640"

2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

log a

= log a b – log a c,

a 0; a ≠ 1; b 0; c 0.

Пример:

0; b 0; r R log a b r = r log a b Пример a log a b =b 1,5 (a log a b) r =b r a rlog a b =b r " width="640"

3. Логарифм степени с положительным основанием равен показателю степени, умноженному на логарифм основания

log a b r = r log a b

Пример

a log a b =b

(a log a b ) r =b r

a rlog a b =b r

Формула перехода от одного основания

логарифма к другому, примеры.

Определение в математике.Логарифмом положительного
числа b по основанию a, где
a>0, a=1,называется
показатель степени, в
которую надо возвести число
a чтобы получить число b.
Десятичный логарифм -
логарифм с основанием 10,
который обозначается как lg.
Определение в математике.
Натуральный логарифм -
логарифм с основанием,
обозначается как ln.

История создания логарифма.

Логарифмы были изобретены шотландским
математиком Джоном Непером (1550–
1617) в 1614 г. Его «Канон о логарифмах»
начинался так: «Осознав, что в математике
нет ничего более, скучного и утомительного,
чем умножение, деление, извлечение
квадратных и кубических корней, и что
названные операции являются бесполезной
тратой времени и неиссякаемым источником
неуловимых ошибок, я решил найти простое
и надежное средство, чтобы избавиться от
них».

В природе логарифмы встречаются в виде логарифмической спирали.

Логарифмическая спираль – это
линии в геометрии, отличные от
прямых и окружностей, которые
могут скользить по себе.
Логарифмическую спираль
называют равноугольной спиралью.
Это её название отражает тот
факт, что в любой точке
логарифмической спирали угол
между касательной к ней и радиус –
вектором сохраняет постоянное
значение.

Логарифмы в природе

Логарифмическая спираль – это особый вид
спирали, часто встречающийся в природе.
Например: Семечки в подсолнухе расположены
по дугам, так же близким к логарифмической
спирали.

Логарифмы применяются при расчетах тепловых процессов тепловых машин, двигателей внутреннего сгорания.

Молекула ДНК

Молекула ДНК - длинная полимерная
молекула, состоящая из повторяющихся
блоков -нуклеотидов, имеющая огромную по
молекулярным масштабам длину и состоящая
из 2-х нитей, сплетённых между собой в
двойную логарифмическую спираль.

Логарифмическая линейка

В 1623 г. английский математик Д.
Гунтер изобрёл первую
логарифмическую линейку,
ставшую рабочим инструментом
для многих поколений пока на её
место не пришла электронная
вычислительная техника.
Принцип действия
логарифмической линейки
основан на том, что умножение и
деление чисел заменяется
соответственно сложением и
вычитанием их логарифмов.

Виды логарифмической линейки

Логарифмические линейки были двух
видов. Первые выглядели такими, как и
представленная на снимке. Они отличались
длиной (от 15 до 50-75 см.), от нее зависела
точность вычислений. Вторые напоминали
часы: несколько шкал по окружности
подвижного циферблата, стрелочки,
неподвижная метка. Однако принцип в них
был заложен одинаковый.

Применение логарифмов

Логарифмы в химии и биофизики

Для чего же нужны логарифмы в химии и как
они применяются? Думаю, все из нас
неоднократно встречались с пометкой pH на
моющих средствах. В химии эту пометку
принято называть водородным
показателем. За что же он
отвечает? Водородным
показателем pH называется отрицательный
десятичный логарифм концентрации ионов
водорода. Переводя на доступный язык, можно
сказать, что с помощью водородного
показателя определяется уровень кислотности
среды. С помощью логарифмов ученые
научились определять точный возраст
ископаемых пород и животных. Наиболее
распространен Радиоуглеродный анализ.

Астрономия

По логарифмической шкале. Астрономы делят
звезды по степени яркости на видимые
абсолютные звездные величины; Звезды первой
величины, второй и третьей и т.п.
Последовательность видимых звездных
величин, которые воспринимались глазом,
представляет собой ари По логарифмической
шкале.

Вывод

Мы постарались проследить, как в ходе истории
возникала необходимость введения и изучения
логарифмов, усиливалась их значимость.
Показали применение логарифмов в
современном мире. Тем самым мы смогли
доказать насколько важно изучать логарифмы
для познания окружающего мира.